พหุนามโจนส์

มีอัลกอริธึมควอนตัมมาตรฐานที่เป็นธรรมจำนวนมากที่ทุกคนสามารถเข้าใจได้ภายในกรอบที่คล้ายกันมากจากปัญหาของอัลกอรึทึมของไซม่อนไซมอนการค้นหาของโกรเวอร์อัลกอริทึมของชอร์และอื่น ๆ

ขั้นตอนวิธีการหนึ่งที่ดูเหมือนว่าจะแตกต่างอย่างสิ้นเชิงเป็นอัลกอริทึมสำหรับการประเมินโจนส์พหุนาม ยิ่งไปกว่านั้นดูเหมือนว่านี่เป็นอัลกอริทึมที่สำคัญในการทำความเข้าใจในแง่ที่ว่ามันเป็นปัญหาที่สมบูรณ์แบบ BQP : มันแสดงให้เห็นถึงพลังที่เต็มไปด้วยคอมพิวเตอร์ควอนตัม นอกจากนี้สำหรับตัวแปรของปัญหาก็DQC-1 ที่สมบูรณ์คือมันแสดงถึงอำนาจเต็มของหนึ่ง qubit

อัลกอริทึมโจนส์พหุนามกระดาษนำเสนอขั้นตอนวิธีการในทางที่แตกต่างกันมากกับอัลกอริทึมควอนตัมอื่น ๆ มีวิธีที่คล้ายกัน / คุ้นเคยมากกว่าที่ฉันสามารถเข้าใจอัลกอริทึม (โดยเฉพาะรวมในตัวแปร DQC-1 หรือเพียงแค่วงจรทั้งหมดในตัวแปร BQP-Complete)?$U$

คำตอบนี้เป็นบทสรุปของกระดาษ Aharonov-Jones-Landau ที่คุณเชื่อมโยงด้วย แต่มีทุกอย่างที่ไม่เกี่ยวข้องโดยตรงกับการกำหนดอัลกอริทึมที่ถูกลบออก หวังว่านี่จะเป็นประโยชน์

อัลกอริธึม Aharonov - โจนส์ - กุ๊บใกล้กับพหุนามโจนส์ของพลัดปิดของถักเปียที่ของรากแห่งความสามัคคีโดยที่รู้ตัวว่ามันเป็น (บาง rescaling) องค์ประกอบของเมทริกซ์รวมแน่นอนภาพ ของภายใต้การแสดงรวมกันบางอย่างของกลุ่มถักเปีย{2n} ได้รับการดำเนินการของเป็นวงจรควอนตัมใกล้เคียงกับเมทริกซ์ของมันคือตรงไปตรงมาโดยใช้การทดสอบ Hadamard ส่วนที่ไม่น่าสนใจกำลังใกล้เคียงกับเป็นวงจรควอนตัมk U σ σ B 2 n U σ U $\sigma$$k$$U_\sigma$$\sigma$$B_{2n}$$U_\sigma$$U_\sigma$

ถ้าเป็นเกลียวบนเส้นกับ crossings เราสามารถเขียนโดยที่ ,และเป็นตัวกำเนิดของที่สอดคล้องกับการข้ามเส้นที่ไปที่ st มันพอเพียงเพื่ออธิบายตั้งแต่epsilon_m}2 n m σ = σ ϵ 1 a 1 σ ϵ 2 a 2 ⋯ σ ϵ m a m a 1 , a 2 , … , a m ∈ { 1 , 2 , … , 2 n - 1 } ϵ 1 , ϵ 2 , … , ϵ m ∈ { ± 1 } $\sigma$$2n$$m$$\sigma = \sigma_{a_1}^{\epsilon_1} \sigma_{a_2}^{\epsilon_2} \cdots \sigma_{a_m}^{\epsilon_m}$$a_1, a_2, \ldots, a_m \in \{1, 2, \ldots, 2n - 1\}$$\epsilon_1, \epsilon_2, \ldots, \epsilon_m \in \{\pm 1\}$B 2 nฉัน( i + 1 ) U σ ฉัน U σ = U ϵ 1 σ a 1 ⋯ U ϵ m σ a $\sigma_i$$B_{2n}$$i$$(i + 1)$$U_{\sigma_i}$$U_\sigma = U_{\sigma_{a_1}}^{\epsilon_1} \cdots U_{\sigma_{a_m}}^{\epsilon_m}$

ในการกำหนดเราจะให้เซตย่อยบางส่วนของพื้นฐานมาตรฐานของซึ่งทำหน้าที่ไม่ทำอะไรเลย สำหรับให้-b_j} ลองเรียกยอมรับได้ถ้าสำหรับทั้งหมด (นี่สอดคล้องกับอธิบายเส้นทางยาวบนกราฟกำหนดไว้ในกระดาษ AJL) C 2 2 n U σ i ψ = | ข1 ข2 ⋯ ข2 n ⟩ ℓ ฉัน' ( ψ ) = 1 + Σ ฉัน' J = 1 ( - 1 ) 1 - ขญ ψ 1 ≤ ℓ ฉัน' ( ψ ) ≤ k - 1 ฉัน'$U_{\sigma_i}$$\mathbb{C}^{2^{2n}}$$U_{\sigma_i}$$\psi = \lvert b_1 b_2 \cdots b_{2n} \rangle$$\ell_{i'}(\psi) = 1 + \sum_{j = 1}^{i'} (-1)^{1-b_j}$$\psi$ $1 \leq \ell_{i'}(\psi) \leq k - 1$ψ 2 n G k λ r = { sin ( π r / k ) ถ้า  1 ≤ r ≤ k - 1 , 0 มิฉะนั้น A = i e - π i / 2 k i = $i' \in \{1, 2, \ldots, 2n\}$$\psi$$2n$$G_k$

$$\lambda_r = \begin{cases}\sin(\pi r / k) & \textrm{if $1 \leq r \leq k - 1$},\\ 0 & \textrm{otherwise.}\end{cases}$$ ให้ (นี่คือการพิมพ์ผิดในกระดาษ AJL ยังทราบว่าที่นี่และเฉพาะที่นี่ไม่ใช่ดัชนี ) เขียนที่เป็นครั้งแรกที่บิตและให้psi_i) แล้วก็ $A = ie^{-\pi i/2k}$ iψ=| ψฉันขฉันขฉัน+ 1 ⋯⟩ψฉันฉัน-1ψZฉัน=ℓฉัน- 1 (ψฉัน) U σ ฉัน ( | ψ ฉัน 00 ⋯ ⟩ $i = \sqrt{-1}$$i$$\psi = \lvert \psi_i b_i b_{i+1} \cdots\rangle$$\psi_i$$i - 1$$\psi$$z_i = \ell_{i-1}(\psi_i)$ U σ ฉัน (ψ)=ψ $$\begin{align} U_{\sigma_i}(\lvert\psi_i 00 \cdots\rangle) & = A^{-1}\lvert\psi_i 00 \cdots\rangle\\ U_{\sigma_i}(\lvert\psi_i 01 \cdots \rangle) & = \left( A\frac{\lambda_{z_i-1}}{\lambda_{z_i}} + A^{-1}\right)\lvert\psi_i 01 \cdots\rangle + A\frac{\sqrt{\lambda_{z_i+1}\lambda_{z_i-1}}}{\lambda_{z_i}}\lvert\psi_i 10 \cdots\rangle\\ U_{\sigma_i}(\lvert\psi_i 10 \cdots \rangle) & = A\frac{\sqrt{\lambda_{z_i+1}\lambda_{z_i-1}}}{\lambda_{z_i}}\lvert\psi_i 01 \cdots\rangle + \left(A\frac{\lambda_{z_i+1}}{\lambda_{z_i}} + A^{-1}\right)\lvert\psi_i 10 \cdots\rangle\\ U_{\sigma_i}(\lvert\psi_i 11 \cdots\rangle) & = A^{-1}\lvert\psi_i 11 \cdots\rangle \end{align}$$ เรากำหนดสำหรับองค์ประกอบพื้นฐานที่ไม่ยอมรับ\$U_{\sigma_i}(\psi) = \psi$$\psi$

ตอนนี้เราอยากจะอธิบายเป็นวงจรควอนตัมที่มีหลายประตู(ในและ ) พหุนาม โปรดสังเกตว่าในขณะที่เปลี่ยนแปลงเพียงสอง qubits แต่ยังขึ้นอยู่กับ qubits แรกผ่านการพึ่งพา (และแน่นอนมันขึ้นอยู่กับ qubits ทั้งหมดสำหรับข้อกำหนดการรับสมัคร) อย่างไรก็ตามเราสามารถเรียกใช้ตัวนับเพื่อคำนวณและเก็บ (และพิจารณาการยอมรับของอินพุต) ในจำนวนลอการิทึม (ใน ) qubits เกี่ยวกับลอการิทึมจำนวนมากดังนั้นเราจึงสามารถใช้อัลกอริทึม Solovay-Kitaevเพื่อให้ได้ค่าประมาณที่ดีกับ$U_{\sigma_i}$$n$$k$$U_{\sigma_i}$$i - 1$$z_i$$z_i$$k$$U_{\sigma_i}$ใช้ประตูจำนวนมากแบบพหุนาม (กระดาษยื่นอุทธรณ์ต่อ Solovay-Kitaev สองครั้ง: หนึ่งครั้งสำหรับการเพิ่มตัวนับในแต่ละขั้นตอนและอีกครั้งสำหรับการใช้ ; ฉันไม่แน่ใจว่ามีวิธีที่ตรงกว่านี้ในการอธิบายว่าวงจรแบบควอนตัมด้วย ประตูมาตรฐานกระดาษยังไม่ได้พูดถึงความจำเป็นในการตรวจสอบการยอมรับที่นี่ฉันไม่แน่ใจว่านี่เป็นสิ่งสำคัญหรือไม่ แต่อย่างน้อยเราก็ต้องการ )$U_{\sigma_i}$$1 \leq z_i \leq k - 1$

ดังนั้นเพื่อสรุป:

1. เริ่มต้นด้วย braidโดยมีcrossings$\sigma \in B_{2n}$$m$
2. เขียนepsilon_m}$\sigma = \sigma_{a_1}^{\epsilon_1} \sigma_{a_2}^{\epsilon_2} \cdots \sigma_{a_m}^{\epsilon_m}$
3. สำหรับให้ใช้อัลกอริทึม Solovay-Kitaev เพื่อรับการประมาณค่าของเมทริกซ์ที่รวมกัน (หรือผกผันถ้า )U σ a ฉัน ϵ i = - $i \in \{1, 2, \ldots, m\}$$U_{\sigma_{a_i}}$$\epsilon_i = -1$
4. เขียนทั้งหมดของการประมาณจากขั้นตอนที่ 3 จะได้รับวงจรควอนตัมกับประตูหลาย polynomially ที่ใกล้เคียงกับซิก}$U_{\sigma}$
5. สมัครจริงและจินตนาการ Hadamard ทดสอบหลายครั้งด้วย polynomially วงจรจากขั้นตอนที่ 4 และรัฐ10$\lvert 1010 \cdots 10\rangle$
6. เฉลี่ยผลการขั้นตอนที่ 5 และคูณด้วยปัจจัยปรับบางส่วนที่จะได้รับประมาณไปยังส่วนจริงและจินตภาพของพหุนามโจนส์ปิดพลัดของประเมินK}e 2 π i /$\sigma$$e^{2\pi i/k}$

คุณได้กล่าวถึงห้าเอกสารในคำถาม แต่กระดาษหนึ่งที่ยังคงอยู่ไม่ได้กล่าวถึงคือการดำเนินการทดลองในปี 2009 ที่นี่คุณจะพบวงจรจริงที่ใช้ในการประเมินพหุนาม Jones:

นี่อาจเป็นสิ่งที่ใกล้เคียงที่สุดที่คุณจะได้รับการนำเสนอ "คุ้นเคย" ของอัลกอริทึมเนื่องจากความสนใจในพหุนาม Jones และ DQC-1 ได้สลายตัวไปเล็กน้อยตั้งแต่ปี 2009

รายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับการทดลองนี้สามารถพบได้ใน Gina Passante ของวิทยานิพนธ์