ทางเลือกในการ Bloch ทรงกลมเพื่อเป็นตัวแทนของ qubit เดียว

เพื่อเป็นตัวแทนของ qubit เดียวเราใช้เวกเตอร์รวมกันในC 2พื้นที่ Hilbert มี (หนึ่ง) ฐาน orthonormal คือ( | 0 ⟩ , | 1 ⟩ )$|\psi\rangle$$\mathbb{C}^2$$(|0\rangle, |1\rangle)$

เราสามารถวาดใช้ลูกโบลช อย่างไรก็ตามฉันพบว่าสัญกรณ์นี้ค่อนข้างสับสนเนื่องจากเวกเตอร์มุมฉากเป็นเส้นตรงข้ามกัน ( คำอธิบายสั้น ๆ ในคำถามฟิสิกส์ Stackexchange แบบนี้ )$|\psi\rangle$

คุณรู้ว่าการแสดงกราฟิกที่แตกต่างกันสำหรับ qubit เดียวหรือไม่?

ในลิงก์ที่รวมอยู่ในคำถามของคุณเกี่ยวกับคำถามอื่นที่เขียนโดย user098876 "การทำความเข้าใจกับ Bloch Sphere" แดเนียลแสดงความคิดเห็นที่มีประโยชน์:

"การวาดจุดบนทรงกลมเพื่อแสดงสถานะของระบบสองระดับควอนตัมไม่ได้หมายความว่าคุณควรคิดว่าจุดเหล่านั้นเป็นเวกเตอร์จริงในอวกาศ 3 มิติ - DanielSank 3 ก.ย. '15 ที่ 20:17"

คำอธิบายที่ซับซ้อนมากเกินไป: มันเป็นระนาบสองด้าน (หรือสองระนาบ) ที่คาดการณ์ไว้บนทรงกลม

"ฉันพบสัญกรณ์นี้ค่อนข้างสับสนเพราะเวกเตอร์มุมฉากเป็นเส้นตรงข้ามกัน (คำอธิบายสั้น ๆ ในคำถามฟิสิกส์ Stackexchange นี้ ) คุณรู้หรือไม่ว่าการแสดงกราฟิกแบบอื่นสำหรับควิบิตเดียว?"

มีความพยายามมากมายในการจัดหาการแสดงทั่วไปเพิ่มเติมที่ขยายจาก qubits ถึง qudits คำอธิบายและการเป็นตัวแทนโดยใช้ทรงกลมMajoranaไม่เป็นเช่นนั้นแตกต่างกันมาก แต่ก็ยังคงเป็นทรงกลม แต่อาจจะสับสนน้อยกว่า:

สำหรับ qubits ใน Majorana sphere ดู: " N-qubit ระบุว่าเป็นจุดบน Bloch sphere "

"บทคัดย่อเราแสดงให้เห็นว่าการเป็นตัวแทน Majorana สามารถใช้ในการแสดงสถานะที่บริสุทธิ์ของระบบ N-qubit ... โดยสรุปการเป็นตัวแทน Majorana มีประโยชน์เมื่อมีการศึกษาอนุภาคสปิน - สถานะของระบบN -qubit ถูกกล่าวถึงนอกจากช่วยให้เห็นภาพสถานะของN -qubit และวิธีที่พวกเขาแปลงในการหมุนและการดำเนินงานอื่น ๆ การแทนหลังอาจช่วยระบุNพิเศษบางอย่าง$S$$N$$N$$N$ -qubit รัฐเช่นการเป็นตัวแทน Majorana ได้ใน บริบทของ spinose Bose-Einstein condensates ".

ดู: "เป็นตัวแทน Majorana, พื้นที่ qutrit Hilbert และการใช้ NMR ของประตู qutrit ":

หน้า 1:

"Bloch sphere เป็นตัวแทนของสถานะควอนตัมของ qubit เดี่ยวลงบน (หนึ่งหน่วยทรงกลมในสามมิติจริง) โดยมีสถานะบริสุทธิ์ถูกแมปลงบนพื้นผิวและสถานะผสมที่อยู่ในการตกแต่งภายในการแสดงทางเรขาคณิตนี้มีประโยชน์ใน ให้การมองเห็นภาพของสถานะควอนตัมและการเปลี่ยนแปลงของพวกเขาโดยเฉพาะอย่างยิ่งในกรณีของการคำนวณควอนตัมที่อิง NMR โดยที่ spin- 1$\mathcal S^2$$\frac{1}{2}$สะกดจิตและการแปลงผ่านพัลส์ NMR rf จะมองเห็นได้ในทรงกลม Bloch มีข้อเสนอหลายประการสำหรับการเป็นตัวแทนทางเรขาคณิตสำหรับระบบควอนตัมในระดับที่สูงขึ้นอย่างไรก็ตามการขยายของภาพเหมือนทรงกลมของ Bloch ไปยังสปินที่สูงขึ้นนั้นไม่ได้ตรงไปตรงมา เป็นตัวแทนทางเรขาคณิตที่เสนอโดย Majorana ซึ่งในรัฐบริสุทธิ์ของสปิน '' เป็นตัวแทนจาก '2$s$$_s$จุด' บนพื้นผิวของหน่วยทรงกลมที่เรียกว่าทรงกลม Majorana

การเป็นตัวแทน Majorana สำหรับ spin- $s$ระบบพบว่ามีการใช้งานอย่างกว้างขวางเช่นการกำหนดระยะทางเรขาคณิตของสปินที่เป็นตัวแทนของ spinors โดยไม่มีจุดที่เป็นตัวแทนของเรขาคณิตหลาย qubit พันกันยุ่งรัฐสถิติของระบบควอนตัมพลังวุ่นวายและพัฒนาการแสงโพลาไรซ์ qutrit เดียว (ระบบควอนตัมสามระดับ) มีความสำคัญเป็นพิเศษใน qudit-based ( ระบบควอนตัมd-ระดับ) ควอนตัมการคำนวณ qutrit เป็นระบบที่เล็กที่สุดที่แสดงควอนตัมโดยธรรมชาติคุณสมบัติเช่น contextuality ซึ่งได้รับการคาดคะเนเพื่อเป็นทรัพยากรสำหรับคอมพิวเตอร์ควอนตัม การคำนวณควอนตัม NMR qudit สามารถทำได้โดยใช้นิวเคลียสกับสปิน s> 1$N$$N$$d$$\frac{1}{2}$หรือสามารถสร้างแบบจำลองโดยสองหรือมากกว่าปั่นคู่ -$\frac{1}{2}$นิวเคลียส ในงานนี้เราใช้คำอธิบายทรงกลม Majorana ของ qutrit เดียวซึ่งสถานะของ qutrit จะถูกแสดงด้วยจุดคู่บนทรงกลมหน่วยเพื่อให้ข้อมูลเชิงลึกในพื้นที่รัฐ qutrit

หน้า 5:

ขนาดของเวกเตอร์การสะกดจิต→ M | ในชุดที่บริสุทธิ์ของ qutrit เดียวสามารถสันนิษฐานได้ว่าค่าในช่วง[ 0 , 1 ] ในทางตรงกันข้ามกลุ่มของ qubit ที่บริสุทธิ์นั้นจะมีขนาดหน่วยของเวกเตอร์การสะกดจิตที่เกี่ยวข้อง$\vert-$$\vec{M}$$\vert$$[0,1]$เสมอ รูปภาพเชิงเรขาคณิตของเวกเตอร์การสะกดจิต qutrit แบบเดี่ยวมีให้โดยการเป็นตัวแทน Majorana ค่า→ M | ขึ้นอยู่กับความยาวของเส้นแบ่งครึ่งO O ′และอยู่ตามแนว$\vert-$$\vec{M}$$\vert$$OO'$$z$แกนและหมุนไม่แน่นอน ดังนั้นสอดคล้องกับค่าที่กำหนดของความยาวของเส้นแบ่งครึ่งหนึ่งสามารถสันนิษฐานว่าทรงกลมศูนย์กลางกับรัศมีที่แตกต่างกันอย่างต่อเนื่องซึ่งพื้นผิวเป็นพื้นผิวของการสะกดจิตคงที่ รัศมีของทรงกลมเหล่านี้มีค่าเท่ากับ→ M | ที่แตกต่างกันไปในช่วง[ 0 , 1 ]$\vert-$$\vec{M}$$\vert$$[0,1]$

หน้า 10:

สรุปข้อสังเกต

การแทนแบบเชิงเรขาคณิตของ qutrit ถูกอธิบายไว้ในงานนี้โดยที่สถานะของ qutrit นั้นจะถูกแทนด้วยสองจุดบนทรงกลมของหน่วยตามการเป็นตัวแทนของ Majorana parameterization ของรัฐที่เดียว qutrit ที่ได้รับการสร้างรัฐพลจากครอบครัวหนึ่งพารามิเตอร์ของรัฐที่ยอมรับผ่านการกระทำของการแปลง spin- 1เวกเตอร์สะกดจิตเป็นตัวแทนในวง Majorana และรัฐถูกระบุว่าเป็น 'ชี้' หรือ 'ไม่ใช่ชี้' ขึ้นอยู่กับที่ไม่ใช่ศูนย์ค่าเป็นศูนย์หรือของแม่เหล็กหมุน การแปลงที่สร้างขึ้นโดยการกระทำของS U ( 3 $SO(3)$$1$$SU(3)$เครื่องกำเนิดไฟฟ้าถูกรวมเข้ากับภาพเรขาคณิต Majorana ซึ่งแตกต่างจาก qubits การสลายตัวของประตูควอนตัมแบบ qutrit เดียวในแง่ของพัลส์คลื่นความถี่วิทยุไม่ตรงไปตรงมาและการแทนรูปทรงกลม Majorana ให้วิธีการอธิบายประตูทางเรขาคณิตเหล่านี้ การสังเกตอย่างใกล้ชิดของพลวัตของจุดที่เป็นตัวแทนของ qutrit บนทรงกลม Majorana ภายใต้การกระทำของประตูควอนตัมต่างๆถูกนำมาใช้เพื่อให้ได้การสลายตัวของคลื่นความถี่วิทยุ rf และประตูเดี่ยว qutrit ขั้นพื้นฐานได้ดำเนินการทดลองโดยใช้ NMR

รูปที่. 1. qutrit บนทรงกลม Majorana นั้นมีจุดสองจุดคือและP 2เชื่อมต่อกับศูนย์กลางของทรงกลมตามเส้นที่แสดงเป็นสีแดงและสีน้ำเงินตามลำดับ θ 1 , ϕ 1คือมุมขั้วโลกและมุมแอซิมัททัลตรงกับจุดP 1 ( θ 2 , ϕ 2เป็นมุมสำหรับจุดP 2 ) (a) รากของ Majorana พหุนามแสดงในระนาบz = 0ตามคะแนนP ′ $P_1$$P_2$$\theta_1$$\phi_1$$P_1$$\theta_2$$\phi_2$$P_2$$z = 0$$P'_1$และ$P'_2$ซึ่งมีการประมาณการภาพสามมิติก่อให้เกิดการเป็นตัวแทนของ Majorana ตัวอย่างที่สามแสดงให้เห็นถึงการเป็นตัวแทน Majorana ของเวกเตอร์พื้นฐานเดียว qutrit , ( c $(b)\;\vert+1\rangle$และ ( d $(c)\;\vert0\rangle$ ⟩ จุดหนึ่งถูกแสดงเป็นวงกลมทึบ (แดง) ในขณะที่อีกจุดหนึ่งแทนด้วยวงกลมว่างเปล่า (สีน้ำเงิน)$(d)\;\vert-1\rangle$

ดู: " Majorana เป็นตัวแทนของรัฐปั่นสูง " (.PDF) โดยWheeler (เว็บไซต์) หรือ " Wigner เอกซ์เรย์ของ multispin ควอนตัมฯ ":

การใช้ Tomography - "ในบทความนี้เราพัฒนาทฤษฎีการทำภาพเอกซ์เรย์สำหรับฟังก์ชั่นรูปทรงกลมของ multispin quantum state โดยพลการเราศึกษาโครงร่างการทดลอง )."

เปรียบเทียบกับความซับซ้อนของทรงกลมของ Bloch ที่ปรากฎใน: " การเป็นตัวแทนของ Bloch-sphere ของระยะเรขาคณิตสามจุดสุดยอด " รูปร่างเหมือนกันทุกอย่างที่คุณเห็นภาพการฉายที่ใช้

นี่เป็นภาพที่ยุ่งน้อยลง:

ลองนึกถึงทรงกลมของ Bloch ที่แบ่งครึ่งโดยกระดาษแผ่นใหญ่มาก ที่ขอบของกระดาษ (อินฟินิตี้) จุดใด ๆ บนแผ่นจะลากเส้นไปที่ (อินฟินิตี้) ด้านบนของลูกบอล (ด้านล่างของลูกบอลสำหรับด้านล่างของแผ่น) จุดที่อยู่ใกล้ศูนย์กลางของกระดาษ (สถานะผสม) วาดเส้นไปยังศูนย์กลางของทรงกลม นั่นหมายถึงระยะทางจนถึงระยะอนันต์บนลูกบอลเล็ก ๆ qubit / qudit นั้น จำกัด ดังนั้นกระดาษไม่ใหญ่มาก

ตอนนี้วาดจุดบนกระดาษ 2D วาดเส้นจากกระดาษไปยังลูกบอลเอากระดาษและดูหรือผ่านลูกบอลใสเพื่อดูจุดสิ้นสุดอื่น ๆ ของบรรทัด

คำอธิบายที่แม่นยำและยากมากขึ้นมีให้ในลิงก์ด้านบน

เพิ่มไปยังสิ่งที่ @pyramids สื่อในคำตอบของพวกเขา :

$\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$$\alpha, \beta \in \Bbb{C}$$|\alpha|^2+|\beta|^2=1$

$\Bbb{C}^2(\Bbb{R})$$n$$\Bbb{R}^n(\Bbb{R})$$4$$(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)$$a(1,0,0,0)+b(0,1,0,0)+c(0,0,1,0)+d(0,0,0,1)$

$\alpha = a + i b$ (where $a,b\in \Bbb{R}$) and $\beta = c + id$ (where $c,d\in \Bbb{R}$). You need the condition $|a+ib|^2+|c+id|^2=1\implies a^2+b^2+c^2+d^2=1$ to be satisfied, which implies the state of the qubit would be a point on a 3-sphere.

As you know, it is difficult to efficiently represent a $4$-dimensional space on a $2$-dimensional surface like a paper, or your screen. Hence, you don't see that representation used often. Bloch sphere is pretty much the most efficient representation out there (for a single qubit), since it reduces one degree of freedom (of the complex numbers $\alpha,\beta$ each of which have two degrees of freedom) due to the fact that a qubit's state is usually normalized to a magnitude of $1$ i.e. $|\alpha|^2+|\beta|^2=1$.

Now, using the Hopf coordinates let's say:

$$\alpha = e^{i\psi}\cos(\theta/2)$$

$$\beta = e^{i(\psi+\phi)}\sin(\theta/2)$$

Here, $\theta$ can run from $0$ to $\pi$ whereas, $\psi$ and $\phi+\psi$ can take values between $0$ to $\pi$.

In case you're wondering why $\theta/2$ is being used instead of $\theta$ have a look at the answers on this excellent thread on Physics Stack Exchange.

Okay, even now you notice three degrees of freedom $\psi,\phi,\theta$, whereas in a unit radii sphere, you only have two angles which you can change to get the different states of a qubit.

Notice that $\phi$ is basically the "relative phase" between $\alpha$ and $\beta$. On the other hand $\psi$ does not contribute to the "relative phase" of $\alpha,\beta$. Also, neither $\phi$ nor $\psi$ contribute to the magnitude of $\alpha,\beta$ (since $|e^{i\varphi}|=1$ for any angle $\varphi$). Since $\psi$ contributes neither to "relative phase" nor to the "magnitudes" of $\alpha,\beta$ it is said to have no physically observable consequences and we can arbitrarily choose $\alpha$ to be real by eliminating the factor of $e^{i\psi}$.

Thus we end up with:

$$\alpha = \cos(\theta/2)$$ and $$\beta=e^{i\phi}\sin(\theta/2)$$ Where $\theta$ can run from $0$ to $\pi$, and $\phi$ can run from $0$ to $2\pi$.

This practical simplification allows you to represent a qubit's state using just $2$ degrees of freedom on $3$-dimensional spherical surface having unit radius, which again can again efficiently be "drawn" on a $2$-dimensional surface, as shown in the following image.

Mathematically, it is not possible to reduce the degrees of freedom any further, and so, I'd say there is no other "more efficient" geometrical representation of a single qubit than the Bloch sphere.

_{Source: Wikipedia:Bloch_Sphere}

The Bloch sphere historically came about to describe spins where up and down can actually be viewed as being (anti)parallel rather than (mathematically) orthogonal.

You can naturally (and perhaps more naturally!) depict a qubit's state in a way that orthogonal states are indeed orthogonal. Then a pure 1-qubit state occupies a point on the surface of a 4-dimensional sphere.

(Firstly, the "reputation points" requirement is stupid - this remark should be a comment on the previous post.)

A single qubit in a pure state has 2 real degrees of freedom, not 3, when you quotient out both magnitude and phase (i.e., complex normalization). So, most reasonable two-dimensional surfaces could be used (e.g., the 2-sphere or anything topologically equivalent).

Finding a useful representation is another story. The Bloch sphere has a natural extension to mixed states (which have 3 degrees of freedom), whereas this does not appear to be the case otherwise..