ความสำคัญของพื้นที่โบสถ์แห่งฮิลแบร์ตที่สูงขึ้น

16

คำว่า " Church of the Hilbert Space " ใช้ในข้อมูลควอนตัมบ่อยครั้งเมื่อวิเคราะห์ช่องควอนตัมและสถานะควอนตัม

คำนี้หมายถึงอะไร (หรือสลับกันคำว่า "ไปที่คริสตจักรแห่งฮิลแบร์ตสเปซ" หมายถึงอะไร)

— user3483902
แหล่งที่มา

6

คุณสามารถโพสต์ข้อมูลอ้างอิงสำหรับบริบทบางอย่างได้หรือไม่ คุณอ่านคำนี้มาจากไหน ขอบคุณ

— Andrew O

21

คริสตจักรที่มีขนาดใหญ่ขึ้น (หรือสูงกว่าหรือสูงกว่า) พื้นที่ของฮิลแบร์ตเป็นเพียงกลลวงที่บางคนชอบ (รวมอยู่ด้วยตัวเอง) เพื่อเขียนการดำเนินการบางอย่าง

การดำเนินงานทั่วไปส่วนใหญ่ที่คุณสามารถเขียนลงในระบบนั้นถูกอธิบายด้วยแผนที่เชิงบวกอย่างสมบูรณ์ในขณะที่เราชอบอธิบายสิ่งต่าง ๆ ด้วยยูนิตซึ่งคุณสามารถทำได้โดยการย้ายจากพื้นที่ฮิลแบร์ตดั้งเดิมไปเป็นขนาดใหญ่กว่า ในทำนองเดียวกันสำหรับการวัดคุณสามารถเปลี่ยนการวัดทั่วไปเป็นการวัดแบบ projective โดยการเพิ่มขนาดของพื้นที่ Hilbert นอกจากนี้สถานะผสมสามารถอธิบายเป็นสถานะบริสุทธิ์ของระบบขนาดใหญ่

ตัวอย่าง

$1-p$ $p$ $X$

| ψ ⟩ ⟨ ψ | \mapsto (1 - p) | ψ ⟩ ⟨ ψ | + p X | ψ ⟩ ⟨ ψ | X

$|\psi\rangle\langle\psi|\mapsto (1-p)|\psi\rangle\langle\psi|+pX|\psi\rangle\langle\psi|X$

\sqrt{1 - p} | 0 ⟩ + \sqrt{p} | 1 ⟩

$\sqrt{1-p}|0\rangle+\sqrt{p}|1\rangle$

| ψ ⟩ (\sqrt{1 - p} | 0 ⟩ + \sqrt{p} | 1 ⟩) \mapsto | Ψ ⟩ = \sqrt{1 - p} | ψ ⟩ | 0 ⟩ + \sqrt{p} (X | ψ ⟩) | 1 ⟩ .

$|\psi\rangle(\sqrt{1-p}|0\rangle+\sqrt{p}|1\rangle)\mapsto|\Psi\rangle=\sqrt{1-p}|\psi\rangle|0\rangle+\sqrt{p}\left(X|\psi\rangle\right)|1\rangle.$ To get back the action of the system on just the original qubit, you trace out the new qubit:

ρ = {T r}_{2} (| Ψ ⟩ ⟨ Ψ |) = (1 - p) | ψ ⟩ ⟨ ψ | + p X | ψ ⟩ ⟨ ψ | X .

$\rho={\rm Tr}_2\left(|\Psi\rangle\langle\Psi|\right)= (1-p)|\psi\rangle\langle\psi|+pX|\psi\rangle\langle\psi|X.$ In other words, you just ignore the existence of the new qubit after you’ve implemented the unitary! Note that as well as demonstrating the church of the larger Hilbert space for operations, this also demonstrates it for states - the mixed state

ρ

$\rho$ can be made into the pure state

| Ψ ⟩

$|\Psi\rangle$ by increasing the size of the Hilbert space.

— DaftWullie
แหล่งที่มา

5

"Church of the higher hilbert space" is a term coined by John Smolin. According to quantiki it is:

for the dilation constructions of channels and states, which [...] provide a neat characterization of the set of permissible quantum operations

and to quote wikipedia, it:

describe[s] the habit of regarding every mixed state of a quantum system as a pure entangled state of a larger system, and every irreversible evolution as a reversible (unitary) evolution of a larger system.