จำลองวิวัฒนาการของแฮมิลตัน

11

ฉันกำลังพยายามหาวิธีจำลองวิวัฒนาการของ qubits ภายใต้ปฏิสัมพันธ์ของ Hamiltonians โดยมีคำที่เขียนเป็นผลิตภัณฑ์เมตริกซ์ของเมทริกซ์ Pauli ในคอมพิวเตอร์ควอนตัม ฉันได้พบเคล็ดลับต่อไปนี้ในหนังสือของ Nielsen และ Chuang ซึ่งได้อธิบายไว้ในโพสต์นี้ สำหรับ Hamiltonian ของแบบฟอร์ม

H = Z_{1} \otimes Z_{2} \otimes . . . \otimes Z_{n}

$H = Z_1 \otimes Z_2 \otimes ... \otimes Z_n$ n

แต่มันไม่ได้อธิบายอย่างละเอียดว่าการจำลองสถานการณ์ของแฮมิลตันกับคำศัพท์รวมถึง Pauli matrices $X$ หรือ $Y$ จะทำงานได้อย่างไร ผมเข้าใจว่าคุณสามารถเปลี่ยนเหล่านี้ Pauli เข้า Z โดยพิจารณาว่า $HZH = X$ ที่ $H$ เป็นประตู Hadamard และ $S^{\dagger}HZHS =Y$ ที่ $S$ เป็นขั้นตอน $i$ ประตู ฉันควรใช้สิ่งนี้ในการติดตั้งเช่น

H = X \otimes Y

$H= X \otimes Y$

เกิดอะไรขึ้นถ้าตอนนี้มิลโตเนียนมีผลรวมของข้อตกลงกับเมทริกซ์ Pauli? ตัวอย่างเช่น

H = X_{1} \otimes Y_{2} + Z_{2} \otimes Y_{3}

$H = X_1 \otimes Y_2 + Z_2 \otimes Y_3$

hamiltonian-simulation nielsen-and-chuang pauli-gates

— แพม
แหล่งที่มา

3

สมมติว่าคุณมีมิลในรูปแบบ

H = σ_{1} \otimes σ_{2} \otimes σ_{2} \otimes ... \otimes σ_{n}

$H=\sigma_1\otimes\sigma_2\otimes\sigma_2\otimes\ldots\otimes\sigma_n$ มีการก่อสร้างวงจรตรงไปตรงมาที่ช่วยให้คุณใช้เวลาวิวัฒนาการของมันเป็น

e^{- i H t}

$e^{-iHt}$ T

เคล็ดลับคือโดยทั่วไปในการย่อยสลายรัฐที่คุณกำลังพัฒนาเป็นส่วนประกอบที่อยู่ใน

\pm 1

$\pm 1$ eigenspaces ของH

H

$H$ จากนั้นคุณใช้เฟส

e^{- i t}

$e^{-it}$ กับ

+ 1

$+1$ eigenspace และเฟส

e^{- i t}

$e^{-it}$ ไปที่

- 1

$-1$ eigenspace วงจรต่อไปนี้ทำงาน (และยกเลิกการแยกส่วนตอนท้าย)

ฉันสมมติว่าองค์ประกอบประตูเฟสที่อยู่ตรงกลางที่จะใช้รวมกัน

(\begin{array}{cc} {อี}^{ผม เสื้อ} & 0 \\ 0 & {อี}^{- ผม เสื้อ} \end{array}) .

$\left(\begin{array}{cc} e^{it} & 0 \\ 0 & e^{-it} \end{array}\right).$

โดยทั่วไปถ้าคุณต้องการที่จะพัฒนา Hamiltonian $H=H_1+H_2$ โดยที่ $H_1$ และ $H_2$ นั้นอยู่ในรูปแบบก่อนหน้านี้สิ่งที่ง่ายที่สุดคือการสลายการวิวัฒนาการเช่น

{อี}^{- ผม H เสื้อ} \approx {({อี}^{- ผม H_{1} เสื้อ / M} {อี}^{- ผม H_{2} เสื้อ / M})}^{M}

$e^{-iHt}\approx \left(e^{-iH_1t/M}e^{-iH_2t/M}\right)^M$ สำหรับ

M

$M$ ขนาดใหญ่บางตัว(แม้ว่าจะมีอัลกอริทึมที่มีพฤติกรรมการปรับสเกลที่ดีกว่ามาก) และแต่ละขั้นตอนเล็ก ๆ เหล่านั้น

e^{- i H_{1} t / M}

$e^{-iH_1t/M}$ สามารถนำมาใช้กับวงจรก่อนหน้า

ที่กล่าวว่าบางครั้งมีสิ่งที่ฉลาดกว่าที่คุณสามารถทำได้ ตัวอย่างพิเศษของคุณ

H = X \otimes Y \otimes ผม + Z \otimes ผม \otimes Y

$H=X\otimes Y\otimes\mathbb{I}+Z\otimes\mathbb{I}\otimes Y$ เป็นกรณีเช่นนี้ ฉันจะเริ่มต้นด้วยการใช้การหมุนแบบรวมกัน

U = \frac{Z + Y}{\sqrt{2}}

$U=\frac{Z+Y}{\sqrt{2}}$ เพื่อ qubits ที่ 2 และ 3 นี้เป็นเทียบเท่ากับประตู Hadamard แต่แปลง

Y

$Y$ เข้า

Z

$Z$ แทนX

X

$X$ ตอนนี้หยุดสักครู่แล้วคิด ถ้า qubits 2 และ 3 อยู่ใน 00 เราจะใช้

(X + Z)

$(X+Z)$ กับ qubit 1 สำหรับ 01 มัน

(X - Z)

$(X-Z)$ สำหรับ 10 มัน

(Z - X)

$(Z-X)$ และ 11 มัน

- (X + Z)

$-(X+Z)$ )

ต่อไปเราจะใช้การควบคุมไม่ใช่จาก qubit 2 ถึง qubit 3 นี่แค่อนุญาตองค์ประกอบพื้นฐานเล็กน้อย ตอนนี้บอกว่าเราต้องสมัครมิลโตเนียน

(- 1)^{x_{2}} (X + (- 1)^{x_{3}} Z)

$(-1)^{x_2}(X+(-1)^{x_3}Z)$ ไปยังสถานะของคิวบิต 1 ถ้า qubits ที่ 2 และ 3 อยู่ในรัฐ

x_{2} x_{3}

$x_2x_3$ 3

ถัดไปจำไว้ว่า

X + Z = \sqrt{2} H

$X+Z=\sqrt{2}H$ (Hadamard ไม่ใช่ Hamiltonian) และ

X \sqrt{2} H X = X - Z

$X\sqrt{2}HX=X-Z$ Z

นั่นทำให้เรามีวิธีที่ง่ายในการแปลงระหว่างสองบิตของ Hamiltonian เราก็จะเข้ามาแทนที่ทั้งสอง

X

$X$ S กับควบคุม nots ควบคุมโดย qubit 3. ในทำนองเดียวกันเราสามารถใช้ตัวตนของวงจร

ที่เวลานี้เราจะแทนที่

X

$X$ S กับควบคุม nots ควบคุมปิด qubit 2

โดยรวมแล้วฉันเชื่อว่าการจำลองดูเหมือนว่า มันอาจดูซับซ้อน แต่ไม่มีการแยกออกเป็นขั้นตอนเวลาเล็กน้อยที่สะสมข้อผิดพลาดขณะที่คุณดำเนินการ มันจะไม่นำไปใช้บ่อยนัก แต่ก็ควรที่จะตระหนักถึงความเป็นไปได้ต่างๆ

— DaftWullie
แหล่งที่มา

ปัจจัยรากที่สองที่มีจุดหมายความว่า - ประตู?

— Enrique Segura

@EnriqueSegura เหมือนกับที่คุณเพิ่งถามถึง: phase gate ที่มีมุมการหมุนที่มีข้อความกำกับ

— DaftWullie

1

$H$ $H=UDU^\dagger$ $e^{it H} = U e^{it D} U^\dagger$

$H = \sigma_1\otimes\cdots\otimes \sigma_n$ $\sigma_i \neq I$ $i$ $H$

H = (σ_{1}^{'} \otimes \dots \otimes σ_{n}^{'}) Z \otimes \cdot \otimes Z (σ_{1}^{'} \otimes \dots \otimes σ_{n}^{'})

$H = (\sigma'_1\otimes\cdots\otimes \sigma'_n) Z\otimes\cdot\otimes Z (\sigma'_1\otimes\cdots\otimes \sigma'_n)$

ผลที่ตามมา:

{อี}^{ผม เสื้อ H} = (σ_{1}^{'} \otimes \dots \otimes σ_{n}^{'}) {อี}^{ผม เสื้อ Z \otimes \cdot \otimes Z} (σ_{1}^{'} \otimes \dots \otimes σ_{n}^{'})

$e^{it H} = (\sigma'_1\otimes\cdots\otimes \sigma'_n) e^{it Z\otimes\cdot\otimes Z} (\sigma'_1\otimes\cdots\otimes \sigma'_n)$

$e^{it Z\otimes Z}$

หาก Hamiltonian เป็นผลรวมของผลิตภัณฑ์ Pauli แสดงว่าไม่มีวิธีแก้ปัญหาทั่วไปที่ง่าย แต่คุณสามารถใช้สูตรผลิตภัณฑ์ Lie ซึ่งถูกตัดทอนไปที่คำศัพท์จำนวนมากเพื่อลดปัญหาดังกล่าว

— จอห์น
แหล่งที่มา

0

$e^{-\Delta t H}$

— จอร์จ
แหล่งที่มา