คำว่า“ พื้นฐานการคำนวณ” หมายถึงอะไร?

คำว่า "พื้นฐานการคำนวณ" หมายถึงอะไรในบริบทของการคำนวณควอนตัมและอัลกอริทึมควอนตัม?

เมื่อเรามีเพียงหนึ่งควิบิตไม่มีอะไรพิเศษเป็นพิเศษเกี่ยวกับพื้นฐานการคำนวณ เป็นเรื่องดีที่มีพื้นฐานบัญญัติ ในทางปฏิบัติคุณสามารถคิดได้ว่าตอนแรกที่คุณใช้เกตกับและจากนั้นคุณบอกว่าพื้นฐานการคำนวณคืออิคติบุสของประตูนี้$Z$$Z^2 = I$$Z\neq I$

อย่างไรก็ตามเมื่อเราพูดถึงระบบมัลติ - คอบบิตพื้นฐานการคำนวณมีความหมาย มันมาจากการเลือกพื้นฐานสำหรับแต่ละ qubit แล้วนำพื้นฐานซึ่งเป็นผลิตภัณฑ์เทนเซอร์ของฐานเหล่านี้ทั้งหมด การเลือกพื้นฐานที่เหมือนกันสำหรับแต่ละ qubit นั้นเป็นสิ่งที่ดีเพียงเพื่อให้ทุกอย่างเหมือนกันทุกอย่างและเรียกพวกเขาว่าและเป็นตัวเลือกที่น่าสนใจ สิ่งที่สำคัญจริง ๆ คือสถานะพื้นฐานของเราคือสถานะผลิตภัณฑ์ใน qubits ของเรา: สถานะพื้นฐานการคำนวณสามารถเตรียมได้โดยเริ่มต้น qubits ของเราแยกจากนั้นนำมารวมกัน สิ่งนี้ไม่เป็นความจริงสำหรับรัฐใด ๆ ! ตัวอย่างเช่น cat stateต้องใช้วงจรความลึกของบันทึกเพื่อจัดเตรียมจากสถานะผลิตภัณฑ์$0$$1$$\frac1{\sqrt2}\left(|0^n\rangle + |1^n\rangle\right)$

ข้อเสนอที่คอมพิวเตอร์ควอนตัม (ส่วนใหญ่) มี จำกัด มิติระบบควอนตัมที่เรียกว่าqubits ถ้าคุณรู้กลศาสตร์ควอนตัมพื้นฐานแล้วคุณรู้ว่าพื้นที่ฮิลแบร์ตของควิบิตคือคือพื้นที่ฮิลแบร์ตที่ซับซ้อนสองมิติเหนือC (สำหรับคนด้านเทคนิคมากกว่านั้นคือพื้นที่ฮิลแบร์ตคือC P 1 )$\mathbb{C}^2$$\mathbb{C}$$\mathbb{C}P^1$

ดังนั้นเพื่ออธิบายเวกเตอร์ (หรือทางกายภาพสถานะควอนตัมของควิบิต) ในพื้นที่ฮิลแบร์ตสองมิตินี้เราต้องการองค์ประกอบพื้นฐานอย่างน้อยสององค์ประกอบ ถ้าคุณคิดว่าสถานะของ qubit เป็นเวกเตอร์คอลัมน์

จากนั้นคุณจะต้องระบุสิ่งที่,Bจะระบุสถานะของคิวบิตที่ โปรดทราบว่าสิ่งที่a,bขึ้นอยู่กับพื้นฐานของระบบคือ-อาจมีเวกเตอร์คอลัมน์ค้นหาสองแบบ (ในฐานที่ต่างกัน) ที่แสดงถึงสถานะเดียวกัน| ψ⟩ของ qubit ไม่ว่าในกรณีใดเราจำเป็นต้องมีพื้นฐานในการทำงานด้วยและนี่คือจุดที่ "พื้นฐานการคำนวณ" เข้ามามีบทบาท

พื้นฐานการคำนวณเป็นเพียงพื้นฐานสองสถานะประกอบด้วย (ใด ๆ ) สองสถานะควอนตัมที่แตกต่างกันที่ qubit สามารถอยู่ในร่างกาย แต่เช่นเดียวกับในพีชคณิตเชิงเส้นที่สอง ( linearly อิสระ ) กล่าวคุณเลือกได้ตามใจชอบครับ (ผมพูดครับเพราะในสถานการณ์ทางกายภาพบางอย่างมีทางเลือกตามธรรมชาติของพื้นฐานดูEinselection )

ตัวอย่างเช่นถ้าคุณมีอิเล็กตรอนในสนามแม่เหล็ก (ชี้ในแกน z บอก) สถานะของการหมุนที่ชี้ขึ้นและลงในแกน z เป็นตัวเลือกทั่วไปสำหรับพื้นฐานการคำนวณนี่ไม่ชัดเจน ทางเลือกเดียวเนื่องจากแกน z สามารถชี้ไปในทิศทางใดก็ได้ สองสถานะนี้คือ| ↑ ⟩และ| ↓ ⟩รัฐชี้ของการหมุนของอิเล็กตรอนที่มี eigenstates ของσ Z (Pauli-z) ผู้ประกอบการและมักจะถูกเรียกว่า "พื้นฐานการคำนวณ"$-$$|\uparrow\rangle$$|\downarrow\rangle$$\sigma_z$

ไม่มีพื้นฐานการคำนวณไม่ได้มีความหมายพิเศษใด ๆ ก็เป็นเพียงพื้นฐานที่ว่าคือ "ธรรมชาติมากที่สุด" ในบริบทที่กำหนดและมีการแสดงอัตภาพกับและ| 1 ⟩ในกรณีของ qubits$|0\rangle$$|1\rangle$

เพื่อให้ตัวอย่างบางส่วน:

1. ถ้า qubits ถูกเข้ารหัสในโพลาไรเซชันของโฟตอนเดียวพื้นฐานการคำนวณคือพื้นฐานที่เกิดขึ้นจากสถานะโพลาไรเซชันแนวนอนและแนวตั้งของโฟตอน
2. $S_z$
3. ถ้า qubit นั้นถูกเข้ารหัสในสถานะที่มีหรือไม่มีโฟตอนในโหมดที่กำหนดดังนั้น "พื้นฐานการคำนวณ" ก็คือสถานะอาชีพของโหมดนั้น

ฉันสามารถไปต่อ เรามักจะพูดถึง "พื้นฐานการคำนวณ" สำหรับรัฐที่มีมิติสูงกว่า (qudits) ซึ่งในกรณีเดียวกันก็มีผลบังคับใช้: พื้นฐานเรียกว่า "การคำนวณ" เมื่อเป็น "ธรรมชาติ" ที่สุดในบริบทที่กำหนด

$\{|0\rangle, |1\rangle,...\}$

สถานะควอนตัมเป็นเวกเตอร์ในพื้นที่เวกเตอร์มิติสูง (พื้นที่ฮิลแบร์ต) มีพื้นฐานอย่างหนึ่งที่เป็นธรรมชาติของอัลกอริธึมควอนตัมใด ๆ (หรือคอมพิวเตอร์ควอนตัม) ที่มีพื้นฐานมาจาก qubits: สถานะที่สอดคล้องกับเลขฐานสองเป็นพิเศษพวกมันคือสถานะพื้นฐานการคำนวณ