ขั้นตอนวิธีเชิงควอนตัมสำหรับระบบเชิงเส้นของสมการ (HHL09): ขั้นตอนที่ 2 - การจัดทำสถานะเริ่มต้นและ

^{นี่คือความต่อเนื่องของอัลกอริทึมควอนตัมสำหรับระบบเชิงเส้นของสมการ (HHL09): ขั้นตอนที่ 2 -คืออะไร?$|\Psi_0\rangle$}

ในกระดาษ: อัลกอริทึมควอนตัมสำหรับระบบเชิงเส้นของสมการ (Harrow, Hassidim & Lloyd, 2009) , รายละเอียดของการใช้งานจริงของอัลกอริทึมไม่ได้รับ วิธีการที่รัฐและถูกสร้างขึ้นแล้วเป็นประเภทของ " กล่องดำ " (ดูหน้า 2-3)$|\Psi_0\rangle$$|b\rangle$

และ

โดยที่$|\Psi_0\rangle$เป็นสถานะเริ่มต้นของการลงทะเบียนนาฬิกาและ$|b\rangle$เป็นสถานะเริ่มต้นของการลงทะเบียนอินพุต

(พูด) ฉันต้องการทำอัลกอริทึมของพวกเขาในคอมพิวเตอร์ควอนตัมควอนตัมIBM$16$และฉันต้องการแก้สมการโดยที่คือเมทริกซ์เฮอริเทจกับรายการจริงและเป็นเวกเตอร์คอลัมน์มีรายการจริง$\mathbf{Ax=b}$$\mathbf{A}$$4\times 4$$\mathbf{b}$$4\times 1$

ลองมาตัวอย่าง:

และ

ด้วยขนาดของและเราควรต้องการ qubits สำหรับการลงทะเบียนอินพุตและอีก qubits สำหรับการลงทะเบียนนาฬิกาโดยสมมติว่าเราต้องการค่าลักษณะเฉพาะ แสดงด้วยความแม่นยำและความแม่นยำสูงสุดบิตสำหรับค่าลักษณะเฉพาะ (ได้มีการกล่าวถึงที่นี่ก่อนหน้านี้) ดังนั้นจะต้องใช้ qubits เพื่อจุดประสงค์นี้ (เพิ่ม qubit คือ ancilla)$\mathbf{A}$$\mathbf{b}$$\lceil{\log_2 4\rceil}=2$$6$$90\%$$3$$2+6+1=9$$1$

คำถาม:

1. การใช้ข้อมูลนี้เป็นไปได้หรือไม่ที่จะสร้างสถานะเริ่มต้นและในเวอร์ชันIBM qubit$|\Psi_0\rangle$$|b\rangle$$16$

2. หากคุณคิดว่ามีขนาดใหญ่เกินกว่าที่จะนำไปใช้กับคอมพิวเตอร์ควอนตัม IBM คุณสามารถแสดงตัวอย่างของการเตรียมสถานะเริ่มต้นสำหรับเมทริกซ์เฮอร์เมียน Hermitian (หรือเพียงแค่ให้การอ้างอิงถึง ตัวอย่าง).$4\times 4$$2\times 2$$\mathbf{A}$

ฉันเพียงต้องการที่จะได้รับความคิดทั่วไปเกี่ยวกับสิ่งที่สามารถทำได้ (เช่นว่ามันเป็นไปได้) ในคอมพิวเตอร์ควอนตัม IBM 16-qubit และสิ่งที่ประตูจะมีความจำเป็น ถ้าไม่ใช่คอมพิวเตอร์ควอนตัมแบบ 16 บิตของควอนตัมเครื่องจำลอง QISKit สามารถใช้เพื่อสร้างการเตรียมสถานะเริ่มต้นใหม่ของและในอัลกอริทึม HHL ได้หรือไม่? มีทางเลือกอื่นที่ดีกว่าที่จะไปเกี่ยวกับเรื่องนี้?$|\Psi_0\rangle$$|b\rangle$

ไม่สามารถสร้างสถานะเริ่มต้นและในเวอร์ชัน IBM 16 qubits ในทางตรงกันข้ามมันเป็นไปได้ที่จะประมาณพวกเขาด้วยข้อผิดพลาดต่ำโดยพลการ¹เป็นประตูที่ดำเนินการโดยชิป IBM ให้ความเป็นไปได้นี้$\left| \Psi_0\right>$$\left|b\right>$

ที่นี่คุณขอ 2 สถานะควอนตัมที่แตกต่างกัน:

1. $\left| b \right>$ไม่ได้ถูก จำกัด เลย สถานะถูกแทนด้วยเวกเตอร์ของจำนวนเชิงซ้อนที่สามารถเป็นอะไรก็ได้ (ตราบใดที่เวกเตอร์มีบรรทัดฐานรวมกัน)$\left| b \right>$$N$
2. $\left| \Psi_0 \right>$สามารถมองเห็นเป็นกรณีพิเศษของ , ที่ค่าสัมประสิทธิ์ถูก จำกัด มากขึ้น$\left| b \right>$$b_i$

ด้วยการวิเคราะห์นี้สามารถใช้วิธีการใดก็ได้ในการสร้างนอกจากนี้ยังสามารถใช้เพื่อสร้าง . ในขณะที่มีข้อ จำกัด มากขึ้นเราหวังว่าจะมีอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพมากกว่าในการสร้าง .$\left|b\right>$$\left| \Psi_0 \right>$$\left| \Psi_0 \right>$$\left| \Psi_0 \right>$

มีประโยชน์สำหรับและ$\left|b\right>$$\left|\Psi_0\right>$ : จากการสังเคราะห์วงจรควอนตัมเชิงตรรกะ (Shende, Bullock & Markov, 2006) , QISKit Python SDK ใช้วิธีการทั่วไปเพื่อเริ่มต้นสถานะควอนตัมโดยพลการ .

มีประโยชน์สำหรับ$\left|\Psi_0\right>$ : การสร้าง superpositions ที่สอดคล้องกับการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบการได้อย่างมีประสิทธิภาพ (Grover & Rudolph, 2002)นำเสนออัลกอริทึมอย่างรวดเร็วในการเริ่มต้นสถานะ ข้อ จำกัด เหล่านี้ได้รับการเคารพสำหรับตามอัลกอริทึม Quantum สำหรับการแก้ระบบเชิงเส้นของสมการ (Harrow, Hassidim & Lloyd, 2009) , บรรทัดสุดท้ายของหน้า 5$\left|\Psi_0\right>$

สำหรับการดำเนินการกับ QISKit นี่คือตัวอย่างเพื่อเริ่มต้นสถานะควอนตัมที่กำหนด:

import qiskit

statevector_backend = qiskit.get_backend('local_statevector_simulator')

###############################################################
# Make a quantum program for state initialization.
###############################################################
qubit_number = 5
Q_SPECS = {
    "name": "StatePreparation",
    "circuits": [
        {
            "name": "initializerCirc",
            "quantum_registers": [{
                "name": "qr",
                "size": qubit_number
            }],
            "classical_registers": [{
                "name": "cr",
                "size": qubit_number
            }]},
    ],
}
Q_program = qiskit.QuantumProgram(specs=Q_SPECS)

## State preparation
import numpy as np
from qiskit.extensions.quantum_initializer import _initializer

def psi_0_coefficients(qubit_number: int):
    T = 2**qubit_number
    tau = np.arange(T)
    return np.sqrt(2 / T) * np.sin(np.pi * (tau + 1/2) / T)

def get_coeffs(qubit_number: int):
    # Can be changed to anything, the initialize function will take
    # care of the initialisation.
    return np.ones((2**qubit_number,)) / np.sqrt(2**qubit_number)
    #return psi_0_coefficients(qubit_number)

circuit_prep = Q_program.get_circuit("initializerCirc")
qr = Q_program.get_quantum_register("qr")
cr = Q_program.get_classical_register('cr')
coeffs = get_coeffs(qubit_number)
_initializer.initialize(circuit_prep, coeffs, [qr[i] for i in range(len(qr))])

res = qiskit.execute(circuit_prep, statevector_backend).result()
statevector = res.get_statevector("initializerCirc")
print(statevector)

¹ "ข้อผิดพลาด" ที่นี่หมายถึงข้อผิดพลาดระหว่างสถานะอุดมคติและการประมาณค่าเมื่อจัดการกับคอมพิวเตอร์ควอนตัมที่สมบูรณ์แบบ (เช่นไม่มีความไม่มีระเบียบไม่มีข้อผิดพลาดเกท)

อัลกอริทึม HHL ที่มีเมทริกซ์ 4 x 4 อาจมีขนาดใหญ่สำหรับคอมพิวเตอร์ IBM ฉันลองอัลกอริทึมรุ่นของเล่นขนาดเล็กลงตามลิงค์ของ arXiv 1302.1210 ระบบการแก้สมการเชิงเส้น

ฉันอธิบายเกี่ยวกับวงจรนี้เล็กน้อยที่นี่ที่ stackexchange: /cs/76525/could-a-quantum-computer-perform-linear-algebra-faster-than-a-classical-computer/ 77036 # 77036

น่าเสียดายที่มันมีเพียง 1 qubit input ที่มีเมทริกซ์ A = 2 x 2 ซึ่งในคำตอบจะมีการเชื่อมโยงไปยังวงจร IBM