ขั้นตอนวิธีเชิงควอนตัมสำหรับระบบเชิงเส้นของสมการ (HHL09): ขั้นตอนที่ 1 - ความสับสนเกี่ยวกับการใช้อัลกอริทึมการประมาณเฟส

ฉันพยายามที่จะนำหน้ากระดาษที่มีชื่อเสียง (?) Quantum algorithm สำหรับระบบเชิงเส้นของสมการ (Harrow, Hassidim & Lloyd, 2009) (รู้จักกันอย่างแพร่หลายว่าเป็นกระดาษอัลกอริทึม HHL09 ) ในขณะนี้

ในหน้าแรกพวกเขาพูดว่า :

เราร่างแนวคิดพื้นฐานของอัลกอริทึมของเราที่นี่แล้วพูดคุยรายละเอียดเพิ่มเติมในส่วนถัดไป ได้รับเทียนเมทริกซ์ และหน่วยเวกเตอร์สมมติว่าเราต้องการที่จะหา ความพึงพอใจของ{ข} (เราจะพูดถึงคำถามที่มีประสิทธิภาพในภายหลังรวมถึงวิธีการที่สมมติฐานที่เราทำเกี่ยวกับ และสามารถผ่อนคลายได้) ก่อนอื่นอัลกอริทึมแทน เป็นสถานะควอนตัม{i ต่อไปเราจะใช้เทคนิคการจำลองมิลโตเนียน [3, 4] เพื่อใช้ กับ $N\times N$ $A$ $\vec{b}$ $\vec{x}$ $A\vec{x} = \vec{b}$ $A$ $\vec{b}$ $\vec{b}$ $|b\rangle = \sum_{i=1}^{N}b_i|i\rangle$ $e^{iAt}$ $|b_i\rangle$ สำหรับการทับซ้อนของเวลาที่แตกต่างกันทีความสามารถนี้ในการยกกำลังโดยใช้เทคนิคที่รู้จักกันดีของการประมาณเฟส [5–7] ในความสามารถในการสลาย ใน eigenbasis ของและเพื่อหาค่าลักษณะเฉพาะ อย่างไม่เป็นทางการ, สถานะของ ระบบหลังจากขั้นตอนนี้อยู่ใกล้กับโดยที่เป็นพื้นฐานของ eigenvector ของ และ\ $t$ $A$ $|b\rangle$ $A$ $\lambda_j$ $\sum_{j=1}^{j=N} \beta_j |u_j\rangle|\lambda_j\rangle$ $u_j$ $A$ $|b\rangle = \sum_{j=1}^{j=N} \beta_j|u_j\rangle$

จนถึงตอนนี้ดีมาก ตามที่อธิบายไว้ในNielsen & Chuangในบท " การแปลงฟูริเยร์เชิงปริมาณและการประยุกต์ใช้ " อัลกอริทึมการประมาณเฟสถูกใช้ในการประมาณในซึ่งเป็นค่าเฉพาะที่สอดคล้องกับ eigenvectorของผู้ประกอบการรวมU $\varphi$ $e^{i2\pi \varphi}$ $|u\rangle$ $U$

นี่คือส่วนที่เกี่ยวข้องจาก Nielsen & Chuang:

อัลกอริทึมการประมาณเฟสใช้สองรีจิสเตอร์ ลงทะเบียนแรกประกอบด้วย qubits ครั้งแรกในรัฐ|วิธีที่เราเลือก ขึ้นอยู่กับสองสิ่ง: จำนวนหลักของความแม่นยำที่เราต้องการให้มีในการประมาณและด้วยความน่าจะเป็นที่เราต้องการให้ขั้นตอนการประมาณเฟสประสบความสำเร็จ การพึ่งพาของกับปริมาณเหล่านี้เกิดขึ้นตามธรรมชาติจากการวิเคราะห์ต่อไปนี้ $t$ $|0\rangle$ $t$ $\varphi$ $t$

ลงทะเบียนที่สองจะเริ่มขึ้นในรัฐและมีเป็น qubits มากที่สุดเท่าที่มีความจำเป็นในการจัดเก็บ|การประมาณเฟสจะดำเนินการในสองขั้นตอน อันดับแรกเราใช้วงจรที่แสดงในรูปที่ 5.2 วงจรเริ่มต้นด้วยการใช้ Hadamard เปลี่ยนเป็นรีจิสเตอร์แรกตามด้วยแอปพลิเคชั่นควบคุม - การดำเนินการบนรีจิสเตอร์ที่สองโดยที่ยกระดับเป็นพลังต่อเนื่องของทั้งสอง สถานะสุดท้ายของการลงทะเบียนครั้งแรกจะเห็นได้อย่างง่ายดายว่า: $|u\rangle$ $|u\rangle$ $U$ $U$

$\frac{1}{2^{t / 2}} (| 0 ⟩ + exp (2 π i 2^{t - 1} φ) | 1 ⟩) (| 0 ⟩ + exp (2 π i 2^{t - 2} φ) | 1 ⟩) . . . (| 0 ⟩ + exp (2 π i 2^{0} φ) | 1 ⟩) = \frac{1}{2^{t / 2}} \sum_{k = 0}^{2^{t} - 1} exp (2 π i φ k) | k ⟩$ $\frac{1}{2^{t/2}}\left(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{t-1}\varphi)|1\rangle)(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{t-2}\varphi)|1\rangle)...(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{0}\varphi)|1\rangle\right)= \frac{1}{2^{t/2}}\sum_{k=0}^{2^{t}-1}\text{exp}(2\pi i \varphi k)|k\rangle$

ขั้นตอนที่สองของการประมาณเฟสคือการใช้การแปลงควอนตัมฟูริเยร์ในการลงทะเบียนครั้งแรก สิ่งนี้ได้มาจากการย้อนกลับวงจรสำหรับการแปลงควอนตัมฟูริเยร์ในส่วนก่อนหน้า (การออกกำลังกาย 5.5) และสามารถทำได้ในขั้นตอนขั้นตอนที่สามและขั้นสุดท้ายของการประมาณเฟสคือการอ่านสถานะของการลงทะเบียนครั้งแรกโดยทำการวัดตามเกณฑ์การคำนวณ เราจะแสดงให้เห็นว่านี้ให้ประมาณการที่ดีงามของ\แผนผังโดยรวมของอัลกอริทึมแสดงในรูปที่ 5.3 $\Theta (t^2)$ $\varphi$

เพื่อความคมชัดสัญชาตญาณของเราว่าทำไมผลงานขั้นตอนการประมาณค่าสมมติว่า อาจจะแสดงออกบิต int ว่าเป็น\ จากนั้นสถานะ (5.20) ซึ่งเป็นผลมาจากขั้นตอนแรกของการประมาณเฟสอาจถูกเขียนใหม่ $\varphi$ $\varphi = 0.\varphi_1 ... \varphi_t$

$\frac{1}{2^{t / 2}} (| 0 ⟩ + \exp (2 π i 0. φ_{t} | 1 ⟩) (| 0 ⟩ + \exp (2 π i 0. φ_{t - 1} φ_{t} | 1 ⟩) . . . (| 0 ⟩ + \exp (2 π i 0. φ_{1} . . . φ_{t} | 1 ⟩)$ $\frac{1}{2^{t/2}}(|0\rangle + \exp(2\pi i 0.\varphi_t|1\rangle)(|0\rangle + \exp(2\pi i 0.\varphi_{t-1}\varphi_t|1\rangle)...(|0\rangle + \exp(2\pi i 0.\varphi_1...\varphi_t|1\rangle)$
ขั้นตอนที่สองของการประมาณเฟสคือการใช้การแปลงควอนตัมฟูริเยร์ผกผัน แต่เมื่อเปรียบเทียบกับสมการก่อนหน้านี้มีรูปแบบผลิตภัณฑ์สำหรับฟูเรียร์, สมการ (5.4) เราจะเห็นว่ารัฐออกจากขั้นตอนที่สองคือสถานะสินค้า ... ดังนั้นการวัดแบบพื้นฐานจึงให้แน่นอน! $|\varphi_1 ...\varphi_t\rangle$ $\varphi$

สรุปขั้นตอนวิธีการขั้นตอนการประเมินช่วยให้หนึ่งในการประมาณเฟสของค่าเฉพาะของผู้ประกอบการรวมให้วิคเตอร์สอดคล้อง|คุณลักษณะสำคัญที่เป็นหัวใจของขั้นตอนนี้คือความสามารถของการแปลงฟูริเยร์ผกผันเพื่อทำการแปลงรูป $\varphi$ $U$ $|u\rangle$

$\frac{1}{2^{t / 2}} \sum_{j = 0}^{2^{t} - 1} \exp (2 π i φ j) | j ⟩ | u ⟩ \to | \tilde{φ} ⟩ | u ⟩$ $\frac{1}{2^{t/2}}\sum_{j = 0}^{2^t-1}\exp(2\pi i \varphi j)|j\rangle |u\rangle \to |\tilde \varphi \rangle |u\rangle$

เริ่มจากตรงนี้ ฉันพบแผนภาพวงจรที่ดีสำหรับอัลกอริทึม HHL09 ที่นี่^{[ ] $\dagger$} :

ขั้นตอนที่ 1 (การประมาณเฟส):

ในขั้นตอนแรกของอัลกอริทึม HHL09 จะใช้แนวคิดเดียวกัน (ของอัลกอริทึมการประมาณระยะควอนตัมมาตรฐานตามที่อธิบายไว้ใน Nielsen และ Chuang) อย่างไรก็ตามเราต้องจำไว้ว่าโดยตัวของมันเองไม่ได้เป็นผู้ประกอบการรวมกัน อย่างไรก็ตามถ้าเราสมมติว่าเป็น Hermitian แล้วนั้นเป็น (ไม่ต้องกังวลก็มีวิธีแก้ปัญหาในกรณีที่ไม่ใช่ Hermitian!) $A$ $A$ $e^{iAt}$ $A$

ที่นี่เราสามารถเขียน{} มีอีกจุดที่เกี่ยวข้องกับที่นี่ เราไม่รู้จัก eigenvectors ofล่วงหน้า (แต่เรารู้ว่าเมทริกซ์ใด ๆ ที่รวมกันของขนาดมีeigenvector orthonormal ) นอกจากนี้เราต้องเตือนตัวเองว่าถ้าค่าลักษณะเฉพาะของเป็นแล้วค่าลักษณะเฉพาะของจะเป็นt} ถ้าเราเปรียบเทียบสิ่งนี้กับรูปแบบของค่าลักษณะเฉพาะที่กำหนดใน Nielsen และ Chuang สำหรับนั่นคือถ้า $U=e^{iAt}$ $|u_j\rangle$ $U$ $N\times N$ $N$ $A$ $\lambda_j$ $e^{iAt}$ $e^{i \lambda_j t}$ $U$ $e^{2\pi i \varphi} \equiv e^{ i \lambda_j t}$ เราต้องการหาปี่} ในกรณีนี้เราเริ่มต้นในรัฐ (ซึ่งสามารถเขียนเป็นทับซ้อนของ eigenvectors ของคือ ) มากกว่า eigenvector เฉพาะ ofเท่าที่เกี่ยวข้องกับการลงทะเบียนครั้งที่สองของ qubits หากเราได้เริ่มต้นในรัฐเราจะต้องจบลงด้วย ie (พิจารณาว่า $\varphi = \frac{\lambda_j t}{2\pi}$ $|b\rangle$ $U$ $\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle$ $|u_j\rangle$ $U$ $|u\rangle \otimes (|0\rangle)^{\otimes t}$ $|u\rangle \otimes |\tilde\varphi\rangle$ $|u_j\rangle \otimes |\tilde{\frac{\lambda_j t}{2\pi}}\rangle$ $\lambda_j$ คือค่าลักษณะเฉพาะที่เกี่ยวข้องกับ eigenvector of ) ตอนนี้ถ้าเราเริ่มต้นในการซ้อนของ eigenvectorเราควรลงท้ายด้วยt} $|u_j\rangle$ $A$ $\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle$ $\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle\otimes |\tilde{\frac{\lambda_j t}{2\pi}}\rangle$

คำถาม:

ส่วนที่ 1 : ในกระดาษ HHL09พวกเขาเขียนเกี่ยวกับสถานะของระบบหลังจากขั้นตอนการประมาณเฟสนี้คือ . อย่างไรก็ตามจากสิ่งที่ฉันเขียนด้านบนดูเหมือนว่าสถานะของระบบควรเป็นt} $\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle\otimes |\tilde\lambda_j\rangle$ $\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle\otimes |\tilde{\frac{\lambda_j t}{2\pi}}\rangle$

ฉันหายไปนี่อะไร ปัจจัยของหายไปไหนในอัลกอริทึม $\frac{t}{2\pi}$

แก้ไข: มีการถามตอนที่ 2 ที่นี่เพื่อทำให้คำถามแต่ละข้อเน้นมากขึ้น

^{ฉันยังมีความสับสนหลายอย่างเกี่ยวกับขั้นตอนที่ 2 และขั้นตอนที่ 3 ของอัลกอริทึม HHL09 เช่นกัน แต่ฉันตัดสินใจที่จะโพสต์พวกเขาเป็นชุดคำถามแยกต่างหากเนื่องจากอันนี้ยาวเกินไป ฉันจะเพิ่มลิงก์ไปยังกระทู้คำถามเหล่านั้นในโพสต์นี้เมื่อมีการสร้างขึ้น}

[ ]: การทดลองการเข้ารหัสแบบโฮโมมอร์ฟิคบนแพลตฟอร์มควอนตัมการคำนวณคลาวด์ของ IBMหวางและคณะ (2016) $\dagger$

algorithm hhl-algorithm phase-estimation

— Sanchayan Dutta
แหล่งที่มา

@Nelimee ที่มาจากสูตร6 มันหมายถึงจำนวน qubits ใน "การลงทะเบียนครั้งแรก" ที่จำเป็นในการเป็นตัวแทนของแต่ละหรือไป -bits ของความแม่นยำและความถูกต้อง Btw โปรดทราบส่วนหนึ่งของคำถามในขณะนี้ได้รับการเลื่อนที่นี่

6

$6$

t = 3 + ⌈ \log_{2} (2 + \frac{1}{2 (0.1)}) ⌉ = 3 + 3 = 6

$t = 3 + \lceil { \log_2(2+\frac{1}{2 (0.1)})\rceil} = 3 + 3 = 6$

| λ_{j} ⟩

$|\lambda_j\rangle$

| \frac{λ_{j} t}{2 π} ⟩

$|\frac{\lambda_j t}{2\pi}\rangle$

3

$3$

90 %

$90\%$

— Sanchayan Dutta

มันขึ้นอยู่กับเอกสาร แต่ฉันเห็น 2 แนวทาง:

ในส่วนของเอกสารที่ผมอ่านเกี่ยวกับ HHL อัลกอริทึมและการดำเนินงานของมิลโตเนียนเวลาวิวัฒนาการจะได้รับการดังกล่าวว่าปัจจัยนี้หายไปคือ2 $t$ $t = t_0 = 2\pi$
eigenvalue ตัวอย่างมักจะเขียน\ ในกระดาษบางฉบับสัญกรณ์นี้จริงๆหมายถึง "การประมาณของค่าลักษณะเฉพาะที่แท้จริง " และในเอกสารอื่น ๆ พวกเขาดูเหมือนจะรวมในคำนิยามนี้คือ "คือการประมาณของ ค่าของ " $\tilde \lambda$ $\lambda$ $\frac{t}{2\pi}$ $\tilde \lambda$ $\frac{\lambda t}{2\pi}$

นี่คือลิงค์บางส่วน:

ขั้นตอนวิธีเชิงเส้นควอนตัมของระบบ: ไพรเมอร์ (Dervovic, Herbster, Mountney, Severini, Usher & Wossnig, 2018) : บทความที่สมบูรณ์และดีมากเกี่ยวกับอัลกอริทึม HHL และการปรับปรุงบางอย่างที่ค้นพบ กระดาษจากกุมภาพันธ์ 22, 2018 ค่าของที่คุณกำลังสนใจในการเป็น addressed ครั้งแรกในหน้า 30 ในตำนานของรูปที่ 5 และได้รับการแก้ไขที่2 $t$ $2\pi$
การออกแบบวงจรควอนตัมสำหรับการแก้ระบบสมการเชิงเส้น (Cao, Daskin, Frankel & Kais, 2013) (ใช้ v2 ไม่ใช่ v3): การใช้งานรายละเอียดของอัลกอริทึม HHL สำหรับเมทริกซ์ 4x4 แบบตายตัว หากคุณวางแผนที่จะใช้บทความให้ฉันเตือนคุณว่ามีข้อผิดพลาดบางอย่างในนั้น ฉันสามารถให้สิ่งที่ฉันพบถ้าคุณมีความสนใจ ค่าของ (ซึ่งแสดงเป็นในบทความนี้) ได้รับการแก้ไขเป็นในหน้าสอง (ที่จุดเริ่มต้นของคอลัมน์ด้านขวา) $t$ $t_0$ $2\pi$
การคำนวณควอนตัมเชิงทดลองเพื่อแก้ปัญหาระบบสมการเชิงเส้น (Cai, Weedbrook, Su, เฉิน, Gu, Zhu, Li, Liu, Lu & Pan, 2013) : การใช้อัลกอริทึม HHL สำหรับเมทริกซ์ 2x2 ในการตั้งค่าการทดลอง พวกเขาแก้ไขในตำนานของรูปที่ 1 $t = 2\pi$
การทดลองใช้อัลกอริทึมควอนตัมสำหรับการแก้ระบบเชิงเส้นของสมการ (Pan, Cao, Yao, Li, Ju, Peng, Kais & Du, 2013) : การใช้งาน HHL สำหรับเมทริกซ์ 2x2 การดำเนินการคล้ายกับที่ให้ไว้ในจุดที่สองข้างต้นด้วยเมทริกซ์ 4x4 พวกเขาซ่อมในหน้า 3, สัญลักษณ์แสดงหัวข้อ n ° 2 $t_0 = 2\pi$

— Nelimee
แหล่งที่มา

ฉันหายไปนี่อะไร ปัจจัยของหายไปไหนในอัลกอริทึม $\frac{t}{2\pi}$

จำไว้ว่าในสัญกรณ์ Dirac ทุกสิ่งที่คุณเขียนไว้ข้างในเกตุคือป้ายกำกับโดยพลการที่อ้างถึงสิ่งที่เป็นนามธรรมมากกว่า ดังนั้นมันเป็นความจริงที่ว่าคุณกำลังค้นหา eigenvector (โดยประมาณ) กับซึ่งมี eigenvalueและดังนั้นสิ่งที่คุณสกัดคือแต่นั่นคือ เช่นเดียวกับ eigenvector ของกับ eigenvalueและเป็นสิ่งที่ถูกอ้างถึงในสัญกรณ์ แต่ถ้าคุณต้องการที่จะชัดเจนจริงๆคุณสามารถเขียนมันเป็น $U$ $e^{-i\lambda t}$ $\lambda t/(2\pi)$ $A$ $\lambda$

| ประมาณค่าลักษณะเฉพาะของซึ่ง eigenvalue คือและที่ eigenvalue ถ้า , $U$ $e^{-i\lambda t}$ $A$ $\lambda\rangle$

แต่บางทีแทนที่จะเขียนออกมาทุกครั้งเราอาจเขียนเพื่อความกระชับ! $|\tilde\lambda\rangle$

— DaftWullie
แหล่งที่มา