เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมใน EKF?

16

ฉันกำลังดิ้นรนกับแนวคิดของเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม ตอนนี้ความเข้าใจของฉันสำหรับ ,และอธิบายถึงความไม่แน่นอน ตัวอย่างเช่นสำหรับมันอธิบายถึงความไม่แน่นอนของค่าของ x ตอนนี้คำถามของฉันเกี่ยวกับ sigmas ที่เหลือพวกเขาเป็นตัวแทนอะไร? มันหมายความว่าอะไรถ้าพวกมันเป็นศูนย์ ฉันสามารถตีความได้ว่าถ้าเป็นศูนย์หมายความว่าฉันไม่มีความไม่แน่นอนเกี่ยวกับค่าของ x

Σ = [\begin{matrix} σ_{x x} & σ_{x y} & σ_{x θ} \\ σ_{y x} & σ_{y y} & σ_{y θ} \\ σ_{θ x} & σ_{θ Y} & σ_{θ θ} \end{matrix}]

$\Sigma = \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{x \theta} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{y \theta} \\ \sigma_{\theta x} & \sigma_{\theta y} & \sigma_{\theta \theta} \\ \end{bmatrix}$

σ_{x x}

$\sigma_{xx}$

σ_{y y}

$\sigma_{yy}$

σ_{θ θ}

$\sigma_{\theta \theta}$

σ_{x x}

$\sigma_{xx}$

σ_{x x}

$\sigma_{xx}$

หมายเหตุฉันกำลังอ่านหลักการเคลื่อนไหวหุ่นยนต์ - ทฤษฎีอัลกอริทึมและการใช้งานโดย Howie Choset และ อัลซึ่งระบุว่า

ตามคำนิยามนี้เป็นเช่นเดียวกับแปรปรวนของ{i} สำหรับถ้าดังนั้นและจะเป็นอิสระจากกัน $\sigma_{ii}$ $\sigma_{i}^{2}$ $X_{i}$ $i ≠ j$ $\sigma_{ij} = 0$ $X_{i}$ $X_{j}$

นี้อาจตอบคำถามของฉันถ้าส่วนที่เหลือของ sigmas เป็นศูนย์ แต่ฉันยังคงสับสนเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรเหล่านี้เช่นและy ที่สิ่งนี้จะเกิดขึ้นเมื่อใด ฉันหมายถึงความสัมพันธ์ระหว่างพวกเขา หรืออีกนัยหนึ่งฉันจะถือว่าพวกเขาเป็นศูนย์ได้หรือไม่ $x$ $y$

หนังสืออีกเล่มหนึ่งคือFastSLAM: วิธีปรับขนาดได้ ...โดย Michael และ Sebastian ซึ่งกล่าวถึง

องค์ประกอบแนวทแยงมุมของเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมของตัวแปรแบบเกาส์หลายตัวแปรนี้เข้ารหัสความสัมพันธ์ระหว่างคู่ของตัวแปรสถานะ

พวกเขาไม่พูดถึงเมื่อความสัมพันธ์อาจเกิดขึ้นและมันหมายความว่าอย่างไร

kalman-filter noise

— Croco
แหล่งที่มา

5

นี่คือกล่องของเล่นหนึ่งชิ้นที่องค์ประกอบนอกแนวทแยงเป็นศูนย์

พิจารณาเวกเตอร์สถานะที่รวมตำแหน่งของล้อทั้งซ้ายและขวาแทนที่จะเป็นตำแหน่งเดียวสำหรับหุ่นยนต์ ทีนี้ถ้าล้อซ้ายมีตำแหน่ง 100 ม. คุณก็รู้ว่าล้อขวาจะมีตำแหน่งประมาณ 100 ม. (ขึ้นอยู่กับความยาวของเพลา) เมื่อล้อซ้ายเพิ่มตำแหน่งล้อขวาก็จะเหมือนกัน มันไม่ได้มีความสัมพันธ์แบบ 1: 1 ที่แน่นอนเช่นมันไม่ได้ถืออย่างแน่นอนเมื่อหุ่นยนต์กำลังหมุน แต่โดยรวมก็มี

ดังนั้นนี่คือการเข้า - ออกในแนวทแยงมุมระหว่างตำแหน่งล้อ x ซ้ายและตำแหน่งล้อขวา x จะใกล้เคียงกับ 1

— ryan0270
แหล่งที่มา

ตกลงถ้าแบบจำลองของฉันแสดงเป็นจุดที่เคลื่อนที่ในสภาพแวดล้อมภาพถ่าย (ei 2D) ดังนั้นองค์ประกอบนอกแนวทแยงมุมจึงเป็นศูนย์เนื่องจากไม่มีความสัมพันธ์ดังกล่าวระหว่างองค์ประกอบในแนวทแยง สมมติฐานนี้ถูกต้องหรือไม่ และในกรณีที่จุดนี้ตรวจจับจุดสังเกตที่มีพิกัดสองจุด (ei

) ฉันสามารถสมมติค่าศูนย์สหสัมพันธ์ได้หรือไม่

x, y

$x, y$

— CroCo

สำหรับคำถามแรกของคุณคุณสามารถปล่อยให้องค์ประกอบแนวทแยงมุมเป็นศูนย์ได้ สำหรับวินาทีมันขึ้นอยู่กับว่าคุณจัดการกับมันอย่างไร หากคุณเพิ่งใช้จุดสังเกตเพื่อประเมินตำแหน่งปัจจุบันของคุณไม่มีความสัมพันธ์กัน หากคุณเพิ่มตำแหน่งจุดสังเกตลงในเวกเตอร์สถานะ (ตามปกติใน SLAM) พวกเขาจะเริ่มพัฒนาความสัมพันธ์ระหว่างกัน

— ryan0270

4

เพื่อให้ได้ความรู้สึกร่วมกับเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม - โดยไม่ต้องลงรายละเอียดทางคณิตศาสตร์ที่นี่ - ดีที่สุดที่จะเริ่มต้นด้วยเมทริกซ์ 2x2 จากนั้นจำไว้ว่าเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมเป็นส่วนขยายของแนวคิดเรื่องความแปรปรวนในกรณีหลายตัวแปร ในกรณี 1D ความแปรปรวนเป็นสถิติสำหรับตัวแปรสุ่มเดียว หากตัวแปรสุ่มของคุณมีการแจกแจงแบบเกาส์ที่มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์ความแปรปรวนสามารถกำหนดฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นได้อย่างแม่นยำ

ทีนี้ถ้าคุณขยายตัวแปรนี้เป็นสองตัวแปรแทนที่จะเป็นหนึ่งคุณสามารถแยกความแตกต่างระหว่างสองกรณี หากตัวแปรสองตัวของคุณเป็นอิสระซึ่งหมายความว่าผลลัพธ์ของค่าหนึ่งไม่มีความสัมพันธ์กับค่าอื่น ๆ โดยทั่วไปมันจะเหมือนกับในกรณี 1D คุณของคุณและให้ความแปรปรวนของและเป็นส่วนหนึ่งของตัวแปรสุ่มของคุณและจะเป็นศูนย์ $\sigma_{xx}$ $\sigma_{yy}$ $x$ $y$ $\sigma_{xy}$

หากตัวแปรของคุณขึ้นอยู่กับสิ่งนี้จะแตกต่างกัน วิธีการขึ้นอยู่กับว่ามีความสัมพันธ์ระหว่างผลของและy ที่ตัวอย่างเช่นคุณอาจมีว่าเมื่อใดก็ตามที่เป็นบวกโดยทั่วไปมีแนวโน้มที่จะเป็นบวกเช่นกัน นี้จะได้รับโดยค่าความแปรปรวนของคุณ Y $x$ $y$ $x$ $y$ $\sigma_{xy}$

ยกตัวอย่างสำหรับหุ่นยนต์ในกรณี 2 มิติที่ไม่มีการวางแนวนั้นเป็นการประดิษฐ์เล็กน้อย แต่สมมติว่าคุณมีส่วนประกอบแบบสุ่มตามทิศทางการเดินทางบน -axis และคุณรู้ว่าส่วนประกอบนี้สร้างแกนดริฟท์บนแกนด้านข้างของคุณด้วย ( ) เช่นนี้อาจเป็นล้อที่ผิดปกติ ซึ่งจะส่งผลให้วงรีไม่แน่นอนที่หมุน ตอนนี้เช่นเมื่อคุณมีสิ่งที่วัดตำแหน่งแท้จริงของคุณในภายหลังคุณสามารถประเมินการกระจายความไม่แน่นอนในองค์ประกอบของคุณ $x$ $y$ $x$ $y$

$\theta$

$1 \sigma$

นี่ก็เป็นจริงในกรณี 3D ฉันชอบที่จะได้รับทางคณิตศาสตร์มากขึ้นที่นี่ แต่อาจจะในภายหลัง

— จาคอบ
แหล่งที่มา

Σ

$\Sigma$

x

$x$

y

$y$

1

@CroCo ฉันคิดว่าตัวอย่างที่คุณขอมีการอธิบายไว้ในวรรคสี่ของคำตอบ

— Demetris