วิธีการแทนสถานะ qubit หลาย ๆ

ตั้งแต่การเข้าถึงอุปกรณ์ควอนตัมที่มีความสามารถของคอมพิวเตอร์ควอนตัมยังมีข้อ จำกัด มากก็เป็นที่สนใจของการคำนวณควอนตัมจำลองบนคอมพิวเตอร์ที่คลาสสิก การแสดงสถานะของ$n$ qubits เป็นเวกเตอร์ใช้องค์ประกอบ$2^n$ซึ่ง จำกัด จำนวน qubits อย่างใดอย่างหนึ่งสามารถพิจารณาในการจำลอง

เราสามารถใช้การเป็นตัวแทน¹ที่กะทัดรัดกว่าในแง่ที่ว่ามันใช้หน่วยความจำน้อยกว่าและ / หรือพลังการคำนวณมากกว่าการเป็นตัวแทนเวกเตอร์ง่าย ๆ หรือไม่? มันทำงานยังไง?

ในขณะที่ใช้งานง่ายมันเป็นที่ชัดเจนว่าการเป็นตัวแทนเวกเตอร์เป็นสิ่งที่สิ้นเปลืองสำหรับรัฐที่แสดง sparsity และ / หรือความซ้ำซ้อนในการเป็นตัวแทนเวกเตอร์ของพวกเขา สำหรับตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมพิจารณาสถานะ 3-qubit $(1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3},0,0,0,-1/\sqrt{3}, 0,0)^T$T มันมี$2^3$องค์ประกอบ แต่พวกเขาเท่านั้นถือว่า$3$ค่าที่เป็นไปกับที่สุดขององค์ประกอบที่เป็น0$0$แน่นอนว่าจะมีประโยชน์ในการจำลองการคำนวณควอนตัมเราก็ต้องพิจารณาวิธีการแสดงประตูและการกระทำของประตูบน qubits และรวมถึงบางสิ่งเกี่ยวกับสิ่งเหล่านี้จะได้รับการต้อนรับ แต่ฉันก็ยินดีที่จะได้ยินเกี่ยวกับ qubits เช่นกัน

_{1. แจ้งให้ทราบว่าฉันกำลังถามเกี่ยวกับการเป็นตัวแทนไม่ใช่ซอฟต์แวร์ห้องสมุดหรือบทความที่อาจใช้ / นำเสนอดังกล่าว หากคุณนำเสนอและอธิบายการเป็นตัวแทนคุณยินดีอย่างยิ่งที่จะพูดถึงว่ามันถูกใช้ไปแล้ว}

มีวิธีที่เป็นไปได้หลายวิธีในการเป็นตัวแทนของรัฐอย่างรัดกุมประโยชน์ที่จะขึ้นอยู่กับบริบทเป็นอย่างมาก

ประการแรกสิ่งสำคัญคือต้องสังเกตว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะมีกระบวนการที่สามารถแมปสถานะใด ๆ ให้เป็นตัวแทนที่มีประสิทธิภาพมากขึ้นในสถานะเดียวกัน (ด้วยเหตุผลเดียวกันว่าทำไมมันจึงเป็นไปไม่ได้เลยที่จะบีบอัด 2 บิตใด ๆ string เป็นสตริง 1 บิตที่มีการแม็พที่ไม่ขึ้นอยู่กับสตริง)

อย่างไรก็ตามทันทีที่คุณเริ่มตั้งสมมติฐานคุณสามารถหาวิธีที่มีประสิทธิภาพมากขึ้นในการเป็นตัวแทนของรัฐในบริบทที่กำหนด มีหลายวิธีที่เป็นไปได้ในการทำเช่นนี้ดังนั้นฉันจะพูดถึงบางอย่างที่อยู่ในใจ:

1. แล้วแทนเวกเตอร์มาตรฐานของรัฐเกตุอาจจะคิดว่าเป็น "ตัวแทนบีบอัด" ที่ทำงานภายใต้สมมติฐานของรัฐเป็นผู้บริสุทธิ์ แน่นอนว่าคุณต้องมีอิสระองศาจริงเพื่อแสดงสถานะn- qubit โดยพลการ (โดยทั่วไป) แต่เพียง2 n + 1 - 2เพื่อแสดงถึงความบริสุทธิ์$4^n-1$$n$$2^{n+1}-2$

2. หากคุณคิดว่าสถานะนั้นเกือบจะบริสุทธิ์นั่นก็คือspนั้นกระจัดกระจายในการแสดงบางอย่าง (เทียบเท่าρคือระดับต่ำ) จากนั้นรัฐก็จะสามารถกำหนดลักษณะได้อย่างมีประสิทธิภาพอีกครั้ง สำหรับระบบd -dimensional (ดังนั้นd = 2 nสำหรับระบบn- qubit) แทนที่จะใช้พารามิเตอร์~ d 2คุณสามารถมีตัวแทนที่ซื่อสัตย์ได้โดยใช้เพียงO ( r d log 2 d )โดยที่rคือ sparsity ของรัฐ (ดู0909.3304$\rho$$\rho$$\rho$$d$$d=2^n$$n$$d^2$$\mathcal O(r d \log^2 d)$$r$ และงานที่เกิดขึ้นหลังจากนั้น)

3. หากคุณสนใจเฉพาะในจำนวน จำกัดของค่าความคาดหวังของคุณสามารถหาตัวแทนบีบอัดของnรัฐ -qubit ขนาดO ( n log ( n ) เข้าสู่ระบบ( | S | ) ) โปรดทราบว่าจำนวนนี้จะลดลงแบบเอกซ์โปเนนเชียล นี่แสดงให้เห็น (ฉันคิดว่า) ในquant-ph / 0402095แต่การแนะนำที่ให้ไว้ใน1801.05721อาจเข้าถึงได้มากขึ้นสำหรับนักฟิสิกส์ (รวมถึงการนำเสนอการปรับปรุงในวิธีการปรับให้เหมาะสม) ดูการอ้างอิงในบทความสุดท้ายนี้สำหรับผลลัพธ์ที่คล้ายกันจำนวนหนึ่ง$|S|$$n$$\mathcal O(n\log(n)\log(|S|))$

4. หากคุณรู้ว่าการพัวพันของรัฐมี จำกัด (ในแง่ที่สามารถกำหนดได้อย่างแม่นยำ) จากนั้นจะพบการรับรองที่มีประสิทธิภาพอีกครั้งในแง่ของเครือข่ายเทนเซอร์ (แนะนำใน1708.00006 ) เมื่อไม่นานมานี้มันยังแสดงให้เห็นว่าสหรัฐฯเป็นตัวแทนของรัฐมิลโตเนียนสสามารถใช้แทน- เรียนรู้ - แรงบันดาลใจ ansatze (( 1606.02318และงานต่อไปนี้อีกมากมาย) นี่ก็แสดงให้เห็นว่าเมื่อเร็ว ๆ นี้ / เทียบเท่า ( 1710.04045 ) ดังนั้นฉันไม่แน่ใจว่าควรจะเป็นหมวดหมู่ของตัวเองหรือไม่

โปรดทราบว่าในข้างต้นทั้งหมดคุณสามารถแสดงสถานะที่กำหนดได้อย่างมีประสิทธิภาพยิ่งขึ้น แต่เพื่อจำลองการวิวัฒนาการของระบบที่คุณต้องการโดยทั่วไปกลับไปที่การแสดงที่ไม่มีประสิทธิภาพดั้งเดิม หากคุณต้องการที่จะเป็นตัวแทนของพลวัตของรัฐผ่านการวิวัฒนาการที่มีประสิทธิภาพคุณต้องมีข้อสันนิษฐานเกี่ยวกับวิวัฒนาการเพื่อให้สิ่งนี้เป็นไปได้ เพียงส่งผลที่มาถึงใจในเรื่องนี้เป็นคลาสสิก (ในขณะที่ enstablished ไม่ในขณะที่ "ไม่ใช่ควอนตัม") Gottesman-Knill ทฤษฎีบทซึ่งจะช่วยให้มีประสิทธิภาพจำลองวงจรใด ๆ ควอนตัม Clifford

$\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right>}$ฉันไม่แน่ใจว่าการใช้ sparsity เป็นวิธีการที่ดีที่นี่: แม้แต่ประตูควิบิตเดียวสามารถเปลี่ยนสถานะกระจัดกระจายให้กลายเป็นหนาแน่นได้อย่างง่ายดาย

แต่คุณสามารถใช้การรักษาความมั่นคงเมื่อคุณใช้ประตู Cliffordเท่านั้น นี่คือสรุปย่อ ( สัญกรณ์ ): กลุ่ม Pauli
qubit เดี่ยวคือG 1 = ⟨ X , Y , Z ⟩คือผลิตภัณฑ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการฝึกอบรม Pauli (รวมถึงI ) กลุ่ม Pauli หลาย qubits เป็นพื้นที่เมตริกซ์ผลิตภัณฑ์ของG 1 , G n = G ⊗ n 1 โคลงของรัฐ| ψ ⟩เป็นกลุ่มย่อยของกลุ่ม Pauli ของผู้ประกอบการทั้งหมดที่มีเสถียรภาพ$G_1=\langle X, Y, Z\rangle$$\mathbb{I}$$G_1$$G_n=G_1^{\otimes n}$$\ket{\psi}$ซึ่งหมายความว่า s | ψ ⟩ = | ψ ⟩ เป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องทราบว่าสิ่งนี้ใช้ได้เฉพาะกับสถานะ (แต่สำคัญ) เท่านั้น ฉันจะยกตัวอย่างด้านล่าง การ จำกัด องค์ประกอบของกลุ่ม Pauli นั้นไม่จำเป็น แต่เป็นเรื่องทั่วไป โคลงถูกสร้างขึ้นโดยผู้ประกอบการเอส1 , s 2 ... s n โคลงสร้างสถานะที่ไม่ซ้ำกันและเป็นคำอธิบายที่มีประสิทธิภาพ: แทนจำนวนเชิงซ้อน 2 n - 1เราสามารถใช้ 4 n 2บิต ( G $\ket{\psi}$$s \ket{\psi} = \ket{\psi}$$s_1$$s_2$$s_n$$2^n-1$$4n^2$$G_1$มี 16 องค์ประกอบ) เมื่อเราใช้ประตู , การปรับปรุงโคลงกำเนิดตามs ฉัน → U † s ฉัน U ประตูที่จับคู่ผู้ประกอบการ Pauli กับผู้ดำเนินการ Pauli เรียกว่าประตู Clifford ดังนั้นเหล่านี้คือประตูที่จะไม่ "เลอะ" คำอธิบายของเราเกี่ยวกับรัฐ$U$$s_i \to U^\dagger s_i U$

สถานะกราฟเป็นตัวอย่างที่สำคัญสำหรับพิธีการโคลงที่อธิบายไว้ข้างต้น พิจารณา (ไม่มีทิศทาง) กราฟทางคณิตศาสตร์ซึ่งประกอบด้วยจุดVและขอบE ⊂ V × V แต่ละจุดสุดยอดตรงกับหนึ่งควิบิต ให้เราแสดงกราฟโดยG = ( V , E ) สถานะกราฟถูกสร้างขึ้นจากสถานะ| + ⟩ ⊗ nที่| + ⟩ = $n$$V$$E\subset V\times V$$G=(V,E)$$\ket{+}^{\otimes n}$โดยใช้เกต - เฟสควบคุมCZสำหรับแต่ละจุดยอดที่เชื่อมต่อ โคลงถูกสร้างขึ้นโดยsV=XวีΠ W ∈ V ( V , W ) ∈ E Z$\ket{+}=\frac{1}{\sqrt{2}} (\ket{0}+\ket{1})$$C_Z$

$\ket{\phi}=\ket{+}\otimes \ket{+}$$\langle X\otimes \mathbb{I}, \mathbb{I}\otimes X \rangle$$C_Z$$\langle X \otimes Z, Z \otimes X \rangle$$\ket{\phi'}=\frac{1}{2}(1,1,1,-1)^T$ซึ่งรวมกันเป็นท้องถิ่นเทียบเท่ากับรัฐเบลล์)

การรักษาความมั่นคงยังมีบทบาทสำคัญในการแก้ไขข้อผิดพลาดของควอนตัม

Can one use a representation that is more compact, in the sense that it uses less memory and/or computational power than the simple vector representation? How does it work?

Source: "Multiple Qubits":

"การจำลองแบบควิบิตเดียวสามารถจำลองการคำนวณควอนตัมห้าสิบควิบิตจะผลักดันขีด จำกัด ของซูเปอร์คอมพิวเตอร์ที่มีอยู่เดิมการเพิ่มขนาดของการคำนวณโดยเพิ่มควิบิตเดียวเพิ่มหน่วยความจำสองเท่าในการจัดเก็บสถานะ พลังการคำนวณที่เพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วเป็นสองเท่านี้จึงเป็นเหตุผลว่าทำไมคอมพิวเตอร์ควอนตัมที่มีจำนวน qubits ค่อนข้างน้อยสามารถทำได้ดีกว่าซูเปอร์คอมพิวเตอร์ที่ทรงพลังที่สุดของวันนี้พรุ่งนี้และอื่น ๆ สำหรับงานคำนวณบางอย่าง ".

ดังนั้นคุณไม่สามารถใช้ประโยชน์จากโครงการ Ponziหรือปล้นปีเตอร์พอลจ่าย การบีบอัดจะช่วยประหยัดหน่วยความจำด้วยค่าใช้จ่ายของความซับซ้อนในการคำนวณหรือการแสดงในพื้นที่ที่ยืดหยุ่นมากขึ้น (ใหญ่กว่า) จะลดความซับซ้อนในการคำนวณ แต่มีค่าใช้จ่ายของหน่วยความจำ โดยพื้นฐานแล้วสิ่งที่จำเป็นคือฮาร์ดแวร์หรืออัลกอริธึมที่ชาญฉลาดกว่า

นี่คือวิธีการบางอย่าง:

• การบีบอัดปริมาตรของเซตของสถานะควอนตัมของเมตริกของ Qubit:

ข้อมูลตัวชี้วัดฟิชเชอร์สามารถใช้ในการ map ปริมาณของคิวบิตโดยใช้วิธีเรขาคณิตข้อมูลตามที่กล่าวไว้ใน " ปริมาณของสอง Qubit สหรัฐอเมริกาโดยข้อมูลเรขาคณิต ", " การวิเคราะห์ข้อมูลฟิชเชอร์และแครมเมอ-ราวมุ่งเชิงประมาณค่าพารามิเตอร์ หลังจากการตรวจจับการบีบอัด "และ" คำอธิบายการใช้งานข้อมูลฟิชเชอร์และ Cramer-Rao ของเรา "

• การบีบอัดคล้ายกับโอเปอแรนด์:

การคำนวณเชิงลึกที่ดีที่สุดของการดำเนินการเชิงตรรกะ: " อัลกอริทึมพบในกลางสำหรับการสังเคราะห์อย่างรวดเร็วของวงจรควอนตัมที่ดีที่สุดเชิงลึก " หรือการอภิปราย Quora นี้เกี่ยวกับ "การเข้ารหัสมิติของอนุภาค "

• คล้ายกับการบีบอัดหน่วยความจำ:

การแยกตัวประกอบแบบQutritโดยใช้คณิตศาสตร์ประกอบไปด้วย: " แฟคตอริ่งกับ Qutrits: อัลกอริทึมของชอร์บนสถาปัตยกรรมควอนตัม Ternary และ Metaplectic " และ "การสังเคราะห์วงจรควอนตัม Ternary โดยใช้การฉายภาพ "

• คล้ายกับการเพิ่มประสิทธิภาพแบบดั้งเดิม

" อัลกอริทึมควอนตัมสำหรับค้นหาเอกสิทธิ์หรือนิพจน์ขั้นต่ำ "

• อื่น ๆ :

Krull Dimensionsหรือ axiomatisation และการเขียนกราฟใหม่: "ความสมบูรณ์ของ ZX แคลคูลัสสำหรับ Pure Qubit Clifford + T Quantum Mechanics "

โดยการรวมเทคนิคเหล่านั้นคุณควรจะสามารถบีบเท้าเข้าไปในรองเท้า ที่จะอนุญาตให้มีการจำลองระบบที่ใหญ่กว่าในโปรเซสเซอร์ทั่วไปเพียงแค่ไม่ขอให้ฉันอธิบายการทำงานระดับปริญญาเอกหรือเขียนรหัส :)