แรงจูงใจเบื้องหลังเมทริกซ์ความหนาแน่นคืออะไร? และอะไรคือความแตกต่างระหว่างเมทริกซ์ความหนาแน่นของสถานะบริสุทธิ์และเมทริกซ์ความหนาแน่นของสถานะผสม?

^{นี่คือภาคต่อที่ตอบเองว่าอะไรคือความแตกต่างระหว่างสถานะควอนตัมที่บริสุทธิ์และผสมกัน? & วิธีการหาเมทริกซ์ความหนาแน่นของ qubit? คุณสามารถเขียนคำตอบอื่นได้}

แรงจูงใจ

แรงจูงใจเบื้องหลังเมทริกซ์ความหนาแน่นคือการขาดความรู้เกี่ยวกับสถานะของระบบควอนตัมที่กำหนดห่อหุ้มภายในคำอธิบายเดียวของระบบนี้ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของผลการวัดตามที่เรารู้เกี่ยวกับระบบ การแสดงเมทริกซ์ความหนาแน่นมีข้อได้เปรียบเพิ่มเติมในการกำจัดปัญหาใด ๆ ที่เกี่ยวข้องกับเฟสทั่วโลกเพราะ

$$|\phi\rangle\langle\phi|=(e^{i\varphi}|\phi\rangle)(e^{-i\varphi}\langle\phi|).$$ การขาดความรู้อาจเกิดขึ้นได้หลายวิธี:

• การขาดความรู้เชิงอัตวิสัย - ผู้ตัดสินเตรียมความพร้อมให้คุณหนึ่งในชุดของรัฐ $\{|\phi_i\rangle\}$ ด้วยความน่าจะเป็น $p_i$แต่คุณไม่รู้ว่าอันไหน แม้ว่าพวกเขาจะรู้ว่า$|\phi_j\rangle$ พวกเขาเตรียมเนื่องจากคุณไม่ได้คุณจะต้องอธิบายมันขึ้นอยู่กับสิ่งที่คุณรู้เกี่ยวกับชุดของรัฐที่เป็นไปได้และความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกันของพวกเขา $\rho=\sum_ip_i|\phi_i\rangle\langle \phi_i|$.

• การขาดความรู้อย่างมีวัตถุประสงค์ - หากระบบควอนตัมเป็นส่วนหนึ่งของรัฐที่มีขนาดใหญ่ขึ้นเป็นไปไม่ได้ที่จะอธิบายว่าระบบเป็นรัฐที่บริสุทธิ์ แต่ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการวัดจะถูกอธิบายโดยเมทริกซ์ความหนาแน่น $\rho=\text{Tr}_B(\rho_{AB})$.

อย่างไรก็ตามเป็นที่น่าสนใจว่าการขาดความรู้อย่างมีวัตถุประสงค์นั้นอาจกลายเป็นเรื่องส่วนตัวบุคคลที่สองสามารถดำเนินการในส่วนที่เหลือของรัฐที่เข้าไปพัวพัน พวกเขาสามารถรู้ผลการวัด ฯลฯ แต่ถ้าพวกเขาไม่ผ่านมันคนที่ถือควอนตัมดั้งเดิมไม่มีความรู้ใหม่และอธิบายระบบของพวกเขาโดยใช้เมทริกซ์ความหนาแน่นเท่าเดิม แต่ตอนนี้เป็นคำอธิบายแบบอัตนัย .

นอกจากนี้ยังเป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องทราบว่าการเลือกวิธีเฉพาะในการแทนเมทริกซ์ความหนาแน่นตัวอย่างเช่น $\rho=\sum_ip_i|\phi_i\rangle\langle \phi_i|$เป็นทางเลือกส่วนตัวมาก อาจมีแรงจูงใจจากขั้นตอนการเตรียมการเฉพาะ แต่ในทางคณิตศาสตร์คำอธิบายใด ๆ ที่ให้เมทริกซ์เดียวกันนั้นเทียบเท่ากัน ตัวอย่างเช่นใน qubit เดียว$\rho=\frac12\mathbb{I}$เป็นที่รู้จักในฐานะรัฐผสมที่สุด เนื่องจากความสัมพันธ์ครบถ้วนของข้อมูลพื้นฐานนี้สามารถแสดงเป็นส่วนผสม 50:50 หรือสองรัฐมุมฉากใช้ใด ๆพื้นฐาน 1 คิวบิต

$$\frac12\mathbb{I}=\frac12|0\rangle\langle 0|+\frac12|1\rangle\langle 1|=\frac12|+\rangle\langle +|+\frac12|-\rangle\langle -|.$$

บริสุทธิ์และผสมฯ

ความแตกต่างระหว่างเมทริกซ์ความหนาแน่นของสถานะบริสุทธิ์และสถานะผสมคือตรงไปตรงมา - สถานะบริสุทธิ์เป็นกรณีพิเศษที่สามารถเขียนในรูปแบบ $\rho=|\psi\rangle\langle\psi |$ในขณะที่สถานะผสมไม่สามารถเขียนในรูปแบบนี้ ในทางคณิตศาสตร์หมายความว่าเมทริกซ์ความหนาแน่นของสถานะบริสุทธิ์มีอันดับ 1 ในขณะที่สถานะผสมมีอันดับมากกว่า 1 วิธีที่ดีที่สุดในการคำนวณนี้คือผ่าน$\text{Tr}(\rho^2)$: $\text{Tr}(\rho^2)=1$แสดงถึงสถานะที่บริสุทธิ์มิฉะนั้นมันจะผสม หากต้องการดูสิ่งนี้จำได้ว่า$\text{Tr}(\rho)=1$หมายความว่าค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดรวมเป็น 1 เช่นกัน $\rho$มีค่ากึ่งบวกแน่นอนดังนั้นค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดจึงเป็นจริงและไม่เป็นลบ ดังนั้นถ้า$\rho$ คืออันดับที่ 1 ค่าลักษณะเฉพาะคือ $(1,0,0,\ldots ,0)$และผลรวมของสแควร์นั้นชัดเจน 1. ผลรวมสแควร์ของชุดอื่น ๆ ของจำนวนที่ไม่เป็นลบที่รวมเป็น 1 จะต้องน้อยกว่า 1

สถานะที่บริสุทธิ์สอดคล้องกับความรู้ที่สมบูรณ์แบบของระบบแม้ว่าความสนุกเล็กน้อยเกี่ยวกับกลศาสตร์ควอนตัมก็คือสิ่งนี้ไม่ได้หมายความถึงความรู้เต็มรูปแบบเกี่ยวกับผลลัพธ์การวัด สถานะผสมแสดงถึงความรู้ที่ไม่สมบูรณ์ไม่ว่าจะเป็นความรู้ในการเตรียมการหรือความรู้เกี่ยวกับพื้นที่ฮิลแบร์ตที่มีขนาดใหญ่ขึ้น

คำอธิบายสถานะผสมนั้นสมบูรณ์ยิ่งขึ้นสามารถดูได้จากรูปภาพทรงกลมของ Bloch ใน qubit เดียว: สถานะบริสุทธิ์ล้วนอยู่บนพื้นผิวของทรงกลม ในแง่ของการนับพารามิเตอร์แทนที่จะเป็นสองพารามิเตอร์คุณต้องมีสามตัวซึ่งเป็นหนึ่งในพารามิเตอร์พิเศษที่สอดคล้องกับความยาวของเวกเตอร์ Bloch

$$\rho=\frac{\mathbb{I}+r\underline{n}\cdot\underline{\sigma}}{2},$$ ที่ไหน $\underline{n}$ เป็นเวกเตอร์หน่วย 3 องค์ประกอบ $\underline{\sigma}$ เป็นเวกเตอร์ของเมทริกซ์ Pauli และ $r=1$ สำหรับรัฐที่บริสุทธิ์และ $0\leq r<1$ สำหรับสถานะผสม

The motivation behind density matrices^[1]:

In quantum mechanics, the state of a quantum system is represented by a state vector, denoted $|\psi\rangle$ (and pronounced ket). A quantum system with a state vector $|\psi\rangle$ is called a pure state. However, it is also possible for a system to be in a statistical ensemble of different state vectors. For example, there may be a $50\%$ probability that the state vector is $|\psi_1\rangle$ and a $50\%$ chance that the state vector is $|\psi_2\rangle$. This system would be in mixed state. The density matrix is especially useful for mixed states, because any state, pure or mixed, can be characterized by a single density matrix. A mixed state is different from a quantum superposition. The probabilities in a mixed state are classical probabilities (as in the probabilities one learns in classical probability theory/statistics), unlike the quantum probabilities in a quantum superposition. In fact, a quantum superposition of pure states is another pure state, for example, $\frac{|0\rangle + |1\rangle}{\sqrt{2}}$ . In this case, the coefficients $\frac{1}{\sqrt {2}}$ are not probabilities, but rather probability amplitudes.

Example: light polarization

An example of pure and mixed states is light polarization. Photons can have two helicities, corresponding to two orthogonal quantum states, $|R\rangle$ (right circular polarization) and $|L\rangle$ (left circular polarization). A photon can also be in a superposition state, such as $\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt{2}}$โพลาไรเซชันแนวตั้งหรือ $\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt{2}}$โพลาไรเซชันแนวนอน โดยทั่วไปจะอยู่ในสถานะใดก็ได้$\alpha|R\rangle + \beta |L\rangle$ (กับ $|\alpha|^2+|\beta|^2=1$) ที่สอดคล้องกับเส้นตรง , วงกลมหรือวงรีโพลาไรซ์ ถ้าเราผ่าน$\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt{2}}$ขั้วแสงผ่านpolarizer วงกลมซึ่งจะช่วยให้ทั้งสองเท่านั้น$|R\rangle$ แสงโพลาไรซ์หรือเท่านั้น $|L\rangle$แสงโพลาไรซ์ความเข้มจะลดลงครึ่งหนึ่งในทั้งสองกรณี นี่อาจทำให้ดูเหมือนว่าโฟตอนครึ่งหนึ่งอยู่ในสถานะ$|R\rangle$ และอื่น ๆ ที่อยู่ในสถานะ $|L\rangle$. แต่นี่ไม่ถูกต้อง: ทั้งคู่$|R\rangle$ และ $|L\rangle$ are partly absorbed by a vertical linear polarizer, but the $\frac{|R\rangle+|L\rangle}{\sqrt 2}$ light will pass through that polarizer with no absorption whatsoever.

However, unpolarized light such as the light from an incandescent light bulb is different from any state like $\alpha|R\rangle + \beta|L\rangle$ (linear, circular or elliptical polarization). Unlike linearly or elliptically polarized light, it passes through the polarizer with $50\%$ intensity loss whatever the orientation of the polarizer; and unlike circularly polarized light, it cannot be made linearly polarized with any wave plate because randomly oriented polarization will emerge from a wave plate with random orientation. Indeed, unpolarized light cannot be described as any state of the form $\alpha |R\rangle + \beta |L\rangle$ in a definite sense. However, unpolarized light can be described with ensemble averages, e.g. that each photon is either $|R\rangle$ with $50\%$ probability or $|L\rangle$ with $50\%$ probability. The same behaviour would occur if each photon was either vertically polarized with $50\%$ probability or horizontally polarized with $50\%$ probability.

Therefore, unpolarized light cannot be described by any pure state but can be described as a statistical ensemble of pure states in at least two ways (the ensemble of half left and half right circularly polarized, or the ensemble of half vertically and half horizontally linearly polarized). These two ensembles are completely indistinguishable experimentally, and therefore they are considered the same mixed state. One of the advantages of the density matrix is that there is just one density matrix for each mixed state, whereas there are many statistical ensembles of pure states for each mixed state. Nevertheless, the density matrix contains all the information necessary to calculate any measurable property of the mixed state.

Where do mixed states come from? To answer that, consider how to generate unpolarized light. One way is to use a system in thermal equilibrium, a statistical mixture of enormous numbers of microstates, each with a certain probability (the Boltzmann factor), switching rapidly from one to the next due to thermal fluctuations. Thermal randomness explains why an incandescent light bulb, for example, emits unpolarized light. A second way to generate unpolarized light is to introduce uncertainty in the preparation of the system, for example, passing it through a birefringent crystal with a rough surface, so that slightly different parts of the beam acquire different polarizations. A third way to generate unpolarized light uses an EPR setup: A radioactive decay can emit two photons travelling in opposite directions, in the quantum state $\frac{|R,L\rangle + |L,R\rangle}{\sqrt{2}}$. The two photons together are in a pure state, but if you only look at one of the photons and ignore the other, the photon behaves just like unpolarized light.

More generally, mixed states commonly arise from a statistical mixture of the starting state (such as in thermal equilibrium), from uncertainty in the preparation procedure (such as slightly different paths that a photon can travel), or from looking at a subsystem entangled with something else.

Obtaining the density matrix^[2]:

As mentioned before, a system can be in a statistical ensemble of different state vectors. Say there is $p_1$ probability that the state vector is $|\psi_1\rangle$ and $p_2$ probability that the state vector is $|\psi_2\rangle$ are the corresponding classical probabilities of each state being prepared.

Say, now we want to find the expectation value of an operator $\hat{O}$. It is given as:

$$\langle \hat{O} \rangle = p_1\langle \psi_1 \lvert \hat{O} \lvert \psi_1 \rangle + p_2\langle \psi_2 \lvert \hat{O} \lvert \psi_2 \rangle$$

Note that $\langle \psi_1 \lvert \hat{O} \lvert \psi_1 \rangle$ and $p_2\langle \psi_2 \lvert \hat{O} \lvert \psi_2 \rangle$ are scalars, and trace of scalars are scalars too. Thus, we can write the above expression as:

$$\langle \hat{O} \rangle = Tr(p_1\langle \psi_1 \lvert \hat{O} \lvert \psi_1 \rangle) + Tr(p_2\langle \psi_2 \lvert \hat{O} \lvert \psi_2 \rangle)$$

Now, using the cyclic invariance and linearity properties of the trace:

$$\langle \hat{O} \rangle = p_1Tr(\hat{O} \lvert \psi_1 \rangle \langle \psi_1 \lvert) + p_2Tr(\hat{O} \lvert \psi_2 \rangle \langle \psi_2 \lvert)$$

$$= Tr(\hat{O} (p_1 \lvert \psi_1 \rangle \langle \psi_1 \lvert) + p_2 \lvert \psi_2 \rangle \langle \psi_2 \lvert)) = Tr(\hat{O} \rho)$$

where $\rho$ is what we call the density matrix. The density operator contains all the information needed to calculate an expectation value for the experiment.

Thus, basically the density matrix $\rho$ is

$$p_1 \lvert \psi_1 \rangle \langle \psi_1 \lvert + p_2 \lvert \psi_2 \rangle \langle \psi_2 \lvert$$ in this case.

You can obviously extrapolate this logic for when more than just two state vectors are possible for a system, with different probabilities.

Calculating the density matrix:

Let's take an example, as follows.

In the above image, the incandescent light bulb $1$ emits completely random polarized photons $2$ with mixed state density matrix.

As mentioned before, an unpolarized light can be explained with an ensemble average i.e. say each photon is either $|R\rangle$ or $|L\rangle$ with $50%$ probability for each. Another possible ensemble average is: each photon is either $\frac{|R\rangle+|L\rangle}{\sqrt 2}$ or $\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}$ with $50\%$ probability for each. There are lots of other possibilities too. Try to come up with some yourself. The point to note is that the density matrix for all these possible ensembles will be exactly the same. And this is exactly the reason why density matrix decomposition into pure states is not unique. Let's check:

Case 1: $50\%$ $|R\rangle$ & $50\%$ $|L\rangle$

$$\rho_{\text{mixed}} = 0.5 |R\rangle \langle R| + 0.5 |L\rangle \langle L|$$

Now, in the basis $\{|R\rangle, |L\rangle\}$, $|R\rangle$ can be denoted as $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ and $|L\rangle$ can be denoted as $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

$$\therefore 0.5 \left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}\right) + 0.5 \left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix}\right)$$

$$= 0.5 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + 0.5\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

$$= \begin{bmatrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{bmatrix}$$

Case 2: $50\%$ $\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}$ & $50\%$ $\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}$

$$\rho_{\text{mixed}} = 0.5 \left(\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}\right)\otimes \left(\frac{\langle R| + \langle L|}{\sqrt 2}\right) + 0.5 \left(\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}\right)\otimes \left(\frac{\langle R| - \langle L|}{\sqrt 2}\right)$$

In the basis $\{\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}, \frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}\}$, $\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}$ can be denoted as $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ and $\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}$ can be denoted as $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

$$\therefore 0.5 \left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}\right) + 0.5 \left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix}\right)$$

$$= 0.5 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + 0.5\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

$$= \begin{bmatrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{bmatrix}$$ Thus, we can clearly see that we get the same density matrices in both case 1 and case 2.

However, after passing through the vertical plane polarizer (3), the remaining photons are all vertically polarized (4) and have pure state density matrix:

$$\rho_{\text{pure}} = 1 \left(\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}\right)\otimes \left(\frac{\langle R| + \langle L|}{\sqrt 2}\right) + 0 \left(\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}\right)\otimes \left(\frac{\langle R| - \langle L|}{\sqrt 2}\right)$$

In the basis $\{\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}, \frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}\}$, $|R\rangle$ can be denoted as $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ and $|L\rangle$ can be denoted as $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

$$\therefore 1 \left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}\right) + 0 \left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix}\right)$$

$$= 1 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + 0\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

$$= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$

The single qubit case:

If your system contains just a single qubit and you're know that its state $|\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$ (where $|\alpha|^2+|\beta|^2$) then you are already sure that the 1-qubit system has the state $|\psi\rangle$ with probability $1$!

In this case, the density matrix will simply be:

$$\rho_{\text{pure}} = 1|\psi\rangle \langle \psi|$$

If you're using the orthonormal basis $\{\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle,\beta^*|0\rangle - \alpha^*|1\rangle\}$,

the density matrix will simply be:

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$

This is very similar to 'case 2' above, so I didn't show the calculations. You can ask questions in the comments if this portion seems unclear.

However, you could also use the $\{|0\rangle,|1\rangle\}$ basis as @DaftWullie did in their answer.

In the general case for a 1-qubit state, the density matrix, in the $\{|0\rangle,|1\rangle\}$ basis would be:

$$\rho = 1(\alpha |0\rangle + \beta |1\rangle) \otimes (\alpha^* \langle 0| + \beta^* \langle 1|)$$

$$= \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} \alpha^* & \beta^* \end{bmatrix}$$

$$= \begin{bmatrix} \alpha\alpha^* & \alpha\beta^* \\ \beta\alpha^* & \beta\beta^* \end{bmatrix}$$

Notice that this matrix $\rho$ is idempotent i.e. $\rho = \rho^2$. This is an important property of the density matrices of a pure state and helps us to distinguish them from density matrices of mixed states.

Obligatory exercises:

1. Show that density matrices of pure states can be diagonalized to the form $\text{diag}(1,0,0,...)$.
2. Prove that density matrices of pure states are idempotent.

---

Sources & References:

[1]: https://en.wikipedia.org/wiki/Density_matrix

[2]: https://physics.stackexchange.com/a/158290

Image Credits:

User Kaidor on Wikimedia