ควอนตัมพัวพันคืออะไรและมันมีบทบาทอะไรในการแก้ไขข้อผิดพลาดควอนตัม?

11

ฉันต้องการเข้าใจว่าการพัวพันของควอนตัมคืออะไรและมีบทบาทอย่างไรในการแก้ไขข้อผิดพลาดเชิงควอนตัม

หมายเหตุ : ตามข้อเสนอแนะของ @JamesWootton และ @NielDeBeaudrap ที่ฉันได้ถามคำถามที่แยกต่างหากสำหรับการเปรียบเทียบคลาสสิกที่นี่

entanglement error-correction

— Chinni
แหล่งที่มา

3

ฉันจะยืนยันว่ามันกว้างเกินไปเล็กน้อยตามที่ถาม อาจจะมีอะไรมากกว่านั้นเช่น "เหตุใดจึงจำเป็นต้องพัวพันสำหรับการแก้ไขข้อผิดพลาดเชิงควอนตัม" และมีคำถามแยกต่างหากสำหรับการเปรียบเทียบแบบคลาสสิก

— James Wootton

1

ฉันแก้ไขคำถามหนึ่งข้อจากนั้นก็ตระหนักว่ามันจะมีอคติต่อคำตอบของฉันเกี่ยวกับปิรามิด แต่ @Chinni ฉันเห็นด้วยกับ James ว่าคุณควรให้ความสำคัญกับหนึ่งในสองคำถาม

— Niel de Beaudrap

@JamesWootton และ Niel ขอบคุณสำหรับคำแนะนำ ฉันจะจำไว้ว่าในตอนนี้ แต่เนื่องจากมีคำตอบสำหรับคำถามนี้อยู่สามข้อแล้วจะเป็นไรไหมถ้าฉันแบ่งคำถามออกเป็นสองคำถาม?

— Chinni

@Chinni ฉันคิดว่ามันดี บางทีคุณควรแจ้งผู้ตอบในความคิดเห็นด้านล่างคำตอบว่าพวกเขาสามารถ 'แยก' คำตอบของพวกเขาได้เช่นกัน (ถ้ามี)

— จิ้งจกไม่ต่อเนื่อง

6

ความสัมพันธ์แบบคลาสสิกระหว่างตัวแปรเกิดขึ้นเมื่อตัวแปรปรากฏแบบสุ่ม แต่มีค่าที่พบว่าเห็นด้วยอย่างเป็นระบบ (หรือไม่เห็นด้วย) ในบางวิธี อย่างไรก็ตามจะมีใครบางคน (หรือบางสิ่ง) ที่ 'รู้' ว่าตัวแปรกำลังทำอะไรในกรณีที่กำหนด

ความยุ่งเหยิงระหว่างตัวแปรเหมือนกันยกเว้นส่วนสุดท้าย การสุ่มนั้นเป็นการสุ่มอย่างแท้จริง ผลลัพธ์แบบสุ่มจะไม่ตัดสินใจอย่างสมบูรณ์จนกว่าจะถึงเวลาของการวัด แต่อย่างใดตัวแปรแม้ว่าพวกเขาอาจจะแยกจากกันโดยกาแลคซี แต่ก็รู้ว่าจะเห็นด้วย

ดังนั้นสิ่งนี้หมายถึงการแก้ไขข้อผิดพลาด? เริ่มต้น Let 's โดยความคิดเกี่ยวกับการแก้ไขข้อผิดพลาดสำหรับง่ายบิต

เมื่อเก็บบิตคลาสสิกชนิดของข้อผิดพลาดที่คุณต้องกังวลคือสิ่งต่าง ๆ เช่นบิต flips และ erasures ดังนั้นบางสิ่งอาจทำให้คุณ0กลายเป็น1หรือในทางกลับกัน หรือบิตของคุณอาจเดินไปที่ไหนสักแห่ง

ในการปกป้องข้อมูลที่เราสามารถมั่นใจได้ว่าเราบิตตรรกะ (ข้อมูลที่เกิดขึ้นจริงที่เราต้องการในการจัดเก็บ) ไม่เพียง แต่ความเข้มข้นในการเดียวบิตทางกายภาพ แต่เราแพร่กระจายออกไป ดังนั้นเราสามารถใช้การเข้ารหัสการทำซ้ำอย่างง่ายตัวอย่างเช่นที่เราคัดลอกข้อมูลของเราไปยังบิตทางกายภาพจำนวนมาก สิ่งนี้ช่วยให้เรายังคงได้รับข้อมูลของเราแม้ว่าบิตทางกายภาพบางส่วนล้มเหลว

นี่คืองานพื้นฐานของการแก้ไขข้อผิดพลาด: เรากระจายข้อมูลของเราออกไปทำให้ยากสำหรับข้อผิดพลาดที่จะทำให้ยุ่งเหยิง

สำหรับ qubits มีข้อผิดพลาดหลายประเภทที่ต้องกังวล ตัวอย่างเช่นคุณอาจรู้ว่า qubits สามารถอยู่ในสถานะทับซ้อนและการวัดเปลี่ยนสิ่งเหล่านี้ การวัดที่ไม่ต้องการนั้นเป็นอีกแหล่งหนึ่งของเสียงรบกวนที่เกิดจากสภาพแวดล้อมที่มีปฏิสัมพันธ์กับ (และในบางแง่มุม 'มอง' qubits ของเรา) เสียงประเภทนี้เรียกว่า decoherence

ดังนั้นสิ่งนี้มีผลต่อสิ่งต่าง ๆ อย่างไร สมมติว่าเราใช้การเข้ารหัสซ้ำกับ qubits ดังนั้นเราจึงเปลี่ยน ในรัฐ qubit ตรรกะที่ต้องการของเราด้วยซ้ำทั่ว qubits ทางกายภาพจำนวนมากและแทนที่กับ|สิ่งนี้จะช่วยป้องกันการพลิกและการกัดเซาะของบิตอีกครั้ง แต่ทำให้ง่ายขึ้นสำหรับการตรวจวัดหลงทาง ตอนนี้สภาพแวดล้อมวัดว่าเรามีหรือโดยดูจาก qubits ใด ๆ นี่จะทำให้เอฟเฟ็กต์ของ decoherence แข็งแกร่งขึ้นซึ่งไม่ใช่สิ่งที่เราต้องการเลย! $|0\rangle$ $|000...000\rangle$ $|1\rangle$ $|111...111\rangle$ $|0\rangle$ $|1\rangle$

ในการแก้ไขปัญหานี้เราจำเป็นต้องทำให้ยากสำหรับ decoherence ที่จะรบกวนข้อมูล qubit แบบลอจิคัลของเราเช่นเดียวกับที่เราทำให้มันยากสำหรับการพลิกและการลบเล็กน้อย ในการนี้เราต้องทำให้มันยากขึ้นในการวัดตรรกะบิต ไม่ยากเกินไปที่เราไม่สามารถทำได้เมื่อใดก็ตามที่เราต้องการแน่นอน แต่ยากเกินไปสำหรับสภาพแวดล้อมที่จะทำอย่างง่ายดาย ซึ่งหมายความว่ามั่นใจว่าการวัด qubit ทางกายภาพเดียวไม่ควรบอกเราเกี่ยวกับตรรกะ qubit ในความเป็นจริงเราจะต้องทำมันเพื่อให้ต้องมีการวัดทั้ง qubits และผลการเปรียบเทียบเพื่อดึงข้อมูลใด ๆ เกี่ยวกับ qubit ในบางแง่มันเป็นรูปแบบของการเข้ารหัส คุณต้องมีจิ๊กซอว์เพียงพอที่จะเข้าใจว่ารูปภาพคืออะไร

เราสามารถลองทำสิ่งนี้แบบคลาสสิก ข้อมูลสามารถกระจายออกไปในความสัมพันธ์ที่ซับซ้อนในหลายบิต โดยการดูบิตเพียงพอและวิเคราะห์ความสัมพันธ์เราสามารถดึงข้อมูลบางอย่างเกี่ยวกับบิตตรรกะ

แต่นี่จะไม่ใช่วิธีเดียวที่จะได้รับข้อมูลนี้ อย่างที่ฉันได้พูดไปแล้วคลาสสิกมักจะมีใครบางคนหรือบางสิ่งบางอย่างที่รู้ทุกอย่างอยู่แล้ว ไม่สำคัญว่าจะเป็นบุคคลหรือเพียงแค่รูปแบบในอากาศที่เกิดขึ้นเมื่อมีการเข้ารหัส ไม่ว่าจะด้วยวิธีใดข้อมูลอยู่นอกการเข้ารหัสของเราและนี่คือสภาพแวดล้อมที่รู้ทุกอย่าง การดำรงอยู่ของมันมากหมายความว่า decoherence เกิดขึ้นในระดับที่ไม่สามารถแก้ไขได้

นั่นคือสาเหตุที่เราต้องพัวพัน ด้วยเราสามารถซ่อนข้อมูลออกไปโดยใช้ความสัมพันธ์ในผลลัพธ์แบบสุ่มที่แท้จริงและไม่อาจหยั่งรู้ของตัวแปรควอนตัม

— James Wootton
แหล่งที่มา

5

ความยุ่งเหยิงเป็นส่วนหนึ่งของข้อมูลควอนตัมและการคำนวณควอนตัม หากไม่มีอยู่ --- หากคุณพยายามทำสิ่งต่าง ๆ ในลักษณะที่ไม่มีสิ่งกีดขวางเกิดขึ้น --- คุณจะไม่ได้รับประโยชน์จากการคำนวณควอนตัม และถ้าคอมพิวเตอร์ควอนตัมกำลังทำสิ่งที่น่าสนใจมันจะสร้างความยุ่งเหยิงมากมายอย่างน้อยก็เป็นผลข้างเคียง

อย่างไรก็ตามสิ่งนี้ไม่ได้หมายความว่าสิ่งกีดขวางคือ "สิ่งที่ทำให้คอมพิวเตอร์ควอนตัม" ความยุ่งเหยิงนั้นเหมือนกับเกียร์หมุนของเครื่องจักร: ไม่มีอะไรเกิดขึ้นถ้าพวกเขาไม่หมุน แต่นั่นไม่ได้หมายความว่าการหมุนเกียร์นั้นเร็วพอที่จะทำให้เครื่องทำสิ่งที่คุณต้องการ (ความยุ่งเหยิงเป็นทรัพยากรดั้งเดิมในลักษณะนี้สำหรับการสื่อสารแต่ไม่ใช่สำหรับการคำนวณเท่าที่ทุกคนเห็น)

สิ่งนี้เป็นจริงสำหรับการแก้ไขข้อผิดพลาดควอนตัมเช่นเดียวกับการคำนวณ เช่นเดียวกับการแก้ไขข้อผิดพลาดทุกรูปแบบการแก้ไขข้อผิดพลาดเชิงควอนตัมทำงานโดยกระจายข้อมูลรอบ ๆ ระบบที่ใหญ่กว่าโดยเฉพาะอย่างยิ่งในความสัมพันธ์ของข้อมูลที่วัดได้บางอย่าง ความยุ่งเหยิงเป็นเพียงวิธีปกติที่ระบบควอนตัมมีความสัมพันธ์กันดังนั้นจึงไม่น่าแปลกใจเลยที่รหัสการแก้ไขข้อผิดพลาดควอนตัมที่ดีนั้นเกี่ยวข้องกับการพัวพันจำนวนมาก แต่นั่นไม่ได้หมายความว่าการพยายามปั๊มระบบของคุณเต็มไปด้วยความยุ่งเหยิงเช่นบอลลูนฮีเลียมเป็นสิ่งที่มีประโยชน์หรือมีความหมายในการปกป้องข้อมูลควอนตัม

แม้ว่าการแก้ไขข้อผิดพลาดเชิงควอนตัมบางครั้งจะอธิบายอย่างคลุมเครือในแง่ของความยุ่งเหยิง แต่ที่สำคัญกว่านั้นคือการตรวจสอบความเท่าเทียมกันโดยใช้ 'observables' ที่แตกต่างกัน เครื่องมือที่สำคัญที่สุดสำหรับการอธิบายสิ่งนี้คือการทำโคลง การใช้โคลงความมั่นคงสามารถนำมาใช้เพื่ออธิบายบางรัฐที่มีพัวพันจำนวนมาก แต่ที่สำคัญกว่านั้นช่วยให้คุณสามารถให้เหตุผลเกี่ยวกับคุณสมบัติหลายควิบิต ("observables") ได้อย่างง่ายดาย จากมุมมองดังกล่าวเราสามารถเข้าใจได้ว่าการแก้ไขข้อผิดพลาดเชิงควอนตัมนั้นมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับฟิสิกส์ฟิสิกส์หลายตัวที่ใช้พลังงานต่ำของสปิน - มิลเลียนเนียนกว่าการพัวพันโดยทั่วไป

— Niel de Beaudrap
แหล่งที่มา

4

ไม่มีอะไรเทียบเท่าคลาสสิกกับสิ่งกีดขวาง พัวพันอาจจะเข้าใจได้ดีที่สุดโดยใช้สัญลักษณ์ Dirac (bra-ket)

ตอนนี้พิจารณาการทับซ้อนของชนิดที่ขวา> ซึ่งหมายความว่าควิบิตแรกอยู่ในสถานะพร้อมความน่าจะเป็นและอยู่ในสถานะอย่างอื่นในขณะที่ควิบิตที่สองจะอยู่ในสถานะตรงกันข้ามกับครั้งแรก อยู่ใน: อนุภาคทั้งสองเข้าพัวพันกัน $\alpha \left|01\right> + \beta \left|10\right>$ $\left|0\right>$ $|\alpha|^2$ $\left|1\right>$

มันไม่สำคัญว่าในตัวอย่างนี้ qubits พันกันเกิดขึ้นในรัฐตรงข้าม: พวกมันอาจอยู่ในสถานะเดียวกันและยังคงพันกัน สิ่งที่สำคัญคือรัฐของพวกเขาไม่ได้เป็นอิสระจากกัน เรื่องนี้ทำให้เกิดอาการปวดหัวที่สำคัญสำหรับนักฟิสิกส์เพราะมันหมายความว่า qubits (หรืออนุภาคที่ถือพวกเขา) ไม่สามารถมีคุณสมบัติท้องถิ่นอย่างเคร่งครัดพร้อมกันและถูกควบคุมโดยแนวคิดที่เรียกว่าความสมจริง (สะท้อนสถานะของพวกเขาเป็นทรัพย์สินที่แท้จริง) ไอน์สไตน์มีชื่อเสียงโด่งดังเรียกว่าความขัดแย้งที่เกิดขึ้น (ถ้าคุณยังถือว่าเป็นคนท้องถิ่นและความสมจริง)

ความยุ่งเหยิงไม่ได้มีบทบาทพิเศษในการแก้ไขข้อผิดพลาดเชิงควอนตัม: การแก้ไขข้อผิดพลาดจะต้องทำงานในทุกรัฐในพื้นฐานการคำนวณ (ซึ่งไม่ได้พัวพัน) จากนั้นจะทำงานโดยอัตโนมัติสำหรับสถานะภาพซ้อนทับของรัฐเหล่านี้ (ซึ่งอาจเป็นรัฐที่มีการพันกัน)

— ปิรามิด
แหล่งที่มา

ฉันต้องการทำความเข้าใจกับสิ่งนี้ให้ดีขึ้นถ้ามีสิ่งกีดขวางประสิทธิภาพของอัลกอริธึมการแก้ไขข้อผิดพลาดเหล่านี้จะดีขึ้นหรือแย่ลงหรือไม่ นอกจากนี้เป็นไปได้ไหมที่จะมีระบบควอนตัมโดยไม่ต้องพัวพัน?

— Chinni

การมีหรือไม่มีการพัวพันไม่มีผลต่อการแก้ไขข้อผิดพลาดเชิงควอนตัม ใช่มีระบบควอนตัมโดยไม่มีสิ่งกีดขวาง สถานะของระบบดังกล่าวเรียกว่าสถานะผลิตภัณฑ์เนื่องจากสามารถเขียนเป็น (สถานะของ qubit แรก) (สถานะของ qubit ที่สอง) ฯลฯ

\otimes

$\otimes$

— ปิรามิด

@pyramids: ฉันคิดว่าคำสั่ง "ไม่มีคลาสสิกเทียบเท่ากับการพัวพัน 'คือ (ในขณะที่ร่วมกันพูด) คำสั่งที่แข็งแกร่งเล็กน้อยมีอะนาล็อกคลาสสิกแม้ว่ามันจะไม่ลึกลับอย่างลึกซึ้งเราเรียกมันทุกครั้งที่เรา อธิบายว่าอะไรคือสิ่งกีดขวาง --- จากนั้นก็อ้างอย่างกล้าหาญว่า "สิ่งกีดขวางไม่มีแบบอะนาล็อกคลาสสิก" เพื่อที่จะป้องกันไม่ให้คนสับสนด้วยแบบอะนาล็อกแบบคลาสสิกเดียวกัน แต่ในบริบทของการแก้ไขข้อผิดพลาด ที่มีปัญหาเพราะเป็นสิ่งที่ทำให้การแก้ไขข้อผิดพลาดแบบคลาสสิกทำงานได้

— Niel de Beaudrap

@NieldeBeaudrap วิธีที่ฉันเข้าใจความยุ่งเหยิง (สถานะที่ไม่ใช่ผลิตภัณฑ์) คำสั่งนี้มีความแม่นยำมากกว่าที่แข็งแกร่งมากเกินไป

— ปิรามิด

คู่ของตัวแปรสุ่มแบบคลาสสิกที่มีความสัมพันธ์ก็เป็นสถานะที่ไม่ใช่ผลิตภัณฑ์และเป็นวิธีที่แม่นยำในการที่มันเป็นอะนาล็อกแบบคลาสสิกไปสู่การพัวพัน สิ่งที่ทำให้คำพูดของคุณ "แข็งแกร่ง" คือมีอิสระในการเลือกว่าใครจะลากเส้นระหว่าง 'อะนาล็อก' แทนที่จะเป็นปรากฏการณ์ 'ที่ไม่คล้ายคลึง' และคุณเกิดขึ้นที่จะลากเส้นที่ขีด จำกัด สูง (เช่นเดียวกับ ตามธรรมเนียมจะเกี่ยวข้องกับสิ่งกีดขวางด้วยเหตุผลทางประวัติศาสตร์)

— Niel de Beaudrap

4

สำหรับรหัสบางประเภทที่เรียกว่าบริสุทธิ์การมีอยู่ของสิ่งกีดขวางนั้นเป็นสิ่งที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการแก้ไขข้อผิดพลาดของควอนตัมนั่นคือเพื่อแก้ไขข้อผิดพลาดทั้งหมดที่มีผลต่อระบบย่อยจำนวนหนึ่ง

จำเงื่อนไข Knill-Laflamme สำหรับการแก้ไขข้อผิดพลาดของควอนตัมรหัสเพื่อให้สามารถตรวจจับข้อผิดพลาดบางชุด : เลือกพื้นฐาน orthonormalที่ครอบคลุมรหัสพื้นที่ จากนั้นข้อผิดพลาดสามารถตรวจพบได้ถ้าหาก $\{E_\alpha\}$ $|i_\mathcal{Q}\rangle$ $E_\alpha$

⟨ i_{Q} | E_{α} | j_{Q} ⟩ = δ_{i j} C (E_{α}) . (1)

$\begin{equation} \langle i_\mathcal{Q} | E_\alpha | j_\mathcal{Q} \rangle = \delta_{ij} C(E_\alpha). \quad\quad\quad (1) \end{equation}$

โปรดทราบว่าเป็นค่าคงที่เพียงขึ้นอยู่กับข้อผิดพลาดเฉพาะแต่ไม่ได้อยู่และเจ(ซึ่งหมายความว่าข้อผิดพลาดส่งผลกระทบต่อทุกสถานะในพื้นที่ย่อยโค้ดในลักษณะเดียวกัน) ในกรณีของรหัสถ้าเรียกว่าบริสุทธิ์ โค้ดโคลงหลายตัวที่พิจารณานั้นอยู่ในรูปแบบนี้ไม่ใช่รหัส Toric ของ Kitaev $C(E_\alpha)$ $E_\alpha$ $i$ $j$ $E_\alpha$ $C(E_\alpha) \propto \operatorname{tr}(E_\alpha)$

ให้เราสมมติว่าเป็นแบบจำลองข้อผิดพลาดที่เราสนใจเพียงแค่ว่าระบบย่อยของเราทำงานผิดพลาดเพียงใด หากรหัสของเราสามารถตรวจสอบข้อผิดพลาดทั้งหมดที่ทำหน้าที่เกี่ยวกับการที่มากที่สุดระบบย่อย nontrivially รหัสจะกล่าวว่ามีระยะทาง dดังนั้นการรวมกันของข้อผิดพลาดที่มีผลต่อระบบย่อยมากถึงสามารถแก้ไขได้ $E_\alpha$ $(d-1)$ $d$ $\lfloor(d-1)/2\rfloor$

สิ่งต่อไปนี้คือรหัสบริสุทธิ์ของระยะทางเวกเตอร์ทุกอันที่อยู่ในพื้นที่ย่อยโค้ดจะต้องเข้าไปพัวพันกับ bipartition ใด ๆ ที่มีระบบย่อยขนาดเล็กที่สุดมีขนาดมากที่สุด : เพื่อดูสิ่งนี้โปรดทราบว่าสำหรับข้อผิดพลาดและเวกเตอร์ในพื้นที่ย่อย (ONB ของเราได้รับเลือกโดยพลการ) หนึ่งมี $d$ $(d-1)$ $E_\alpha \neq \mathbb{1}$ $|v_\mathcal{Q} \rangle$

⟨ E ⟩ = tr (E | v_{Q} ⟩ ⟨ v_{Q} |) = ⟨ v_{Q} | E_{α} | v_{Q} ⟩ = tr (E) = 0.

$\begin{equation} \langle E \rangle = \operatorname{tr}(E |v_\mathcal{Q} \rangle\langle v_\mathcal{Q}|) = \langle v_\mathcal{Q} |E_\alpha|v_\mathcal{Q} \rangle = \operatorname{tr}(E) = 0. \end{equation}$

ดังนั้นสิ่งที่สามารถสังเกตได้ทั้งหมดในงานปาร์ตี้ส่วนใหญ่จะหายไปและการฝึกอบรมความหนาแน่นที่ลดลงในงานปาร์ตี้จะต้องผสมกันมากที่สุด นี่ก็หมายความว่ามากที่สุดสำหรับทุก ๆ ทางเลือกของพรรคกับส่วนที่เหลือ $(d-1)$ $(d-1)$ $|v_\mathcal{Q}\rangle$ $(d-1)$

ภาคผนวก (เพื่อความพอเพียง): เป็นคำนิยามที่เทียบเท่ากับ Eq (1): ข้อผิดพลาดทั้งหมดที่ตรวจพบในตำแหน่งน้อยกว่าสามารถตรวจพบได้ถ้าหากสำหรับทั้งหมดในโค้ดย่อยตามเงื่อนไขต่อไปนี้ $E_\alpha$ $d$ $|v\rangle, |w\rangle$

⟨ v | E_{α} | v ⟩ = ⟨ w | E_{α} | w ⟩ .

$\begin{equation} \langle v| E_\alpha | v\rangle = \langle w | E_\alpha| w\rangle. \end{equation}$

ในกรณีของรหัสบริสุทธิ์การแสดงออกข้างต้นหายไป มันดังต่อไปว่าถ้าใครมีสเปซที่ทุกรัฐพัวพันที่สุดสำหรับ bipartitions ทั้งหมด (D-1) กิจการเทียบกับส่วนที่เหลือแล้วมันเป็นรหัสที่บริสุทธิ์ของระยะทางd $d$

tl; dr: สำหรับระยะทางขนาดใหญ่รหัสบริสุทธิ์ประกอบด้วยสถานะที่มีการพันกันอย่างมาก มันเป็นข้อกำหนดที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการมีอยู่ของรหัส $d$

ภาคผนวก: เราตรวจสอบคำถามนี้ต่อไปรายละเอียดสามารถพบได้ในรหัสควอนตัมกระดาษของระยะทางสูงสุดและ subspaces ที่มีการพันกันอย่างมาก มีการแลกเปลี่ยนเป็น: ข้อผิดพลาดมากขึ้นรหัสควอนตัมสามารถแก้ไขได้ที่ยิ่งยุ่งต้องเวกเตอร์ทุกคนในพื้นที่รหัสเป็น เรื่องนี้สมเหตุสมผลเพราะถ้าข้อมูลที่ไม่ได้กระจายไปในหลาย ๆ อนุภาคสิ่งแวดล้อม - โดยการอ่าน qubits สองสาม - สามารถกู้คืนข้อความในพื้นที่รหัส สิ่งนี้จะทำลายข้อความที่เข้ารหัสเนื่องจากทฤษฎีบทที่ไม่โคลน ดังนั้นระยะทางที่สูงจึงต้องการความพัวพันสูง

— เฟลิกซ์ฮูเบอร์
แหล่งที่มา

3

นี่คือวิธีคิดเกี่ยวกับบทบาทของความยุ่งเหยิงในรหัสควอนตัมซึ่งฉันคิดว่าเป็นส่วนเสริมของการตอบสนองของเฟลิกซ์ฮูเบอร์

สมมติว่าเราใช้สถานะยุ่งเหยิงมากที่สุดและบันทึกระบบลงในรหัสแก้ไขข้อผิดพลาดเชิงควอนตัม สมมติว่ารหัสบันทึกลงในระบบย่อยซึ่งการลบระบบย่อยใด ๆ นั้นสามารถแก้ไขได้ (ฉันได้ยกตัวอย่างง่ายๆ แต่มีความเห็นทั่วไป) $|\Psi\rangle_{RQ}$ $Q$ $Q$ $S_1,S_2,S_3$

จากนั้นมีวิธีคิดแบบ entropic เกี่ยวกับเงื่อนไขการแก้ไขข้อผิดพลาด (เมื่อเทียบกับเงื่อนไข Knill-Laflamme เกี่ยวกับพีชคณิตมากขึ้น) โดยเฉพาะถ้า

I (R : S_{3}) = 0

$I(R:S_3) = 0$

จากนั้นก็ต่อว่าสามารถกู้คืนจากS_1S_2ดูตัวอย่างarXiv: quant-ph / 0112106สำหรับการนำเสนอที่ดีของข้อเท็จจริงนี้ $Q$ $S_1S_2$

การใช้วิธี entropic นี้เพื่อแก้ไขข้อผิดพลาดมีเส้นทางที่ค่อนข้างเป็นธรรมในการทำความเข้าใจกับสิ่งกีดขวางในโค้ด ตัวอย่างเช่นเราสามารถพิสูจน์ได้ว่า

I (S_{1} S_{2} : S_{3}) \geq 2 \log d_{R}

$I(S_1S_2:S_3) \geq 2\log d_R$

ดังนี้ ก่อนอื่นเราเขียนข้อมูลร่วมกันในแง่ของความหมาย

I (S_{1} S_{2} : S_{3}) = S (S_{1} S_{2}) + S (S_{3}) - S (S_{1} S_{2} S_{3})

$I(S_1S_2:S_3) = S(S_1S_2) + S(S_3) - S(S_1S_2S_3)$

เราจะแนะนำระบบบริสุทธิ์เพื่อให้สถานะของบริสุทธิ์ จากนั้นใช้ความบริสุทธิ์ที่เราสามารถเขียนได้ $X$ $RS_1S_2S_3X$

I (S_{1} S_{2} : S_{3}) = S (S_{3} X R) + S (S_{3}) - S (X R)

$I(S_1S_2:S_3) = S(S_3XR) + S(S_3) - S(XR)$

โปรดทราบว่าเนื่องจากเราสามารถกู้คืนจาก , 0 ใช้สิ่งนี้ในด้านบน $Q$ $S_1S_2$ $I(R:S_3X)=I(R:X)=0$

I (S_{1} S_{2} : S_{3}) = S (S_{3} | X) + S (S_{3})

$I(S_1S_2:S_3) = S(S_3|X) + S(S_3)$

สุดท้ายเราสามารถผูกไว้ด้านขวามือด้านล่างโดยที่นี่d_R สัญชาตญาณเบื้องหลังวิธีที่เราสามารถทำได้คือคือ `` สำคัญ '' ในแง่ที่ว่ามีชุดของหุ้น (พูด ) ซึ่งตัวเองไม่เปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับแต่เมื่อรวมกับจะช่วยให้สามารถกู้คืนได้ เมื่อพิจารณาถึงสิ่งนี้เราคาดว่าจะต้องมีของเอนโทรปีเนื่องจากการถ่ายโอนสามารถใช้เพื่อสร้างค่าการพัวพัน ปรีชาคล้ายกันปรากฏในarXiv: quant-PH / 0608223 เราพิจารณาปริมาณที่แน่นอนมากขึ้น $2 \log d_R$ $S_3$ $S_1$ $Q$ $S_3$ $Q$ $S_3$ $2\log d_R$ $2\log d_R$ $I(R:S_1S_3) - I(R:S_1)$ ซึ่งการปรับแต่งพื้นฐานบางอย่างเปิดเผย

I (R : S_{1} S_{3}) - I (R : S_{1}) = S (S_{3} | S_{1}) + S (S_{3} | X S_{2}) \leq S (S_{3}) + S (S_{3} | X)

$I(R:S_1S_3) - I(R:S_1) = S(S_3|S_1) + S(S_3|XS_2) \leq S(S_3) + S(S_3|X)$

แต่จากนั้นเราสังเกตเห็นเนื่องจากอนุญาตให้กู้คืนได้ในขณะที่ตามเงื่อนไขการแก้ไขข้อผิดพลาด entropic นี้ต่ำกว่าขอบเขตและขอบเขตเพื่อให้ต่ำกว่าS_3) $I(R:S_1S_3) \geq 2\log d_R$ $S_1S_3$ $Q$ $I(R:S_1)=0$ $S(S_3) + S(S_3|X)$ $I(S_1S_2:S_3)$

— อเล็กซ์พฤษภาคม
แหล่งที่มา