ความน่าจะเป็นของแต่ละรัฐจะเปลี่ยนไปอย่างไรหลังจากการเปลี่ยนประตูควอนตัม?

ประตูควอนตัมแสดงโดยเมทริกซ์ซึ่งแสดงถึงการแปลงที่นำไปใช้กับ qubits (สถานะ)

สมมติว่าเรามีประตูควอนตัมซึ่งทำงานบน$2$ qubits

ประตูควอนตัมส่งผลอย่างไร (ไม่จำเป็นต้องเปลี่ยน) ผลการวัดสถานะของ qubits (เนื่องจากผลการวัดได้รับผลกระทบอย่างมากจากความน่าจะเป็นของแต่ละรัฐที่เป็นไปได้)? โดยเฉพาะอย่างยิ่งเป็นไปได้หรือไม่ที่จะรู้ล่วงหน้าว่าความน่าจะเป็นของแต่ละรัฐจะเปลี่ยนแปลงไปอย่างไรเนื่องจากประตูควอนตัม?

กรณีที่ฉัน: 2 qubits ไม่ได้เข้าไปพัวพัน

คุณสามารถเขียนสถานะของทั้งสอง qubits (พูดและB ) เป็น| ψ A ⟩ = a | 0 ⟩ + b | 1 ⟩และ| ψ B ⟩ = c | 0 ⟩ + d | 1 ⟩โดยที่a , b , c , d ∈ $\mathrm{A}$$\mathrm{B}$$|\psi_\mathrm{A}\rangle=a|0\rangle+b|1\rangle$$|\psi_\mathrm{B}\rangle = c|0\rangle+d|1\rangle$$a,b,c,d\in\Bbb{C}$ C

แต่ละ qubits อาศัยอยู่ในปริภูมิเวกเตอร์สองมิติ (บนฟิลด์C ) แต่สถานะของระบบคือเวกเตอร์ (หรือจุด ) ที่อยู่ในปริภูมิเวกเตอร์สี่มิติที่ซับซ้อนC 4 (เหนือ$\Bbb{C}^2$$\Bbb{C}$$\Bbb{C}^4$$\Bbb {C}$ฟิลด์ )

สถานะของระบบสามารถเขียนเป็นผลิตภัณฑ์เมตริกซ์ ie a c | 00 ⟩ + a d | 01 ⟩ + b c | 10 ⟩ + b d | 11 $|\psi_\mathrm{A}\rangle\otimes|\psi_\mathrm{B}\rangle$$ac|00\rangle+ad|01\rangle+bc|10\rangle+bd|11\rangle$ ⟩

โดยธรรมชาติเนื่องจากเวกเตอร์สถานะต้องถูกทำให้เป็นมาตรฐาน เหตุผลที่ว่าทำไมสแควร์ของแอมพลิจูดของสถานะพื้นฐานให้ความน่าจะเป็นของสถานะพื้นฐานที่เกิดขึ้นเมื่อวัดในพื้นฐานที่สอดคล้องกันอยู่ในกฎของกลศาสตร์ควอนตัมถือกำเนิด (นักฟิสิกส์บางคนคิดว่ามันเป็น . ตอนนี้น่าจะเป็นของ| 0 ⟩เกิดขึ้นเมื่อวัดควอบิตแรกคือ$|ac|^2+|ad|^2+|bc|^2+|bd|^2=1$$|0\rangle$ . ความน่าจะเป็นของ | 1 ⟩เกิดขึ้นเมื่อวัด qubit แรกคือ | b c | 2 + | b d | 2 .$|ac|^2+|ad|^2$$|1\rangle$$|bc|^2+|bd|^2$

ตอนนี้จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราใช้เกจควอนตัมโดยไม่ทำการวัดใด ๆ กับสถานะก่อนหน้าของระบบ ประตูควอนตัมเป็นประตูรวม การกระทำของพวกเขาสามารถเขียนเป็นการกระทำของผู้ประกอบการรวมในสถานะเริ่มต้นของระบบเช่นค| 00 ⟩ + a d | 01 ⟩ + b c | 10 ⟩ + b d | 11 ⟩เพื่อสร้างสถานะใหม่A | 00 ⟩ + B | 01 ⟩ + C | 10 $U$$ac|00\rangle+ad|01\rangle+bc|10\rangle+bd|11\rangle$ (โดยที่ A , B , C , D ∈ C ) ขนาดของเวกเตอร์สถานะใหม่: | A | 2 + | B | 2 + | C | 2 + | D | 2อีกครั้งเท่ากับ 1ตั้งแต่ประตูที่ใช้เป็นฐาน เมื่อ qubit แรกถูกวัดความน่าจะเป็นของ | 0 ⟩ที่เกิดขึ้นคือ | A | 2$A|00\rangle+B|01\rangle+C|10\rangle+D|11\rangle$$A,B,C,D\in\Bbb{C}$$|A|^2+|B|^2+|C|^2+|D|^2$$1$$|0\rangle$และในทำนองเดียวกันคุณสามารถค้นหามันสำหรับการเกิดขึ้นของ | 1$|A|^2+|B|^2$$|1\rangle$ ⟩

แต่ถ้าเราทำการวัดก่อนที่การกระทำของประตูรวมผลลัพธ์จะแตกต่างกัน ตัวอย่างเช่นคุณวัด qubit แรกและมันกลายเป็นว่าในรัฐรัฐกลางของระบบจะมีการทรุดตัวลงไปค| 00 ⟩ + a d | 01 $|0\rangle$ (ตามการตีความโคเปนเฮเกน) ดังนั้นคุณสามารถเข้าใจได้ว่าการใช้ประตูควอนตัมเดียวกันกับสถานะนี้จะให้ผลสุดท้ายที่แตกต่างกัน$\frac{ac|00\rangle + ad|01\rangle}{\sqrt{(ac)^2+(ad)^2}}$

กรณีที่สอง: 2 qubits ถูกพันกัน

ในกรณีที่สถานะของระบบเป็นแบบคุณไม่สามารถเป็นตัวแทนเป็นเมตริกซ์ผลิตภัณฑ์ของรัฐของทั้งสอง qubits บุคคล (ลอง!) มีอีกหลายตัวอย่างเช่น qubits จะกล่าวพัวพันในกรณีเช่นนี้$\frac{1}{\sqrt{2}}|00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|11\rangle$

อย่างไรก็ตามตรรกะพื้นฐานยังคงเหมือนเดิม ความน่าจะเป็นของเกิดขึ้นเมื่อวัดควอบิตแรกคือ| 1 / $|0\rangle$และ| 1⟩ที่เกิดขึ้นคือ$|1/\sqrt{2}|^2=\frac{1}{2}$$|1\rangle$ด้วย ในทำนองเดียวกันคุณสามารถค้นหาความน่าจะเป็นสำหรับการวัดควิบิตที่สอง$\frac{1}{2}$

ถ้าคุณใช้ประตูควอนตัมแบบรวมในสถานะนี้คุณจะต้องจบลงด้วยบางสิ่งเช่นเหมือนเมื่อก่อน ฉันหวังว่าตอนนี้คุณสามารถค้นหาความน่าจะเป็นของความเป็นไปได้ที่แตกต่างกันเมื่อวัด qubits แรกและครั้งที่สอง$A|00\rangle+B|01\rangle+C|10\rangle+D|11\rangle$

หมายเหตุ: โดยปกติสถานะพื้นฐานของ 2-qubit sytem ถือเป็นสี่4 × 1เวกเตอร์คอลัมน์เช่น[ 1 0 0 0 ] , [ 0 1 0 0 ]ฯลฯ โดยการทำแผนที่สี่เวกเตอร์พื้นฐานในพื้นฐานของมาตรฐานR 4 และการแปลงรูปแบบรวมคุณสามารถเขียนเป็น4 × $|00\rangle,|01\rangle,|10\rangle,|11\rangle$$4\times 1$$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$\Bbb{R}^4$$U$$4\times 4$เมทริกซ์ซึ่งตอบสนองทรัพย์สินฉัน$UU^{\dagger}=U^{\dagger}U=I$

ใช่มันเป็นไปได้ ประตูควอนตัมได้รับการออกแบบดังกล่าวที่ได้รับการป้อนข้อมูลรัฐจะเปลี่ยนการกำหนดไว้อย่างดีรัฐเอาท์พุทที่มีความน่าจะคำนวณ การเปลี่ยนแปลงไม่ได้เป็นการวัดในความหมายของกลศาสตร์ควอนตัมซึ่งหมายความว่าเราสามารถเข้าไปยุ่งเกี่ยวกับสถานะของเอาต์พุตของประตูควอนตัมและใช้สถานะเหล่านี้เพื่อการคำนวณต่อไป

โปรดทราบว่าสถานะอินพุตจะไม่สามารถเข้าถึงได้อีกต่อไปหลังจากถูกแปลงโดยประตูควอนตัม หากคุณต้องการให้พวกเขากลับมาคุณจะต้องใช้ประตูผกผัน

ประตูควอนตัมส่งผลอย่างไร (ไม่จำเป็นต้องเปลี่ยน) ผลการวัดสถานะของ qubits (เนื่องจากผลการวัดได้รับผลกระทบอย่างมากจากความน่าจะเป็นของแต่ละรัฐที่เป็นไปได้)? โดยเฉพาะอย่างยิ่งเป็นไปได้หรือไม่ที่จะรู้ล่วงหน้าว่าความน่าจะเป็นของแต่ละรัฐจะเปลี่ยนแปลงไปอย่างไรเนื่องจากประตูควอนตัม?

ลองทำแบบนี้กับตัวอย่างและเรขาคณิต ลองพิจารณา qubit เดี่ยวซึ่งพื้นที่ของฮิลแบร์ตคือนั่นคือพื้นที่ฮิลแบร์ตที่ซับซ้อนสองมิติเหนือC (สำหรับคนที่มีความรู้ด้านเทคนิคมากกว่านั้นคือพื้นที่ฮิลแบร์ตคือC P 1 ) แต่กลับกลายเป็นว่าC P 1 ≅ S 2 , ทรงกลมหน่วยที่เรียกกันว่าทรงกลมโบลช นี่แปลว่าความจริงที่ว่าทุกสถานะของ qubit สามารถแสดง ( ไม่ซ้ำ ) บน Bloch Sphere ได้$\mathbb{C}^2$$\mathbb{C}$$\mathbb{C}P^1$$\mathbb{C}P^1 \cong S^2$

ที่มา: Wikipedia

สถานะของ qubit สามารถแสดงบน Bloch sphere เป็นที่0≤θ≤πและ0≤ไว<2π ที่นี่| 0⟩=[10]และ| 1⟩=[01]เป็นสถานะพื้นฐานสองสถานะ (แสดงในรูปที่ขั้วเหนือและขั้วใต้ตามลำดับ) ดังนั้นสถานะของควิบิตคืออะไรนอกจากเวกเตอร์คอลัมน์ซึ่งถูกระบุด้วยจุด (ไม่ซ้ำกัน) บนทรงกลม ${\displaystyle |\psi \rangle =\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)|0\rangle \,+\,e^{i\phi }\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)|1\rangle}$$0 \leq \theta \leq \pi$$0 \leq \phi < 2 \pi$$|0\rangle = {{\bigl [}{\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}}{\bigr ]}}$$|1\rangle = {{\bigl [}{\begin{smallmatrix}0\\1\end{smallmatrix}}{\bigr ]}}$

$U$$U U^\dagger = U^\dagger U = \mathbb{I}$$SU(2)$$Y$$\sigma_y := Y = \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix}$

เกทนี้ทำหน้าที่อย่างไรกับเคบิตและส่งผลต่อผลลัพธ์การวัด

$|0\rangle$$U = e^{-i \gamma Y}$$\gamma \in \mathbb{R}$$U = e^{-i \gamma Y} = cos(\gamma) \mathbb{I} -i sin(\gamma) Y$. The action of this operator is to rotate the state by an angle $2 \gamma$ along the y-axis and therefore if we choose $\gamma = \pi/2$, the qubit $|0\rangle \rightarrow U|0\rangle = |1\rangle$. That is to say, given we know what unitary we are applying to our state, we completely know the way in which our initial state will transform and hence we know how the measurement probabilities would change.

For example, if we were to make a measurement in the $\{|0\rangle, |1\rangle\}$ basis, initially, one would get the state $|0\rangle$ with probability 1; after applying the unitary, one would get the state $|1\rangle$ with probability 1.

As you said, the probabilities of measurements are obtained from the state. And the gates operate unitarily on the states. Consider the POVM element $\Pi$, a state $\rho$ and a gate $U$. Then the probability for the outcome associated with $\Pi$ is $p=\mathrm{tr} (\Pi \rho)$, and the probability after the gate is $p'=\mathrm{tr}(\Pi U \rho U^\dagger)$.

I just want to stress that it is impossible to know the probability of the outcome after the gate only from the probability of it before the gate. You need to consider the probability amplitudes (the quantum states)!

Let me make another remark: You are talking about two qubits, so the state after the gate might be entangled. In this case it will not be possible to have "individual" probability distributions for each qubit for all measurements in the sense that the joint probability distribution will not factor into the two marginal distributions.