การก่อสร้างทั่วไปของ - รัฐ

สองประเทศที่เป็นที่รู้จักกันดีคือรัฐ GHZ - รัฐและ -state กับขวา)$|\psi\rangle = 1/\sqrt{2}\left( |0\rangle^{\otimes n} + |1\rangle^{\otimes n}\right)$$W_n$$W_3 = 1/\sqrt{3}\left(|100\rangle + |010\rangle + |001\rangle\right)$

การสร้าง GHZ-state นั้นง่ายสำหรับเอง อย่างไรก็ตามการใช้ -นั้นยากกว่า สำหรับเป็นเรื่องง่ายและสำหรับเราสามารถใช้ได้$n$$W_n$$n=2$$n=4$

H q[0,3]
X q[0,3]
Toffoli q[0],q[3],q[1]
X q[0,3]
Toffoli q[0],q[3],q[2]
CNOT q[2],q[0]
CNOT q[2],q[3]

แม้สำหรับเรายังมีการใช้งานดูตัวอย่างสำหรับคำตอบนี้ แต่ผมยังไม่ได้พบอัลกอริทึมที่ได้รับเป็นนัก , เอาท์พุทวงจรสำหรับสร้าง -state$n=3$n W n$n$$W_n$

มีอัลกอริทึมดังกล่าวที่กำหนดโดยประตูเดี่ยวและสองควิบิตหรือไม่? และถ้าเป็นเช่นนั้นมันคืออะไร?

ใช่มีการนำไปใช้หลายอย่างของอัลกอริทึมนี้ในSuperposition quantum kata (ภารกิจ 14 และ 15):

• สำหรับคุณสามารถใช้อัลกอริทึมแบบเรียกซ้ำ: สร้างสถานะ W บน qubits ครั้งแรกจัดสรร quilla แบบดั้งเดิมในสถานะทำการควบคุม SWAP เพื่อตั้งค่าสถานะของ ที่สอง qubits แล้วบางส่วน nots ควบคุมการตั้งค่า Ancilla กลับไป ( ทำงาน)$n = 2^k$$2^{k-1}$$|+\rangle$$2^{k-1}$$|0\rangle$WState_PowerOfTwo_Reference
• สำหรับโดยพลการคุณสามารถใช้อัลกอริทึมแบบเรียกซ้ำตามที่อธิบายโดย DaftWullie ( การทำงาน)$n$WState_Arbitrary_Reference
• นอกจากนี้ยังมีเคล็ดลับเรียบร้อยที่คุณสามารถใช้เพื่อสร้างสถานะสำหรับโดยพลการโดยใช้อัลกอริทึมแบบเรียกซ้ำครั้งแรก จัดสรร qubits พิเศษเพื่อวางให้เป็น , สร้างสถานะกับพวกมันและวัด qubits พิเศษ; ถ้า qubits ทั้งหมดวัดถึง 0 สถานะของ qubits ดั้งเดิมคือมิฉะนั้นจะรีเซ็ตและทำซ้ำกระบวนการ ( การดำเนินการ)$W_n$$n$$n$$2^k$$W_{2^k}$$W_n$WState_Arbitrary_Postselect

นี่เป็นงานที่ฉันโปรดปรานของกะตะเพราะมันช่วยให้มีวิธีการที่แตกต่างกันมากมาย

แนวคิดที่ง่ายที่สุดในการสร้างสถานะ W นั้นคล้ายคลึงกับการสุ่มตัวอย่างอ่างเก็บน้ำแบบคลาสสิกซึ่งเกี่ยวข้องกับการดำเนินงานในท้องถิ่นหลายแบบ

โดยพื้นฐานแล้วคุณมองไปที่แต่ละ qubit และพิจารณาว่า "ฉันมีแอมพลิจูดเหลือเท่าไหร่ในสถานะ 0 ทั้งหมดและฉันต้องการถ่ายโอนไปยังสถานะ Just-this-qubit-is-ON มากแค่ไหน" ปรากฎว่าครอบครัวของการหมุนที่คุณต้องการคือสิ่งที่ฉันจะเรียกว่า "อัตราต่อรองประตู" ซึ่งมีเมทริกซ์ต่อไปนี้:

$$M(p:q) = \sqrt{\frac{1}{p+q}} \begin{bmatrix} \sqrt{p} & \sqrt{q} \\ -\sqrt{q} & \sqrt{p} \end{bmatrix}$$

เมื่อใช้ประตูเหล่านี้คุณจะได้สถานะ W พร้อมลำดับการดำเนินการที่ควบคุมได้มากขึ้น:

วงจรนี้ค่อนข้างไม่มีประสิทธิภาพ มันมีค่าใช้จ่ายโดยที่คือจำนวน qubits และคือความแม่นยำแน่นอนที่ต้องการ (เนื่องจากในบริบทที่แก้ไขข้อผิดพลาดอัตราต่อรองไม่ใช่คนพื้นเมืองและ ต้องประมาณ)$O(N^2 + N \lg(1/\epsilon))$$N$$\epsilon$

เราสามารถปรับปรุงประสิทธิภาพได้โดยการเปลี่ยนจากกลยุทธ์ "โอนจากสิ่งที่ตกค้าง" เป็นกลยุทธ์ "โอนจากสิ่งที่กำลังเดินทางไปตาม" นี่เป็นการเพิ่มการแก้ไข fixup ในตอนท้าย แต่ต้องการเพียงการควบคุมเดียวในแต่ละการดำเนินการ สิ่งนี้จะช่วยลดต้นทุนให้กับ :$O(N \lg(1/\epsilon))$

มันยังคงเป็นไปได้ที่จะทำดีกว่า แต่ก็เริ่มมีความซับซ้อน โดยพื้นฐานแล้วคุณสามารถใช้ขั้นตอน Grover เพียงบางส่วนเพื่อรับ amplitudes เท่ากับแต่จะถูกเข้ารหัสในการลงทะเบียนแบบไบนารี่ การแก้ไขนี้ต้องใช้วงจรการแปลงแบบไบนารี่ เครื่องมือที่จำเป็นในการทำเช่นนี้ได้รับการกล่าวถึงใน"การเข้ารหัสอิเล็คทรอนิคสเป็คตราในวงจรควอนตัมที่มีความซับซ้อนเชิงเส้น T" ) นี่คือตัวเลขที่เกี่ยวข้อง$N$$\sqrt{1/N}$

ขั้นตอน grover บางส่วน:

วิธีการดำเนินการจัดทำดัชนี (ดี ... การเรียงลำดับของตัวเลขที่ใกล้เคียงที่สุดมีการสะสมซึ่งไม่เหมาะสำหรับกรณีนี้):

นี้โดยใช้วิธีการที่ซับซ้อนมากขึ้นช่วยลดค่าใช้จ่ายจากจะepsilon))$O(N \lg(1/\epsilon))$$O(N + \lg(1/\epsilon))$

คุณสามารถกำหนดลำดับซ้ำ ตามแนวคิดสิ่งที่คุณต้องการทำคือ:

• สร้างสถานะเริ่มต้น$|0\rangle^{\otimes N}$

• บน qubit 1 ให้ใช้เกต

  $$\frac{1}{\sqrt{N}}\left(\begin{array}{cc} 1 & \sqrt{N-1} \\ \sqrt{N-1} & -1 \end{array}\right)$$

• ควบคุมจาก qubit 1 ใช้ "make " บน qubits 2 ถึง (นั่นคือทำสิ่งนี้ถ้า qubit 1 อยู่ในสถานะไม่ทำอะไรเลย)$|W_{N-1}\rangle$$N$$|1\rangle$

• ใช้เกตบิตพลิกเมื่อ qubit 1

อัลกอรึทึมดังที่ได้กล่าวมาไม่ได้สร้างขึ้นมาจากประตูหนึ่งและสองควิบิตเท่านั้น

นอกจากนี้อาจไม่ใช่อัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพที่สุดที่คุณสามารถหาได้ ตัวอย่างเช่นถ้าคุณสามารถใช้เพียงชั้นของรากของประตูแลกเปลี่ยนในการผลิตสิ่งที่คุณต้องการ - เริ่มต้นด้วยบน qubit เดียว รูทสับเปลี่ยนด้วย qubit ครั้งที่สองและคุณได้ (มากถึงขั้นตอนที่คุณต้องดูแล) ใส่ ancilla ถัดจากทั้งสองนี้และทำการสลับรูทระหว่างคู่ W-ancilla และคุณมีทำซ้ำและคุณได้และอื่น ๆ ผมเชื่อว่านี่จะเป็นพื้นสิ่งที่พวกเขาทำทดลองที่นี่ คุณควรจะสามารถรวมอัลกอริทึมนี้ไว้ในอันแรกเพื่อให้มีประสิทธิภาพมากขึ้น ($N=2^n$$n$$|1\rangle$$|W_2\rangle$$|W_4\rangle$$|W_8\rangle$O ( บันทึกN ) $O(\log N)$ ) สำหรับขนาดใดก็ได้ แต่ฉันไม่เคยหยุดทำงานเพื่อดูรายละเอียดด้วยความระมัดระวังอย่างยิ่ง