เอกสารจำนวนมากยืนยันว่าการจำลองแบบแฮมิลตันเป็น BQP สมบูรณ์ (เช่น การจำลองมิลโตเนียนที่มีการพึ่งพาที่ดีที่สุดเกือบทุกพารามิเตอร์และการจำลองมิลโตเนียนโดย Qubitization )

เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าการจำลองแบบแฮมิลตันเป็น BQP-hard เพราะอัลกอริธึมเชิงควอนตัมใด ๆ สามารถลดลงเป็นการจำลองแบบแฮมิลตัน แต่การจำลองมิลโตเนี่ยนใน BQP เป็นอย่างไร

เช่นปัญหาการตัดสินใจจำลองแฮมิลตันใน BQP คืออะไรและอยู่ภายใต้เงื่อนไขใดในมิลโตเนียน

— groupsgroupsgroups
แหล่งที่มา

มีหลายสายพันธุ์ที่แตกต่างกันโดยเฉพาะอย่างยิ่งเกี่ยวกับเงื่อนไขในมิลโตเนียน ยกตัวอย่างเช่นเป็นเกมที่พยายามค้นหาคลาส Hamiltonian ที่ง่ายที่สุดที่การจำลองยังคงสมบูรณ์แบบ BQP

$|\psi\rangle$ $H$ $\hat O$ $\|\hat O\|\leq 1$ $t$ $\langle\psi|e^{iHt}\hat O e^{-iHt}|\psi\rangle$ $\frac12+a$ $\frac12-a$ $a$ $a=\frac16$

รายละเอียดเพิ่มเติม

การจำลองแบบแฮมิลตันเป็น BQP ยาก

การก่อสร้างพื้นฐาน (แต่เดิมเป็นเพราะ Feynman ที่นี่มีการปรับแต่งเล็กน้อย) โดยทั่วไปแสดงให้เห็นว่าคุณสามารถออกแบบมิลโตเนียนที่ใช้การคำนวณควอนตัมใด ๆ รวมถึงการคำนวณที่สมบูรณ์แบบ BQP ได้อย่างไร สิ่งที่สังเกตได้ที่คุณจะวัดนั้นเป็นเพียงในควอตเอาท์พุทเฉพาะผลการวัดทั้งสองที่สอดคล้องกับ 'ใช่' และ 'ไม่' $Z$

การจัดเรียงที่ง่ายที่สุดของแฮมิลตันที่คุณอาจคิดว่าคือการพิจารณาการคำนวณของ unitaries ลำดับทำหน้าที่เกี่ยวกับ qubits เริ่มต้นจากรัฐM} จากนั้นคุณสามารถเพิ่ม qubits พิเศษและระบุ Hamiltonian หากคุณเตรียมสถานะเริ่มต้นของคุณเป็นหลังจากนั้นไม่นานมันจะอยู่ใน สถานะโดยที่ $N-1$ $U_n$ $M$ $|0\rangle^{\otimes M}$ $N$

H = \frac{2}{ยังไม่มีข้อความ} Σ_{n = 1}^{ยังไม่มีข้อความ - 1} \sqrt{n (ยังไม่มีข้อความ - n)} (| 10 ⟩ ⟨ 01 |_{n, n + 1} \otimes ยู + | 01 ⟩ ⟨ 10 |_{n, n + 1} \otimes {ยู}^{†}) .

$H=\frac{2}{N}\sum_{n=1}^{N-1}\sqrt{n(N-n)}\left(|10\rangle\langle 01|_{n,n+1}\otimes U+|01\rangle\langle 10|_{n,n+1}\otimes U^\dagger\right).$

| 1 ⟩ | 0 ⟩^{\otimes (N - 1)} | 0 ⟩^{\otimes M}

$|1\rangle|0\rangle^{\otimes(N-1)}|0\rangle^{\otimes M}$

N π / 4

$N\pi/4$

| 0 ⟩^{\otimes (N - 1)} | 1 ⟩ | Φ ⟩

$|0\rangle^{\otimes (N-1)}|1\rangle|\Phi\rangle$

| Φ ⟩

$|\Phi\rangle$ คือผลลัพธ์ของการคำนวณที่ต้องการ จุดแข็ง coupling ตลกที่ผมเคยใช้ที่นี่จะถูกเลือกมาเป็นพิเศษเพื่อให้วิวัฒนาการที่กำหนดและมีความเกี่ยวข้องกับแนวคิดของการถ่ายโอนสภาพสมบูรณ์ โดยปกติแล้วคุณจะเห็นผลลัพธ์ที่ระบุด้วยข้อต่อที่เท่ากัน แต่วิวัฒนาการที่น่าจะเป็น

\sqrt{n (N - n)}

$\sqrt{n(N-n)}$

หากต้องการดูวิธีการทำงานคุณกำหนดชุดสถานะ การกระทำของมิลโตเนียนเป็น ซึ่งพิสูจน์ได้ว่าการวิวัฒนาการถูก จำกัด ไว้ที่ subspace ซึ่งแสดงโดยเมทริกซ์ tridiagonal (ซึ่งเป็นสิ่งที่ศึกษาในการถ่ายโอนสถานะที่สมบูรณ์แบบ)

| ψ_{n} ⟩ = | 0 ⟩^{\otimes (n - 1)} | 1 ⟩ | 0 ⟩^{\otimes ยังไม่มีข้อความ - n} \otimes ({ยู}_{n - 1} {ยู}_{n - 2} ... {ยู}_{1} | 0 ⟩^{\otimes M}) .

$|\psi_n\rangle=|0\rangle^{\otimes(n-1)}|1\rangle|0\rangle^{\otimes{N-n}}\otimes\left(U_{n-1}U_{n-2}\ldots U_1|0\rangle^{\otimes M}\right).$

H | ψ_{n} ⟩ = \frac{2}{ยังไม่มีข้อความ} \sqrt{(n - 1) (ยังไม่มีข้อความ + 1 - n)} | ψ_{n - 1} ⟩ + \frac{2}{ยังไม่มีข้อความ} \sqrt{n (ยังไม่มีข้อความ - n)} | ψ_{n + 1} ⟩,

$H|\psi_n\rangle=\frac2N\sqrt{(n-1)(N+1-n)}|\psi_{n-1}\rangle+\frac2N\sqrt{n(N-n)}|\psi_{n+1}\rangle,$

N \times N

$N\times N$

แน่นอนว่ามิลโตเนียนนี้ไม่มีคุณสมบัติที่ดีเป็นพิเศษ - ตัวอย่างเช่นไม่ใช่ในท้องถิ่น มีลูกเล่นมากมายที่สามารถเล่นได้เพื่อทำให้ Hamiltonian ง่ายขึ้นตัวอย่างเช่นมิติเดียว อาจเป็นค่าคงที่การแปลหากคุณต้องการในการเตรียมสถานะผลิตภัณฑ์เริ่มต้นที่ซับซ้อนมากขึ้น (ณ จุดนั้นการคำนวณจะไม่ถูกเข้ารหัสใน Hamiltonian อีกต่อไปซึ่งเป็นสากล แต่ถูกเข้ารหัสในสถานะอินพุต) . ดูที่นี่ยกตัวอย่างเช่น

การจำลองมิลโตเนียน

วิวัฒนาการของมิลโตเนียนใด ๆ ซึ่งอยู่ในท้องถิ่นบนโครงตาข่ายบางอันทำหน้าที่เป็นผลิตภัณฑ์เริ่มต้นในเวลาที่ไม่เกินพหุนามในขนาดของระบบสามารถจำลองด้วยคอมพิวเตอร์ควอนตัมและการวัดที่สามารถนำไปใช้ได้อย่างมีประสิทธิภาพ ประมาณที่สังเกตได้ ในแง่นี้คุณจะเห็นว่าการจำลองแฮมิลตันไม่ได้ยากไปกว่าการคำนวณควอนตัมจุดตอบโต้กับคำแถลงก่อนหน้าว่าการคำนวณควอนตัมนั้นไม่ยากกว่าการจำลองแฮมิลตัน

มีหลายวิธีในการทำเช่นนี้ (และมีเอกสารล่าสุดที่แสดงการปรับปรุงที่สำคัญในการปรับขนาดข้อผิดพลาดสำหรับชั้นเรียนบางอย่างของมิลโตเนียน) Hre ค่อนข้างง่าย ใช้ Hamiltonianที่คุณต้องการจำลอง แยกมันออกเป็นส่วนต่าง ๆซึ่งแต่ละ commutes ตัวอย่างเช่นในมิลโตเนียนเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุดในกราฟบางตัวคุณไม่ต้องการชิ้นส่วนเกินกว่าระดับสูงสุดของกราฟ จากนั้นคุณจะทำให้ท่วงทำนองวิวัฒนาการเขียนประมาณ ดังนั้นคุณต้องสร้างวงจรที่ใช้คำเช่นซึ่งประกอบด้วยคำศัพท์ที่ใช้ในการเดินทาง $H$ $H_i$

{อี}^{ผม H เสื้อ} \approx {({อี}^{- ผม H_{1} δ เสื้อ} {อี}^{- ผม H_{2} δ เสื้อ} ... {อี}^{- ผม H_{n} δ เสื้อ})}^{เสื้อ / δ เสื้อ}

$e^{iHt}\approx \left(e^{-iH_1\delta t}e^{-iH_2\delta t}\ldots e^{-iH_n\delta t}\right)^{t/\delta t}$

e^{- i H_{1} δ t}

$e^{-iH_1\delta t}$

H_{1} = \sum_{n} h_{n}

$H_1=\sum_nh_n$ ซึ่งแต่ละตัวจะทำหน้าที่ในจำนวนบิตเล็ก ๆ เท่านั้น เนื่องจากนี่เป็นเพียงการรวมคำศัพท์จำนวนน้อยคอมพิวเตอร์ควอนตัมสากลสามารถนำไปใช้งานได้

{อี}^{- ผม H_{1} δ เสื้อ} = \underset{n}{Π} {อี}^{- ผม {ชั่วโมง}_{n} δ เสื้อ}

$e^{-iH_1\delta t}=\prod_{n}e^{-ih_n\delta t}$

— DaftWullie
แหล่งที่มา

การจำลองแบบแฮมิลตันเป็น BQP ที่สมบูรณ์

รายละเอียดเพิ่มเติม

การจำลองแบบแฮมิลตันเป็น BQP ยาก

การจำลองมิลโตเนียน