ในการควบคุมแบบ PID เสาและศูนย์แสดงถึงอะไร?

เมื่อใดก็ตามที่ฉันอ่านข้อความเกี่ยวกับการควบคุม (เช่นการควบคุมแบบ PID) มักจะกล่าวถึง 'เสา' และ 'ศูนย์' พวกเขาหมายถึงอะไรโดยที่? สถานะทางกายภาพใดที่ขั้วโลกหรือศูนย์อธิบาย

ฟังก์ชันที่อธิบายถึงวิธีที่อินพุตกับระบบแม็พกับเอาต์พุตของระบบถูกอ้างถึงเป็นฟังก์ชันถ่ายโอน$T(\mathbf{x})$

สำหรับระบบเชิงเส้นฟังก์ชันถ่ายโอนสามารถเขียนเป็นโดยที่และเป็นชื่อพหุนามคือN D T ( x ) = N ( x$N(\mathbf{x})/D(\mathbf{x})$$N$$D$

เลขศูนย์ของระบบที่มีค่าของที่ตอบสนองคำสั่ง0 ในคำอื่น ๆ ที่พวกเขาเป็นรากของพหุนาม{x}) ในฐานะที่เป็น{x}) เข้าใกล้ศูนย์, เศษของฟังก์ชั่นการถ่ายโอน (และฟังก์ชั่นการถ่ายโอนตัวเอง) เข้าใกล้ค่า 0N ( x ) = 0 N ( x ) N ( x$x$$N(\mathbf{x}) = 0$$N(\mathbf{x})$$N(\mathbf{x})$

ในทำนองเดียวกันเสาของระบบที่มีค่าของที่ตอบสนองคำสั่ง0 ในคำอื่น ๆ ที่พวกเขาเป็นรากของพหุนาม{x}) เมื่อเข้าใกล้ขั้วโลกตัวส่วนของฟังก์ชั่นการถ่ายโอนจะเข้าใกล้ศูนย์และค่าของฟังก์ชั่นการถ่ายโอนจะเข้าใกล้อนันต์D ( x ) = 0 D ( x ) D ( x$x$$D(\mathbf{x}) = 0$$D(\mathbf{x})$$D(\mathbf{x})$

เสาและศูนย์ช่วยให้เราเข้าใจว่าระบบจะตอบสนองต่ออินพุตต่างๆอย่างไร ศูนย์มีความน่าสนใจสำหรับความสามารถในการบล็อกความถี่ในขณะที่เสาให้ข้อมูลเกี่ยวกับความเสถียรของระบบ โดยทั่วไปเราเขียนพล็อตและเลขศูนย์ในระนาบเชิงซ้อนและเราบอกว่าระบบนั้นมีความเสถียร- อินพุทเอาท์พุทที่มีขอบเขต จำกัด (BIBO) หากเสาตั้งอยู่ในครึ่งซ้ายของระนาบเชิงซ้อน (LHP - Left Half Plane)

ในที่สุดเมื่อเราออกแบบตัวควบคุมเรามีผลต่อการจัดการมันเป็นเสาและศูนย์เพื่อให้ได้พารามิเตอร์การออกแบบที่เฉพาะเจาะจง

ฟังก์ชันการถ่ายโอนพหุนามเหล่านี้เกิดขึ้นเมื่อคุณทำการแปลง Laplaceในสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นบางอันซึ่งอาจอธิบายถึงหุ่นยนต์ของคุณหรือเป็นผลมาจากการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้นของพลศาสตร์ของหุ่นยนต์ในบางสถานะที่ต้องการ คิดว่ามันเหมือน "การขยายตัวของเทย์เลอร์" รอบ ๆ รัฐนั้น

Laplace transform เป็นลักษณะทั่วไปของการแปลงฟูริเยร์เป็นฟังก์ชันที่ไม่ได้เป็นคาบ ในวิศวกรรมไฟฟ้าการแปลง Laplace ถูกตีความว่าเป็นตัวแทนของระบบในโดเมนความถี่กล่าวคืออธิบายว่าระบบส่งความถี่ใด ๆ จากสัญญาณอินพุตได้อย่างไร ศูนย์จะอธิบายความถี่ที่ไม่ได้รับการส่ง และดังที่ DaemonMaker ได้กล่าวไว้แล้วเสามีความสำคัญเมื่อพิจารณาถึงความเสถียรของระบบ: ฟังก์ชั่นการถ่ายโอนของระบบจะไปที่ระยะอนันต์ใกล้กับเสา

สิ่งที่พวกเขาหมายถึงในบริบทการควบคุม:

เสา : พวกเขาบอกคุณว่าระบบ (ซึ่งอาจเป็นระบบใหม่ซึ่งคุณได้แทรกลูปข้อเสนอแนะกับกฎหมายควบคุม) มีเสถียรภาพหรือไม่ โดยปกติคุณต้องการให้ระบบมีเสถียรภาพ ดังนั้นคุณต้องการให้เสาทั้งหมดของระบบอยู่ในระนาบครึ่งซ้าย (เช่นส่วนที่แท้จริงของเสาต้องเล็กกว่าศูนย์) เสาที่มีลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ระบบของคุณ ไกลแค่ไหนที่พวกเขาอยู่บนระนาบครึ่งซ้ายบอกคุณว่าระบบเข้าใกล้เร็วแค่ไหน ยิ่งพวกมันอยู่ห่างจากแกนจินตภาพมากเท่าไรระบบก็จะเร็วขึ้น

ศูนย์ : พวกมันสะดวกถ้าคุณมีขั้วบนระนาบครึ่งขวาหรือยังอยู่บนระนาบครึ่งซ้าย แต่ใกล้กับแกนจินตภาพมากเกินไป: โดยการปรับเปลี่ยนระบบของคุณอย่างชาญฉลาดคุณสามารถเลื่อนค่าศูนย์ไปยังขั้วที่ไม่ต้องการ พวกเขา

ฉันไม่สามารถพูดถึงค่าศูนย์ของฟังก์ชั่นการถ่ายโอนได้ แต่เสาของฟังก์ชั่นการถ่ายโอนมีการตีความที่มีความหมายอย่างแน่นอน

เพื่อให้เข้าใจถึงความหมายนี้คุณต้องจำไว้ว่าระบบที่เราต้องการที่จะควบคุมมันเป็นหนึ่งในสิ่งที่สอง: ทั้งค่าสมการหรือความแตกต่างสม ไม่ว่าในกรณีใดวิธีการทั่วไปในการแก้สมการเหล่านี้คือการกำหนดค่าลักษณะเฉพาะของพวกเขา ที่สำคัญกว่านั้นเมื่อระบบเป็นเส้นตรงค่าลักษณะเฉพาะของสมการอนุพันธ์ / ผลต่างจะตรงกับขั้วของฟังก์ชันถ่ายโอน โดยการรับเสาคุณจะได้ค่าลักษณะเฉพาะของสมการดั้งเดิม มันเป็นค่าเฉพาะของสมการดั้งเดิม (ในความคิดของฉัน) ที่กำหนดความมั่นคงของระบบ; มันเป็นเรื่องบังเอิญที่น่าทึ่งมากที่เสาของระบบเชิงเส้นนั้นมีค่าลักษณะเฉพาะของสมการดั้งเดิม

ในการอธิบายเรื่องนี้ให้พิจารณาทั้งสองกรณีแยกกัน:

กรณีที่ 1: สมการเชิงอนุพันธ์

$x(t)=Ce^{\lambda t}$$\lambda$ $x(t)\rightarrow 0$$t\rightarrow \infty$$Re(\lambda)<0$$Re(\lambda)\ge 0$$e^{\lambda t}$

กรณีที่ 2: สมการความแตกต่าง

$x_t=C\lambda^t$$\lambda$ $x_t\rightarrow 0$$t\rightarrow\infty$$|\lambda|<1$$|\lambda|\ge 1$$\lambda^t$

ไม่ว่าในกรณีใดเสาของฟังก์ชันระบบและค่าลักษณะเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์ / ความแตกต่าง (เอกพันธ์) เป็นสิ่งเดียวกัน! ในความคิดของฉันมันมีความหมายมากกว่าสำหรับฉันที่จะตีความเสาเป็นค่าลักษณะเฉพาะเพราะค่าลักษณะอธิบายความมั่นคงในแบบที่เป็นธรรมชาติมากขึ้น