การประมาณเฟสควอนตัมและอัลกอริทึม HHL - ต้องมีความรู้เรื่องค่าลักษณะเฉพาะหรือไม่

ขั้นตอนวิธีการขั้นตอนการประมาณควอนตัม (QPE) คำนวณประมาณของค่าเฉพาะที่เกี่ยวข้องกับวิคเตอร์ที่กำหนดของประตูควอนตัมU $U$

อย่างเป็นทางการปล่อยเป็น eigenvector ของ , QPE ช่วยให้เราหา ,บิตที่ดีที่สุดประมาณเช่นนั้นและ $\left|\psi\right>$ $U$ $\vert\tilde\theta\rangle$ $m$ $\lfloor2^m\theta\rfloor$ $\theta \in [0,1)$

U | ψ ⟩ = e^{2 π i θ} | ψ ⟩ .

$U\vert\psi\rangle = e^{2\pi i \theta} \vert\psi\rangle.$

อัลกอริทึม HHL ( กระดาษเดิม ) ใช้เวลาเป็น input เมทริกซ์ที่ตอบสนองและรัฐควอนตัมและคำนวณที่ encodes วิธีการแก้ปัญหาของระบบเชิงเส้นb $A$

e^{i A t} is unitary

$e^{iAt} \text{ is unitary }$

| b ⟩

$\vert b \rangle$

| x ⟩

$\vert x \rangle$

A x = b

$Ax = b$

หมายเหตุ : ทุกแมทริกซ์เทียน statisfy เงื่อนไขใน $A$

ต้องการทำเช่นนั้น HHL ขั้นตอนวิธีการใช้ QPE ประตูควอนตัมตัวแทนจาก{} ขอขอบคุณที่ผลการพีชคณิตเชิงเส้นเรารู้ว่าถ้าจะค่าลักษณะเฉพาะของแล้วมีลักษณะเฉพาะของUผลลัพธ์นี้ยังระบุไว้ในอัลกอริทึมระบบเชิงเส้นควอนตัม: ไพรเมอร์ (Dervovic, Herbster, Mountney, Severini, Usher & Wossnig, 2018) (หน้า 29 ระหว่างสมการ 68 และ 69) $U = e^{iAt}$ $\left\{\lambda_j\right\}_j$ $A$ $\left\{e^{i\lambda_j t}\right\}_j$ $U$

ด้วยความช่วยเหลือของ QPE ที่ขั้นตอนแรกของอัลกอริทึม HLL จะพยายามที่จะประเมินเช่นที่t} สิ่งนี้นำเราไปสู่สมการ คือ โดยการวิเคราะห์ความหมายของเงื่อนไขและฉันลงเอยด้วยข้อสรุปว่าถ้า (เช่น ) อัลกอริธึมการประมาณเฟสล้มเหลว ทำนายค่าลักษณะเฉพาะที่เหมาะสม $\theta \in [0,1)$ $e^{i2\pi \theta} = e^{i\lambda_j t}$

2 π θ = λ_{j} t + 2 k π, k \in Z, θ \in [0, 1)

$2\pi \theta = \lambda_j t + 2k\pi, \qquad k\in \mathbb{Z}, \ \theta \in [0,1)$

θ = \frac{λ_{j} t}{2 π} + k, k \in Z, θ \in [0, 1)

$\theta = \frac{\lambda_j t}{2\pi} + k, \qquad k\in \mathbb{Z}, \ \theta \in [0,1)$

k \in Z

$k\in \mathbb{Z}$

θ \in [0, 1)

$\theta \in [0,1)$

\frac{λ_{j} t}{2 π} \notin [0, 1)

$\frac{\lambda_j t}{2\pi} \notin [0,1)$

k \neq 0

$k \neq 0$

แต่เมื่อสามารถเป็น hermitian matrix เราสามารถเลือกค่าลักษณะเฉพาะของมันได้อย่างอิสระและโดยเฉพาะอย่างยิ่งเราสามารถเลือกค่า eigenvalues ขนาดใหญ่โดยพลการสำหรับที่ QPE จะล้มเหลว ( ) $A$ $A$ $\frac{\lambda_j t}{2\pi} \notin [0,1)$

ในการออกแบบวงจรควอนตัมเพื่อแก้ปัญหาสมการเชิงเส้น (Cao, Daskin, Frankel & Kais, 2012)พวกเขาแก้ปัญหานี้โดยจำลองโดยรู้ว่าค่าลักษณะเฉพาะของคือ\} พวกเขาปกติเมทริกซ์ (และค่าลักษณะเฉพาะของมัน) เพื่อหลีกเลี่ยงกรณีที่[0,1) $e^{\frac{iAt}{16}}$ $A$ $\left\{ 1, 2, 4, 8 \right\}$ $\frac{\lambda_j t}{2\pi} \notin [0,1)$

ในอีกด้านหนึ่งดูเหมือนว่าพารามิเตอร์สามารถใช้เพื่อทำให้เป็นมาตรฐานได้ $t$

คำถาม:เราจำเป็นต้องรู้ขอบเขตบนของค่าลักษณะเฉพาะของเพื่อทำให้เมทริกซ์เป็นมาตรฐานและต้องแน่ใจว่าส่วน QPE ของอัลกอริทึม HHL จะประสบความสำเร็จหรือไม่ ถ้าไม่เราจะมั่นใจได้อย่างไรว่า QPE จะประสบความสำเร็จ (เช่น ) $A$ $\frac{\lambda_j t}{2\pi} \in [0,1)$

algorithm hhl-algorithm phase-estimation

— Nelimee
แหล่งที่มา

สมมติว่า 1 คุณกำลังบอกว่าแลมบ์ดาไม่สามารถปฏิเสธได้ใช่ไหม? เกิดอะไรขึ้นกับการมีค่าลักษณะเฉพาะเชิงลบ สมมติว่าและ 1 แล้ว:และ<-2 ค่าที่ถูกต้องอย่างสมบูรณ์สำหรับ-3 เกิดอะไรขึ้นกับสิ่งนั้น? ทำไมต้องเป็นบวกหรือ ? ค่าลักษณะเฉพาะอาจเป็นค่าลบ

t = 1

$t=1$

k = 2

$k=2$

t = 1

$t=1$

0 < (λ / 2 π) + 2 < 1

$0 < (\lambda / 2\pi) + 2 < 1$

- 4 π < λ < - 2 π

$-4\pi < \lambda < -2\pi$

λ = - 3 π

$\lambda = -3\pi$

λ / 2 π

$\lambda/2\pi$

0

$0$

— user1271772

@ user1271772 ในกรณีนี้ไม่มีไม่สามารถที่เคยเป็นลบเพราะ QPE กำหนดว่า1) ถ้า (เพราะคุณเสียบเมทริกซ์ด้วยค่าลบเชิงลบนี่เป็นไปได้แน่นอน) ผลลัพธ์ของ QPE จะไม่แสดงถึงแต่แทนที่จะเป็นกับเช่น " modulo " และสิ่งนี้จะทำให้อัลกอริทึม HHL ล้มเหลว

λ

$\lambda$

θ \in [0, 1)

$\theta \in [0, 1)$

λ < 0

$\lambda < 0$

λ

$\lambda$

λ - 2 k π

$\lambda - 2k\pi$

k = ⌊ \frac{λ}{2 π} ⌋

$k = \lfloor \frac{\lambda}{2\pi} \rfloor$

λ

$\lambda$

2 π

$2\pi$

— Nelimee

คุณควรรู้ขอบเขตของค่าลักษณะเฉพาะ (ทั้งด้านบนและด้านล่าง) ในขณะที่คุณบอกว่าคุณสามารถแล้วปกติโดย rescaling ทีแน่นอนคุณควรทำเช่นนี้จะได้รับการประมาณการที่ถูกต้องที่สุดที่เป็นไปได้แพร่กระจายค่ามากกว่าเต็มช่วง การกำหนดค่าลักษณะเฉพาะโดยทั่วไปไม่ใช่ปัญหา ตัวอย่างเช่นคุณอาจต้องการให้เมทริกซ์ของคุณกระจัดกระจายเพื่อให้มีองค์ประกอบเมทริกซ์ที่ไม่เป็นศูนย์มากเกินไปในแต่ละแถว อันที่จริงสเปปัญหาอาจจะช่วยให้คุณผูกพันกับจำนวนของที่ไม่ใช่ศูนย์รายการต่อแถวและค่าสูงสุดของรายการใด ๆQ $A$ $t$ $\lambda t$ $2\pi$ $A$ $N$ $Q$

จากนั้นคุณสามารถประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทวงกลมของ Gershgorin สิ่งนี้ระบุว่าค่าลักษณะเฉพาะสูงสุดมีขอบเขตสูงสุดโดย และต่ำสุดถูกล้อมรอบด้วย เป็นองค์ประกอบเมทริกซ์ของ

max_{i} a_{i i} + \sum_{j \neq i} | a_{i j} | \leq N Q,

$\max_i a_{ii}+\sum_{j\neq i}|a_{ij}|\leq NQ,$

min_{i} a_{i i} - \sum_{j \neq i} | a_{i j} | \geq - N Q .

$\min_ia_{ii}-\sum_{j\neq i}|a_{ij}|\geq -NQ.$

a_{i j}

$a_{ij}$

A

$A$

ภายในค่าของ ,หากคุณกังวลว่าสำหรับเมทริกซ์ขนาดใหญ่ (พูด qubits) ในขณะที่ผลรวมของแถวอาจจะง่ายต่อการคำนวณ (เนื่องจากมีจำนวนไม่มาก) ค่าสูงสุดของแถวทั้งหมดอาจใช้เวลานาน เวลา (เนื่องจากมีแถว) จึงมีหลายวิธีที่จะได้รับการประมาณที่ดี (เช่นการสุ่มตัวอย่างหรือการใช้ความรู้เกี่ยวกับโครงสร้างปัญหา) กรณีที่เลวร้ายที่สุดคุณอาจใช้การค้นหาของ Groverเพื่อเร่งความเร็วได้ $N$ $Q$ $n$ $2^n$

— DaftWullie
แหล่งที่มา

โกรเวอร์ไม่ได้ปรับปรุง: แม้ว่าเราจะสามารถใช้อัลกอริทึมได้ แต่เรายังคงต้องการการค้นหาซึ่งทำลายการปรับปรุงเลขชี้กำลังของ HHL ผ่านวิธีการแบบดั้งเดิมและแทนที่ด้วยการเร่งความเร็วแบบกำลังสอง ดังนั้นความหวังเดียวที่เหลือคือการสุ่มตัวอย่าง (แนะนำแหล่งที่มาของข้อผิดพลาดอื่น ๆ ) หรือสวดมนต์และหวังว่าปัญหาจะช่วยให้เราประเมินขอบเขตบน / ล่าง ดูเหมือนว่าข้อบกพร่องที่สำคัญของอัลกอริทึมสำหรับฉัน

O (\sqrt{N})

$\mathcal{O}(\sqrt{N})$

— Nelimee

แน่นอนว่าฉันหมายความว่า Grover จะช่วยให้คุณได้สปีดอัพสแควร์รูทอย่างรวดเร็วเมื่อเทียบกับวิธีที่ไร้เดียงสาในการรับค่าสูงสุด แน่นอนว่ามีผลกระทบไม่ดีต่อเวลาการทำงานโดยรวม

— DaftWullie