คนอื่น ๆ ได้อธิบายถึงกรอบทั่วไปสำหรับการออกแบบ (ระนาบ projective จำกัด ) และแสดงวิธีการสร้างระนาบ projective จำกัด ของคำสั่งนายกรัฐมนตรี ฉันต้องการเติมช่องว่างบางอย่าง
เครื่องบิน projective จำกัด สามารถสร้างขึ้นสำหรับการสั่งซื้อที่แตกต่างกันมาก pแต่พวกเขามีความตรงไปตรงมาที่สุดในกรณีของการสั่งซื้อที่สำคัญ จากนั้นโมดูโลจำนวนเต็มจะpสร้างฟิลด์ จำกัด ซึ่งสามารถใช้อธิบายพิกัดของจุดและเส้นในระนาบ : มี 3 ชนิดที่แตกต่างกันของพิกัดสำหรับจุด(1,x,y), (0,1,x)และ(0,0,1)ที่xและyสามารถใช้ในค่าจากไป0 p-13 คะแนนที่แตกต่างกันอธิบายถึงสูตรp^2+p+1สำหรับจำนวนคะแนนในระบบ นอกจากนี้เรายังสามารถอธิบายเส้นเดียวกับที่ 3 ชนิดที่แตกต่างกันของพิกัด: [1,x,y], และ[0,1,x][0,0,1]
เราคำนวณว่าจุดและสายเป็นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นโดยไม่ว่าจะเป็นสินค้าที่มีจุดพิกัดของพวกเขาจะมีค่าเท่ากับ 0 pพอควร ดังนั้นสำหรับตัวอย่างเช่นจุด(1,2,5)เส้นและ[0,1,1]เป็นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นเมื่อp=7ตั้งแต่1*0+2*1+5*1 = 7 == 0 mod 7แต่จุด(1,3,3)เส้นและไม่ได้เป็นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นตั้งแต่[1,2,6]1*1+3*2+3*6 = 25 != 0 mod 7
แปลเป็นภาษาของการ์ดและภาพที่หมายถึงบัตรที่มีพิกัด(1,2,5)มีภาพที่มีพิกัด[0,1,1]แต่บัตรที่มีพิกัดไม่ได้มีภาพที่มีพิกัด(1,3,3) [1,2,6]เราสามารถใช้ขั้นตอนนี้เพื่อพัฒนารายการการ์ดและรูปภาพที่มี
โดยวิธีการที่ฉันคิดว่ามันง่ายกว่าที่จะคิดว่าภาพเป็นจุดและการ์ดเป็นเส้น แต่มีความเป็นสองเท่าในเรขาคณิต projective ระหว่างจุดและเส้นดังนั้นมันไม่สำคัญ อย่างไรก็ตามในสิ่งต่อไปนี้ฉันจะใช้คะแนนสำหรับรูปภาพและเส้นสำหรับการ์ด
การก่อสร้างเดียวกันนี้ใช้ได้กับทุกพื้นที่ จำกัด เรารู้ว่ามีขอบเขต จำกัด ของการสั่งซื้อqหากและเฉพาะในกรณีที่q=p^kเป็นพลังที่สำคัญ ฟิลด์นี้เรียกว่าGF(p^k)ซึ่งย่อมาจาก "สนาม Galois" เขตข้อมูลนั้นไม่ง่ายที่จะสร้างในกรณีพลังงานหลักเช่นเดียวกับในกรณีเฉพาะ
โชคดีที่ทำงานหนักได้ถูกทำและดำเนินการในซอฟต์แวร์ฟรีคือSage หากต้องการรับการออกแบบระนาบ projective ของลำดับ 4 ตัวอย่างเช่นพิมพ์
print designs.ProjectiveGeometryDesign(2,1,GF(4,'z'))
และคุณจะได้ผลลัพธ์ที่ดูเหมือน
ProjectiveGeometryDesign<points=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,
11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20], blocks=[[0, 1, 2, 3, 20], [0,
4, 8, 12, 16], [0, 5, 10, 15, 19], [0, 6, 11, 13, 17], [0, 7, 9, 14,
18], [1, 4, 11, 14, 19], [1, 5, 9, 13, 16], [1, 6, 8, 15, 18], [1, 7,
10, 12, 17], [2, 4, 9, 15, 17], [2, 5, 11, 12, 18], [2, 6, 10, 14, 16],
[2, 7, 8, 13, 19], [3, 4, 10, 13, 18], [3, 5, 8, 14, 17], [3, 6, 9, 12,
19], [3, 7, 11, 15, 16], [4, 5, 6, 7, 20], [8, 9, 10, 11, 20], [12, 13,
14, 15, 20], [16, 17, 18, 19, 20]]>
ฉันตีความข้างต้นดังต่อไปนี้: มี 21 ภาพที่มีป้ายกำกับจาก 0 ถึง 20 แต่ละบล็อค (เส้นในรูปทรงเรขาคณิตโปรเจค) บอกฉันว่ารูปภาพใดปรากฏบนการ์ด ตัวอย่างเช่นการ์ดใบแรกจะมีรูปภาพ 0, 1, 2, 3 และ 20; ไพ่ใบที่สองจะมีรูปภาพ 0, 4, 8, 12 และ 16; และอื่น ๆ
สามารถสร้างระบบการสั่งซื้อ 7 ได้
print designs.ProjectiveGeometryDesign(2,1,GF(7))
ซึ่งสร้างผลลัพธ์
ProjectiveGeometryDesign<points=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,
11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28,
29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46,
47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56], blocks=[[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,
56], [0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49], [0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 50], [0,
9, 18, 27, 29, 38, 47, 51], [0, 10, 20, 23, 33, 36, 46, 52], [0, 11, 15,
26, 30, 41, 45, 53], [0, 12, 17, 22, 34, 39, 44, 54], [0, 13, 19, 25,
31, 37, 43, 55], [1, 7, 20, 26, 32, 38, 44, 55], [1, 8, 15, 22, 29, 36,
43, 49], [1, 9, 17, 25, 33, 41, 42, 50], [1, 10, 19, 21, 30, 39, 48,
51], [1, 11, 14, 24, 34, 37, 47, 52], [1, 12, 16, 27, 31, 35, 46, 53],
[1, 13, 18, 23, 28, 40, 45, 54], [2, 7, 19, 24, 29, 41, 46, 54], [2, 8,
14, 27, 33, 39, 45, 55], [2, 9, 16, 23, 30, 37, 44, 49], [2, 10, 18, 26,
34, 35, 43, 50], [2, 11, 20, 22, 31, 40, 42, 51], [2, 12, 15, 25, 28,
38, 48, 52], [2, 13, 17, 21, 32, 36, 47, 53], [3, 7, 18, 22, 33, 37, 48,
53], [3, 8, 20, 25, 30, 35, 47, 54], [3, 9, 15, 21, 34, 40, 46, 55], [3,
10, 17, 24, 31, 38, 45, 49], [3, 11, 19, 27, 28, 36, 44, 50], [3, 12,
14, 23, 32, 41, 43, 51], [3, 13, 16, 26, 29, 39, 42, 52], [4, 7, 17, 27,
30, 40, 43, 52], [4, 8, 19, 23, 34, 38, 42, 53], [4, 9, 14, 26, 31, 36,
48, 54], [4, 10, 16, 22, 28, 41, 47, 55], [4, 11, 18, 25, 32, 39, 46,
49], [4, 12, 20, 21, 29, 37, 45, 50], [4, 13, 15, 24, 33, 35, 44, 51],
[5, 7, 16, 25, 34, 36, 45, 51], [5, 8, 18, 21, 31, 41, 44, 52], [5, 9,
20, 24, 28, 39, 43, 53], [5, 10, 15, 27, 32, 37, 42, 54], [5, 11, 17,
23, 29, 35, 48, 55], [5, 12, 19, 26, 33, 40, 47, 49], [5, 13, 14, 22,
30, 38, 46, 50], [6, 7, 15, 23, 31, 39, 47, 50], [6, 8, 17, 26, 28, 37,
46, 51], [6, 9, 19, 22, 32, 35, 45, 52], [6, 10, 14, 25, 29, 40, 44,
53], [6, 11, 16, 21, 33, 38, 43, 54], [6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 55],
[6, 13, 20, 27, 34, 41, 48, 49], [7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 56], [14, 15,
16, 17, 18, 19, 20, 56], [21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 56], [28, 29, 30,
31, 32, 33, 34, 56], [35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 56], [42, 43, 44, 45,
46, 47, 48, 56], [49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56]]>
