( ความซื่อสัตย์และความซื่อสัตย์ทางคณิตศาสตร์ - ได้รับจำนวนคะแนนใน "คำตอบ" นี้ทำให้ฉันแก้ไขคำตอบนี้ฉันออกไปนานเท่าที่จะทำได้เพราะมันตั้งใจให้สั้นและไม่เป็นอะไร "ลึก" คำอธิบายใด ๆ ที่ตรงกันข้ามกับวัตถุประสงค์อย่างไรก็ตามความคิดเห็นทำให้ชัดเจนว่าฉันควรชัดเจนเพื่อหลีกเลี่ยงความเข้าใจผิด )
คำตอบเดิมของฉัน:
ถ้อยคำของข้อกำหนดส่วนนี้:
ถ้าเป็น 0 ฉันต้องการตั้งค่าเป็น 1 มิฉะนั้นตั้งเป็น 0
หมายความว่าทางออกที่ถูกต้องที่สุดคือ:
v = dirac_delta(0,v)
ก่อนอื่นสารภาพ: ฉันทำให้ฟังก์ชั่นเดลต้าสับสน Kronecker delta น่าจะเหมาะสมกว่าเล็กน้อย แต่ไม่มากเท่าที่ฉันต้องการบางสิ่งบางอย่างที่ไม่ขึ้นกับโดเมน แต่ฉันไม่ควรใช้ฟังก์ชันเดลต้าเลยจริง ๆ ฉันควรพูดว่า:
v = characteristic_function({0},v)
ให้ฉันอธิบาย จำได้ว่าฟังก์ชั่นเป็นสาม(X, Y, ฉ)ที่XและYเป็นชุด (เรียกว่าโดเมนและโคโดเมนตามลำดับ) และFคือกฎที่กำหนดองค์ประกอบของYกับองค์ประกอบของแต่ละX เรามักจะเขียนสาม(X, Y, ฉ)เป็นf: X → Y รับเซตย่อยของXพูดAมีฟังก์ชั่นพิเศษซึ่งเป็นฟังก์ชั่นχ A : X → {0,1}(มันอาจจะคิดว่าเป็นฟังก์ชั่นกับโคโดเมนขนาดใหญ่เช่นℕหรือℝ) ฟังก์ชั่นนี้ถูกกำหนดโดยกฎ:
χ (x) = 1ถ้าx ∈และχ (x) = 0ถ้าx ∉
หากคุณชอบตารางความจริงมันเป็นตารางความจริงสำหรับคำถาม "องค์ประกอบxของXเป็นองค์ประกอบของชุดย่อยAหรือไม่"
ดังนั้นจากคำนิยามนี้ก็เป็นที่ชัดเจนว่าลักษณะการทำงานเป็นสิ่งที่จำเป็นที่นี่กับXชุดใหญ่บางมี 0 และA = {0} นั่นคือสิ่งที่ฉันควรจะเขียน
และเพื่อฟังก์ชั่นเดลต้า สำหรับสิ่งนี้เราจำเป็นต้องรู้เกี่ยวกับการรวม ไม่ว่าคุณจะรู้หรือไม่ก็ตาม หากคุณไม่ทำสิ่งที่ฉันสามารถพูดได้ที่นี่จะบอกคุณเกี่ยวกับความซับซ้อนของทฤษฎี แต่ฉันสามารถให้สรุปหนึ่งประโยค การวัดในเซตXนั้นมีความสำคัญว่า "สิ่งที่จำเป็นในการทำให้ค่าเฉลี่ยทำงาน" กล่าวได้ว่าถ้าเรามีเซตXและหน่วยวัดμบนเซตนั้นก็มีคลาสของฟังก์ชันX →ℝเรียกว่าฟังก์ชันที่วัดได้ซึ่งนิพจน์∫ X f dμนั้นสมเหตุสมผลและในบางแง่มุมที่คลุมเครือ ว่า "ค่าเฉลี่ย" ของฉมากกว่าX
เมื่อทำการวัดในชุดหนึ่งสามารถกำหนด "การวัด" สำหรับชุดย่อยของชุดนั้นได้ สิ่งนี้ทำได้โดยการกำหนดให้ส่วนย่อยของฟังก์ชั่นคุณสมบัติของมัน (สมมติว่านี่เป็นฟังก์ชั่นที่วัดได้) สิ่งนี้อาจเป็นอนันต์หรือไม่ได้นิยาม
มีมาตรการมากมาย แต่มีสองสิ่งที่สำคัญที่นี่ หนึ่งคือการวัดมาตรฐานในสายจริงℝ สำหรับมาตรการนี้แล้ว∫ ℝฉdμสวยมากสิ่งที่คุณจะได้รับการสอนในโรงเรียน (เป็นแคลคูลัสยังสอนในโรงเรียน?): สรุปสี่เหลี่ยมเล็ก ๆ น้อย ๆ และใช้ความกว้างขนาดเล็กและขนาดเล็ก ในการวัดนี้การวัดช่วงเวลาคือความกว้าง การวัดจุดคือ 0
อีกวัดที่สำคัญซึ่งทำงานบนใด ๆชุดที่เรียกว่าวัดจุด มันถูกกำหนดไว้เพื่อให้อินทิกรัลของฟังก์ชันคือผลรวมของค่า:
∫ X f dμ = ∑ x ∈X f (x)
การวัดนี้กำหนดให้กับแต่ละซิงเกิลตันกำหนดค่าการวัดที่ 1 ซึ่งหมายความว่าเซ็ตย่อยมีการวัดแน่นอนถ้าหากมันมีค่า จำกัด และฟังก์ชั่นน้อยมากที่มีอินทิกรัล จำกัด ถ้าฟังก์ชั่นมีอินทิกรัล จำกัด มันจะต้องไม่ใช่ศูนย์ในจำนวนคะแนนที่นับได้เท่านั้น ดังนั้นส่วนใหญ่ของฟังก์ชั่นที่คุณอาจรู้ว่าไม่มีอินทิกรัล จำกัด ภายใต้มาตรการนี้
และตอนนี้ฟังก์ชั่นเดลต้า ลองนิยามที่กว้างมาก ๆ เรามีพื้นที่ที่วัด(x, μ) (เพื่อให้เป็นชุดที่มีมาตรการเกี่ยวกับมัน) และองค์ประกอบ∈ X เรา "กำหนดว่า" ฟังก์ชั่นเดลต้า (ขึ้นอยู่กับ) จะเป็น "ฟังก์ชั่น" δ : X →ℝกับทรัพย์สินที่δ (x) = 0ถ้าx ≠และ∫ X δ dμ = 1
ความจริงที่สำคัญที่สุดเกี่ยวกับเรื่องนี้ที่จะได้รับการระงับการคือ: ฟังก์ชั่นเดลต้าไม่จำเป็นต้องเป็นฟังก์ชั่น มันไม่ได้ถูกกำหนดอย่างถูกต้อง: ฉันไม่ได้พูดว่าδ a (a)คืออะไร
สิ่งที่คุณทำ ณ จุดนี้ขึ้นอยู่กับว่าคุณเป็นใคร โลกที่นี่แบ่งเป็นสองประเภท หากคุณเป็นนักคณิตศาสตร์คุณพูดสิ่งต่อไปนี้:
ตกลงดังนั้นฟังก์ชันเดลต้าอาจไม่ถูกกำหนด ดู Let 's ที่คุณสมบัติสมมุติและดูว่าเราสามารถหาบ้านที่เหมาะสมสำหรับมันที่มันถูกกำหนดไว้ เราสามารถทำเช่นนั้นและเราจบลงด้วยการกระจาย ฟังก์ชั่นเหล่านี้ไม่ได้ (จำเป็น) ฟังก์ชั่น แต่เป็นสิ่งที่ทำหน้าที่เหมือนฟังก์ชั่นเล็กน้อยและบ่อยครั้งที่เราสามารถทำงานกับพวกเขาราวกับว่าพวกเขาฟังก์ชั่น; แต่มีบางสิ่งที่พวกเขาไม่มี (เช่น "ค่า") ดังนั้นเราจึงต้องระมัดระวัง
หากคุณไม่ใช่นักคณิตศาสตร์คุณพูดสิ่งต่อไปนี้:
ตกลงดังนั้นฟังก์ชันเดลต้าอาจไม่ได้รับการกำหนดอย่างถูกต้อง ใครบอกอย่างนั้น นักคณิตศาสตร์กลุ่มหนึ่ง ไม่สนใจพวกเขา! พวกเขารู้อะไร
ตอนนี้ฉันต้องโกรธผู้ชมของฉันต่อไป
เดลต้า Diracมักจะถูกนำไปเป็นฟังก์ชั่นเดลต้าของจุด (มัก 0) ในบรรทัดจริงกับตัวชี้วัดมาตรฐาน ดังนั้นผู้ที่บ่นในความคิดเห็นเกี่ยวกับฉันที่ไม่รู้ว่า delta ของฉันกำลังทำเช่นนั้นเพราะพวกเขาใช้คำจำกัดความนี้ สำหรับพวกเขาฉันขอโทษ: แม้ว่าฉันจะดิ้นออกจากที่โดยใช้การป้องกันของนักคณิตศาสตร์ (เป็นที่นิยมโดยHumpty Dumpty : เพียงแค่กำหนดทุกอย่างเพื่อให้ถูกต้อง) มันเป็นรูปแบบที่ไม่ดีที่จะใช้คำมาตรฐานที่หมายถึงสิ่งที่แตกต่าง
แต่มีเป็นฟังก์ชั่นเดลต้าซึ่งจะทำสิ่งที่ฉันต้องการจะทำและมันคือสิ่งที่ฉันต้องการที่นี่ ถ้าฉันวัดค่าจุดบนเซตXดังนั้นจะมีฟังก์ชั่นของแท้δ a : X →ℝซึ่งเป็นไปตามเกณฑ์ของฟังก์ชั่นเดลต้า นี่เป็นเพราะเรากำลังมองหาฟังก์ชั่นX →ℝซึ่งเป็นศูนย์ยกเว้นที่aและผลรวมของค่าทั้งหมดของมันคือ 1 ฟังก์ชั่นนั้นง่าย: ชิ้นข้อมูลที่ขาดหายไปเพียงอย่างเดียวคือค่าที่aและ เพื่อให้ได้ผลรวมที่จะเป็น 1 เราเพียงแค่กำหนดค่าที่ 1 นี้เป็นใครอื่นนอกจากฟังก์ชั่นในลักษณะ{a} แล้ว:
∫ X δ a dμ = ∑ x ∈ X δ a (x) = δ a (a) = 1
ดังนั้นในกรณีนี้สำหรับชุดซิงเกิลฟังก์ชันคุณสมบัติและฟังก์ชันเดลต้าจึงเห็นด้วย
โดยสรุปมี "ฟังก์ชั่น" สามตระกูลที่นี่:
- ฟังก์ชั่นลักษณะของชุดซิงเกิล
- ฟังก์ชันเดลต้า
- ฟังก์ชัน Kronecker delta
ที่สองของเหล่านี้เป็นทั่วไปมากที่สุดของคนอื่น ๆ เป็นตัวอย่างของมันเมื่อใช้การวัดจุด แต่ข้อที่หนึ่งและสามมีข้อได้เปรียบที่ว่ามันเป็นฟังก์ชั่นของแท้เสมอ อันที่สามเป็นกรณีพิเศษของกรณีแรกสำหรับโดเมนหนึ่ง ๆ (จำนวนเต็มหรือชุดย่อยบางส่วน)
ดังนั้นในที่สุดเมื่อฉันเดิมเขียนคำตอบที่ฉันไม่ได้คิดอย่างถูกต้อง (ฉันจะไม่ไปให้ไกลที่สุดเท่าที่จะบอกว่าผมกำลังสับสนเป็นฉันหวังว่าฉันได้แสดงให้เห็นเพียงแค่ผมไม่ทราบว่าสิ่งที่ผมพูดเกี่ยวกับเมื่อ ฉันคิดอย่างแรกจริงๆฉันไม่ได้คิดอะไรมาก) ความหมายทั่วไปของเดลต้า dirac ไม่ใช่สิ่งที่ต้องการในที่นี้ แต่หนึ่งในคำตอบของฉันคือว่าโดเมนอินพุทไม่ได้ถูกกำหนดไว้ดังนั้น Kronecker delta ก็จะไม่ถูกต้องเช่นกัน ดังนั้นที่ดีที่สุดทางคณิตศาสตร์คำตอบ (ซึ่งผมกำลังเล็งหา) จะได้รับลักษณะฟังก์ชั่น
ฉันหวังว่าทุกอย่างชัดเจน และฉันก็หวังว่าฉันจะไม่ต้องเขียนชิ้นส่วนทางคณิตศาสตร์อีกครั้งโดยใช้เอนทิตี HTML แทนที่จะเป็นมาโคร TeX!