ควอนตัมอัลกอริทึมสำหรับการสนทนา

ฉันถูกมองในการใช้งานของควอนตัมคอมพิวเตอร์เพื่อการเรียนรู้เครื่องและพบต่อไปนี้ก่อนการพิมพ์จากปี 2003 ควอนตัมบิดและอัลกอริทึมความสัมพันธ์เป็นไปไม่ได้ ดูเหมือนว่าบทความจะไม่ได้รับการตีพิมพ์ในวารสารใด ๆ แต่ได้มีการอ้างถึงหลายสิบครั้ง

ผู้เขียนบทความทำให้เป็นกรณีที่เป็นไปไม่ได้ที่จะคำนวณการโน้มน้าวต่อเนื่องมากกว่ารัฐควอนตัม ดูเหมือนว่าฉันจะไม่ถูกต้องอย่างสังหรณ์ใจเนื่องจากฉันรู้ว่าเราสามารถทำการคูณควอนตัมเมทริกซ์และฉันรู้ว่าการแยกคอนเวอร์เจนซ์นั้นสามารถถูกวางกรอบเพียงแค่การคูณด้วยเมทริกซ์ Toeplitz (หรือ circulant)

ปมของการโต้แย้งของเขาดูเหมือนว่าจะไม่มีองค์ประกอบของผู้ประกอบการรวมกันสำหรับผลิตภัณฑ์ elementwise (Hadamard) ของสองเวกเตอร์

การเชื่อมต่อของฉันอยู่ที่ไหน มีเหตุผลใดบ้างที่เราไม่สามารถสร้างเมทริกซ์ Toeplitz สำหรับการโน้มน้าวใจแยกกันในคอมพิวเตอร์ควอนตัม?

หรือเป็นบทความที่ไม่ถูกต้องเพียงแค่? ฉันได้ทำงานผ่านความขัดแย้งที่ผู้เขียนนำเสนอในบทพิสูจน์ของเขาของเล็มม่า 14 และดูเหมือนว่าสมเหตุสมผลสำหรับฉัน

คุณสามารถทำการสังวัตนาบนคอมพิวเตอร์ควอนตัม (และอธิบายเร็วกว่าสำหรับเรื่องนั้น) ถ้าสัญญาณอินพุตของคุณมีโครงสร้างที่แน่นอน แต่สำหรับอินพุตทั่วไปสิ่งนี้ดูเหมือนจะท้าทายและอาจเป็นไปไม่ได้ทางร่างกายซึ่งเป็นสิ่งที่กระดาษดูเหมือนจะโต้แย้ง

พิจารณาว่าคุณจะคำนวณการแปลงสัญญาณแบบไม่ต่อเนื่องสองแบบอย่างไร $f$ และ $g$คลาสสิก คุณสามารถใช้การแปลงฟูริเยร์ของสัญญาณทั้งคู่ทำการคูณจุดที่ชาญฉลาดของเวกเตอร์ที่ได้จากนั้นทำการแปลงฟูริเยร์ผกผัน:

$$\mathscr{F}^{-1} (\mathscr{F}(f) . \mathscr{F}(g))$$

โปรดทราบว่าการแปลงฟูริเยร์เป็นการดำเนินการที่ถูกมากในคอมพิวเตอร์ควอนตัม ดังนั้นนี่จึงดูดีมาก ปัญหาคือว่าการคูณเวกเตอร์สองจุดแบบจุดนั้นไม่ใช่เรื่องง่าย เรามาดูกันว่าปัจจัยอะไรเป็นตัวกำหนด

สมมติว่าเราโชคดีและสเปกตรัมของฟูริเยร์ $f$ กลายเป็นแบน:

$$F = \mathscr{F}(f) = \frac{1}{N}\sum_{i=0}^{N-1}{|i\rangle} = \sum_{i=1}^{N-1}F(i)$$

ในกรณีนั้นคอมพิวเตอร์ควอนตัมของคุณสามารถใช้การดำเนินการเมทริกซ์แนวทแยงที่ให้การคูณที่ชาญฉลาด:

$$\mathscr{F}(f) . \mathscr{F}(g) = F.G = \left(\begin{array}{cccc} F(0) & & & \\ & F(1) & & \\ & & . & \\ & & & F(N-1) \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} G(0) \\ G(1) \\ . \\ G(N-1) \end{array}\right)$$

อย่างไรก็ตามอัลกอริธึมเชิงควอนตัมที่พบการคูณจุดอย่างชาญฉลาดของเวกเตอร์สองตัวอาจเป็นไปไม่ได้ในกรณีทั่วไป นี่เป็นเพราะการดำเนินการนี้ไม่ได้เป็นการรวมกันโดยทั่วไป เป็นตัวอย่างง่ายๆสมมติว่าการแปลงฟูริเยร์$f$ เป็นฟังก์ชั่นแหลมคมโดยมีศูนย์ในสถานที่ส่วนใหญ่:

$$F = \mathscr{F}(f) = \frac{1}{2}(|0\rangle + |2\rangle + |5\rangle + |7\rangle)$$ การคูณจุดที่ชาญฉลาดของสถานะนี้กับสถานะอื่นไม่สามารถย้อนกลับได้ (เนื่องจากศูนย์) และไม่รวมกัน

มีงานก่อนที่จะค้นพบฟังก์ชั่นที่ส่งผลให้สเปกตรัมฟูริเยร์แบนหรือใกล้แบนและจึงง่ายต่อการ convolute:

https://arxiv.org/abs/0811.3208

https://arxiv.org/abs/quant-ph/0211140

ฉันสงสัยผลลัพธ์อย่างมาก ถ้าคุณดูทฤษฎีบท 16 มันอ้างว่าไม่มีการดำเนินการใด ๆ ที่ทำให้แผนที่สำเร็จ

$$\sum_{ij}\alpha_i\beta_j|ij\rangle\mapsto \sum_i\alpha_i\beta_i|i\rangle$$ ถึงการฟื้นฟู อย่างไรก็ตามพิจารณาผู้ดำเนินการวัด $$P=\sum_{i}|i\rangle\langle ii|.$$ นี่ใช้แผนที่ที่ต้องการอย่างชัดเจน (สำหรับผลการวัดนั้น) ยิ่งกว่านั้นการดำเนินการของมันค่อนข้างตรงไปตรงมา มีการรวมกัน (อย่างมีประสิทธิภาพ, การควบคุมแบบไม่ทั่วไป) ที่สามารถแมปได้ $$|ii\rangle\mapsto|i0\rangle,$$ เพื่อให้คุณวัดสปินที่สองและโพสต์เลือกเพื่อรับผล 0 ดูเหมือนว่าจะทำให้หลักฐานของกระดาษเป็นโมฆะ