4
ทำไมการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องสามารถนำไปใช้อย่างมีประสิทธิภาพเป็นวงจรควอนตัม?
มันเป็นผลที่รู้จักกันดีว่าไม่ต่อเนื่องแปลงฟูเรีย (DFT)ของN=2nN=2nN=2^nตัวเลขมีความซับซ้อนO(n2n)O(n2n)\mathcal O(n2^n)กับอัลกอริทึมที่รู้จักกันดีในขณะที่การแสดงฟูเรียร์ของช่วงกว้างของคลื่นของรัฐควอนตัมกับคลาสสิก อัลกอริธึม QFTต้องการเพียงประตูทางเข้าหลักO(n2)O(n2)\mathcal O(n^2)เท่านั้น มีเหตุผลใดบ้างที่รู้ว่าทำไมถึงเป็นเช่นนั้น ด้วยสิ่งนี้ฉันหมายความว่ามีลักษณะที่เป็นที่รู้จักของ DFT ที่ทำให้สามารถใช้งาน "รุ่นควอนตัม" ที่มีประสิทธิภาพได้หรือไม่ แท้จริงผิวเผินมากกว่าNNNเวกเตอร์มิติสามารถจะคิดว่าเป็นการดำเนินการเชิงเส้น y⃗ =DFTx⃗ ,DFTjk≡1N−−√exp(2πiNjk).y→=DFTx→,DFTjk≡1Nexp(2πiNjk).\vec y=\operatorname{DFT} \vec x, \qquad \text{DFT}_{jk}\equiv \frac{1}{\sqrt N}\exp\left(\frac{2\pi i}{N}jk\right). "รุ่นควอนตัม" ของปัญหานี้คือภารกิจของให้สถานะควอนตัม|x⟩≡∑Nk=1xk|k⟩|x⟩≡∑k=1Nxk|k⟩|\boldsymbol x\rangle\equiv\sum_{k=1}^N x_k|k\rangle , รับสถานะเอาต์พุต|y⟩≡∑Nk=1yk|k⟩|y⟩≡∑k=1Nyk|k⟩|\boldsymbol y\rangle\equiv\sum_{k=1}^N y_k |k\rangleดังกล่าวว่า |y⟩=DFT|x⟩=QFT|x⟩.|y⟩=DFT|x⟩=QFT|x⟩.|\boldsymbol y\rangle=\operatorname{DFT}|\boldsymbol x\rangle=\operatorname{QFT}|\boldsymbol x\rangle. การทำให้เข้าใจง่ายแรกดูเหมือนว่ามาจากข้อเท็จจริงที่ว่าเนื่องจากความเป็นเชิงเส้นของ QM เราจึงสามารถมุ่งเน้นไปที่สถานะพื้นฐาน , กับวิวัฒนาการของเวกเตอร์ทั่วไป | x ⟩จากนั้นมาฟรี|j⟩,j=1,...,N|j⟩,j=1,...,N|j\rangle, \,\,j=1,...,N|x⟩|x⟩|\boldsymbol x\rangle หากจะสามารถแสดง| j ⟩ในฐานสองมี| …