การคำนวณเมทริกซ์ Jacobian สำหรับ Inverse Kinematics

เมื่อคำนวณ Jacobian matrix เพื่อแก้ Inverse Kinematic นั้นฉันอ่านจากหลาย ๆ ที่ที่ฉันสามารถใช้สูตรนี้เพื่อสร้างคอลัมน์แต่ละข้อของข้อต่อใน Jacobian matrix:

J_{i} = \frac{\partial e}{\partial ϕ_{i}} = [\begin{matrix} {[a_{i}^{'} \times (e_{p o s} - r_{i}^{'})]}^{T} \\ {[a_{i}^{'}]}^{T} \end{matrix}]

$\mathbf{J}_{i}=\frac{\partial \mathbf{e}}{\partial \phi_{i}}=\left[\begin{array}{c}{\left[\mathbf{a}_{i}^{\prime} \times\left(\mathbf{e}_{p o s}-\mathbf{r}_{i}^{\prime}\right)\right]^{T}} \\ {\left[\mathbf{a}_{i}^{\prime}\right]^{T}}\end{array}\right]$

ดังกล่าวที่เป็นแกนหมุนในพื้นที่โลกเป็นจุดหมุนในพื้นที่โลกและคือตำแหน่งของ effector ปลายในพื้นที่โลก $a'$ $r'$ $e_{pos}$

อย่างไรก็ตามฉันไม่เข้าใจว่าวิธีนี้สามารถทำงานได้เมื่อข้อต่อมีมากกว่าหนึ่งอานนท์ ใช้ตัวอย่างต่อไปนี้:

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

เป็นอานนท์หมุนที่เป็น effector ท้ายที่สุดเป็นเป้าหมายของ effector ท้ายที่สุดที่ ,และมีข้อต่อ $\theta$ $e$ $g$ $P_1$ $P_2$ $P_3$

ก่อนอื่นถ้าฉันต้องคำนวณเมทริกซ์ของจาโคเบียนตามสูตรข้างต้นสำหรับแผนภาพฉันจะได้อะไรแบบนี้

J = [\begin{matrix} ((0, 0, 1) \times \vec{อี})_{x} & ((0, 0, 1) \times (\vec{อี} - \vec{P_{1}}))_{x} & ((0, 0, 1) \times (\vec{อี} - \vec{P_{2}}))_{x} \\ ((0, 0, 1) \times \vec{อี})_{Y} & ((0, 0, 1) \times (\vec{อี} - \vec{P_{1}}))_{Y} & ((0, 0, 1) \times (\vec{อี} - \vec{P_{2}}))_{Y} \\ ((0, 0, 1) \times \vec{อี})_{Z} & ((0, 0, 1) \times (\vec{อี} - \vec{P_{1}}))_{Z} & ((0, 0, 1) \times (\vec{อี} - \vec{P_{2}}))_{Z} \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}]

$J=\begin{bmatrix} ((0,0,1)\times \vec { e } )_{ x } & ((0,0,1)\times (\vec { e } -\vec { P_{ 1 } } ))_{ x } & ((0,0,1)\times (\vec { e } -\vec { P_{ 2 } } ))_{ x } \\ ((0,0,1)\times \vec { e } )_{ y } & ((0,0,1)\times (\vec { e } -\vec { P_{ 1 } } ))_{ y } & ((0,0,1)\times (\vec { e } -\vec { P_{ 2 } } ))_{ y } \\ ((0,0,1)\times \vec { e } )_{ z } & ((0,0,1)\times (\vec { e } -\vec { P_{ 1 } } ))_{ z } & ((0,0,1)\times (\vec { e } -\vec { P_{ 2 } } ))_{ z } \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

นี่คือการสันนิษฐานว่าแกนหมุนทั้งหมดคือและทั้งหมดมีแกนหมุนเพียงหนึ่งอานนท์ ดังนั้นผมเชื่อว่าแต่ละคอลัมน์เป็นหนึ่งอานนท์ในกรณีนี้ # $(0,0,1)$ $\theta_\#$

ทีนี้นี่คือปัญหา: จะเกิดอะไรขึ้นถ้าข้อต่อทั้งหมดมี 6 อานนท์เต็ม? พูดตอนนี้สำหรับทุกร่วมกันฉันมี DOFs หมุนในแกนทั้งหมด, ,และและยัง DOFs แปลในแกนทั้งหมด ,และt_z $\theta_x$ $\theta_y$ $\theta_z$ $t_x$ $t_y$ $t_z$

หากต้องการทำให้คำถามของฉันชัดเจนยิ่งขึ้นถ้าฉันจะ "บังคับ" ให้ใช้สูตรข้างต้นกับอานนท์ทั้งหมดของข้อต่อทั้งหมดแล้วฉันอาจจะได้รับเมทริกซ์จาโคเบียนเช่นนี้:

(คลิกเพื่อดูขนาดเต็ม)

แต่นี่เป็นสิ่งที่แปลกอย่างไม่น่าเชื่อเพราะทั้ง 6 คอลัมน์ของ DOF สำหรับการร่วมทุกครั้งกำลังทำสิ่งเดียวกันซ้ำ

ฉันจะใช้สูตรเดียวกันเพื่อสร้างเมทริกซ์ของยาโคบเบียนด้วยอานนท์ทั้งหมดได้อย่างไร? เมทริกซ์ของยาโคเบียนจะเป็นอย่างไรในกรณีนี้?

inverse-kinematics kinematics

— ธาตุสีน็อน
แหล่งที่มา

จริงๆแล้วฉันไม่แน่ใจว่าควรโพสต์คำถามนี้ที่นี่ในคณิตศาสตร์ใน GamesDev หรือในฟิสิกส์หรือไม่ ฉันรู้สึกว่าฉันโพสต์คำถามนี้ผิดที่

— ซีนอน

ฉันคิดว่าข้อผิดพลาดของคุณคือคุณไม่ได้เปลี่ยน 'สำหรับ DOF แต่ละอันนั่นเป็นสาเหตุที่ทำให้พวกเขาดูเหมือนกันทั้งหมด

คำตอบ:

ฉันต้องยอมรับว่าฉันไม่ได้เห็นสูตรเฉพาะนั้นบ่อยนัก แต่การเดาของฉันจะเป็นเช่นนั้นในกรณีที่มีมากกว่าหนึ่งอานนท์คุณจะประเมินมันสำหรับข้อต่อทุกข้อในทุกคอลัมน์จากนั้นคูณผลลัพธ์เหล่านั้นด้วย แต่ละคอลัมน์

แต่ให้ฉันแนะนำ apporach ที่ง่ายกว่าให้กับ Jacobians ในบริบทของข้อ จำกัด หลายประการ: โดยทั่วไปแล้ว Jacobian จะบอกคุณว่าการเคลื่อนไหวของข้อต่อแต่ละครั้งนั้นไกลแค่ไหนถ้าคุณเลื่อนเฟรม effector ไปในทิศทางที่เลือกโดยพลการ ปล่อยให้เป็นจลนศาสตร์ไปข้างหน้าโดยที่เป็นข้อต่อ,เป็นส่วนหนึ่งของจลนศาสตร์ไปข้างหน้าและส่วนที่หมุนได้ จากนั้นคุณสามารถรับยาโคบเบียนได้โดยแยกความแตกต่างของจลนศาสตร์ไปข้างหน้าตามตัวแปรร่วม: $f(\theta)$ $\theta = [\theta_1, ... , \theta_n]$ $f_{\text{pos}}$ $f_{\text{rot}}$

J = \frac{\partial ฉ}{\partial θ} = [\begin{matrix} \frac{\partial ฉ_{POS}}{\partial θ_{1}}, & \frac{\partial ฉ_{POS}}{\partial θ_{2}} & . . ., \frac{\partial ฉ_{POS}}{\partial θ_{n}} \\ \frac{\partial ฉ_{เน่า}}{\partial θ_{1}}, & \frac{\partial ฉ_{เน่า}}{\partial θ_{2}} & . . ., \frac{\partial ฉ_{เน่า}}{\partial θ_{n}} \end{matrix}]

$J = \frac{\partial f}{\partial \theta} = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_{\text{pos}}}{\partial \theta_1}, & \frac{\partial f_{\text{pos}}}{\partial \theta_2} & ..., \frac{\partial f_{\text{pos}}}{\partial \theta_n} \\ \frac{\partial f_{\text{rot}}}{\partial \theta_1}, & \frac{\partial f_{\text{rot}}}{\partial \theta_2} & ..., \frac{\partial f_{\text{rot}}}{\partial \theta_n} \end{bmatrix}$ เป็น Jacobian ของหุ่นยนต์ของคุณ Inverting มันจะทำให้คุณจลนศาสตร์ผกผันกับ respcet เพื่อความเร็ว มันก็ยังคงเป็น แต่มีประโยชน์ถ้าคุณต้องการที่จะรู้ว่าไกลร่วมกันมีการย้ายถ้าคุณต้องการที่จะย้าย effector ปลายของคุณโดยบางส่วนขนาดเล็กจำนวนในทิศทางใด (เพราะในระดับตำแหน่งนี้ได้อย่างมีประสิทธิภาพจะเป็นเชิงเส้นก) :

Δ x

$\Delta x$

Δ θ = J^{- 1} Δ x

$\Delta \theta = J^{-1}\Delta x$

หวังว่าสิ่งนี้จะช่วย

— Daniel Eberts
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับการตอบกลับ! แต่นี่จะหมายความว่าฉันจะต้องคำนวณค่าตัวเลข? ที่จริงฉันเห็นตัวอย่างการวิเคราะห์นี้จากgraphics.cs.cmu.edu/nsp/course/15-464/Fall09/handouts/IK.pdfจาก Slide 19 และgraphics.ucsd.edu/courses/cse169_w05/CSE169_13.pptบน Slide 78. จากสไลด์ดูเหมือนว่าฉันอาจไม่ต้องใช้วิธีการเชิงตัวเลข ในสถานการณ์เมื่อฉันไม่มีฟังก์ชั่นจริง ๆ ที่จะแยกความแตกต่างฉันสามารถใช้สูตรนี้ได้ แต่ปัญหาคือสิ่งที่เกิดขึ้นเมื่อฉันมีอานนท์มากขึ้นสำหรับการร่วมกัน

— ซีนอน

ถ้าฉันเข้าใจสไลด์อย่างถูกต้องคุณจะต้องจัดการกับกรณีของข้อผิดพลาดหลาย ๆ แบบ (การหมุน) โดยการกำหนดเวกเตอร์สำหรับข้อต่อแต่ละข้อโดยที่เป็นตำแหน่งของข้อต่อ ดังนั้นถ้าคุณพูดข้อต่อ 46 คุณจะได้ยาโคเบียนที่มี 46 คอลัมน์และ 6 แถว (หรือ 3 ถ้าคุณละเลยการวางแนวของเอฟเฟกต์ท้าย) เรื่องสั้นแบบสั้น: คุณสามารถใช้สูตรนั้นกับข้อต่อจำนวนเท่าใดก็ได้และไม่ต้อง "รวม" กับข้อต่ออื่น ๆ

(e_{i} - P_{i})

$(e_i - P_i)$

P_{i}

$P_i$

— Daniel Eberts

แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้าข้อต่อมีมากมายเช่น , ,และการแปลเช่น , , ? ตอนนี้ข้อต่อแต่ละอันมี 6 อานนท์ จากความเข้าใจของฉันเกี่ยวกับวิธีการทำงานของ Jacobian matrix สำหรับ IK คอลัมน์แรก 6 คอลัมน์จะเป็นอนุพันธ์ของ end-effector ที่เกี่ยวกับ 6 DOF ที่แตกต่างกันและ 6 คอลัมน์แรกเหล่านี้จะอธิบายข้อต่อแรก 6 คอลัมน์ถัดไปถัดไปจะอธิบายการเชื่อมต่อที่สองเกี่ยวกับ 6 DOFs และอื่น ๆ การใช้สมการหมายความว่า 6 คอลัมน์ของข้อต่อแต่ละข้อถูกบรรจุลงในคอลัมน์เดียวโดยอัตโนมัติหรือไม่

θ_{x}

$\theta_x$

θ_{y}

$\theta_y$

θ_{z}

$\theta_z$

t_{x}

$t_x$

t_{y}

$t_y$

t_{z}

$t_z$

(e_{i} - P_{i})

$(e_i - P_i)$

— ซีนอน

อ่าฉันเข้าใจแล้ว ไม่ในกรณีนั้นสูตรจะไม่ทำงานเพราะมันถูกออกแบบมาสำหรับข้อต่อการหมุนด้วยการหมุนหนึ่งแกน หากคุณต้องการรักษาเช่นข้อต่อทรงกลมคุณอาจต้องการสูตรที่แตกต่างซึ่งปฏิบัติต่อข้อต่อชนิดนั้นโดยเฉพาะหรือคุณต้องการรูปแบบปิดของจลนศาสตร์ล่วงหน้าของหุ่นยนต์ หากคุณมีสิ่งนั้นคุณสามารถแยกแยะได้ว่าข้อต่อและรับยาโคบเบียน

θ

$\theta$

— Daniel Eberts

ขอบคุณ! :) แค่อยากรู้อยากเห็น Slide 58 อยู่ในgraphics.ucsd.edu/courses/cse169_w05/CSE169_13.pptบอกเป็นนัยว่ามันเป็นไปได้ไหมที่จะใช้สูตรสำหรับข้อต่อแบบหมุนด้วย 3 อานนท์? ซึ่งหมายความว่าถ้าการร่วมทุนไม่มีการแปลอานนท์และมี 3 อานนท์การหมุนทั้งหมดมันยังคงเป็นไปได้? แม้ว่าฉันจะไม่แน่ใจว่าทำไมมันถึงใช้เวลาในการคูณกับการหมุนที่หลากหลายเพื่อให้ได้ที่แตกต่างกัน

(1, 0, 0, 0)

$(1,0,0,0)$

— ซีนอน

สูตรสำหรับข้อต่อ6 dof ของคุณสมมติว่าข้อต่อทั้งหมด 6 ตัวมีแกนในกรอบโลกและข้อต่อทั้งหมดเป็น revolute เนื่องจากข้อต่อทั้ง 6 จึงเหมือนกันคอลัมน์ใน Jacobian ก็เหมือนกัน $(0, 0, 1)$

เริ่มต้นกว่าสมมติว่าร่วมกันมีแกนจะผ่านจุดRให้เป็นตำแหน่งของ end-effector พิกัดของ ,และได้รับในกรอบโลกและกำลังได้รับการปรับปรุงเมื่อหุ่นยนต์กำลังถูกย้าย แกนมีความยาว1 $a$ $r$ $e$ $a$ $r$ $e$ $a$ $1$

ถ้าข้อต่อคือการเชิดชูคอลัมน์ของยาโคบเบียนสำหรับข้อต่อคือ

$J_{\theta}(a, r) = \left[\begin{matrix} a \times (e - r) \\ a \end{matrix}\right]$

หากข้อต่อเป็นแท่งปริซึมคอลัมน์คือ

$J_{p}(a) = \left[\begin{matrix} a \\ 0 \end{matrix}\right]$

สมมติว่าเรามีการร่วม6 อานนท์ซึ่งไม่เพียง แต่เป็นทรงกลม แต่สามารถแปลในอวกาศด้วย สมมติว่าแกนของข้อต่อคือ ,และและว่าแต่ละข้อหมุนรอบและปริซึมมีส่วนแบ่งเป็นแกนดังนั้น Jacobian สำหรับข้อต่อจะกลายเป็น $a_x$ $a_y$ $a_z$

$J = \left[\begin{matrix} J_p(a_x) & J_p(a_y) & J_p(a_z) & J_{\theta}(a_x, r) & J_{\theta}(a_y, r) & J_{\theta}(a_z, r) \end{matrix}\right]$

แกน ,และขึ้นอยู่กับจลนศาสตร์ล่วงหน้าของหุ่นยนต์ เพื่อแสดงให้เห็นถึงการเปลี่ยนแปลงของข้อต่อในกรอบโลกโดย $a_x$ $a_y$ $a_z$ $k$

$F_k = \prod_{i=1}^{k} L_i T_i$

ที่แปลงเป็นค่าคงที่และการแปลงขึ้นอยู่กับตัวแปรร่วม ให้และเป็นการแปลงที่หมุนและแปลโดยเกี่ยวกับแกนพิกัดที่ชื่อ (เช่น ,หรือ ) $L_i$ $T_i$ $R_c(q)$ $P_c(q)$ $q$ $c$ $x$ $y$ $z$

ให้เป็นรางที่คำนวณโดยความช่วยเหลือของจาโคเบียนสำหรับ TH ร่วม ให้ $\Delta q = (\Delta p_x, \Delta p_y, \Delta p_z, \Delta \theta_x, \Delta \theta_y, \Delta \theta_z)$ $i$ และปรับปรุงการเปลี่ยนแปลงของท้องถิ่นร่วมกันโดย: $\Delta T = P_x(\Delta p_x) P_y(\Delta p_y) P_z(\Delta p_z) R_x(\Delta \theta_x) R_y(\Delta \theta_y) R_z(\Delta \theta_z)$

$T_i \leftarrow T_i \, \Delta T$

ในการกำหนดของกลศาสตร์การเคลื่อนไหวไปข้างหน้านี้แกน , และของการร่วมทุนจะตรงคอลัมน์ของเมทริกซ์หมุนของฉันนอกจากนี้ยังมีตำแหน่งเป็นเวกเตอร์การแปลของฉัน $a_x$ $a_y$ $a_z$ $i$ $F_i$ $r$ $F_i$

— antonakos
แหล่งที่มา

เท่าที่ฉันเข้าใจคำถามของคุณว่าคุณต้องการเมทริกซ์จาโคเบียนสำหรับข้อต่อ 6 อานนท์

ให้ฉันเริ่มต้นด้วยพื้นฐานของหุ่นยนต์ คุณอยู่ในช่วงเริ่มต้นของการเรียนรู้หุ่นยนต์ที่แตกต่างกันไป คุณต้องเข้าใจว่าข้อต่อแต่ละอันแสดงถึงอานนท์เดี่ยว ๆ ไม่ว่าจะเป็นการร่วมประเวณีหรือปริซึม

เท่าที่ความกังวลเกี่ยวกับทรงกลมมันสามารถแปลงเป็นข้อต่อ 3 revolute กับสามแกนตั้งฉากซึ่งกันและกัน ดังนั้นตอนนี้คุณได้ลดความซับซ้อนของข้อต่อทรงกลมของคุณ

ก้าวไปข้างหน้าสู่เมทริกซ์จาโคเบียน มันมี 6 แถว 3 แถวแรกแสดงถึงการวางแนวและ 3 แถวสุดท้ายระบุตำแหน่งโดยอ้างอิงกับระบบพิกัดเฉพาะ แต่ละคอลัมน์ในเมทริกซ์บ่งบอกถึงข้อต่อเดียว จำนวนข้อต่อ / อานนท์คุณมีคอลัมน์จำนวนเดียวกันกับที่คุณมีในเมทริกซ์จาโคเบียน

นี่คือมุมมองที่ชัดเจนมากขึ้นสำหรับคำถามของคุณ: ข้อต่อเดียวไม่เคยตอบสนองมากกว่าหนึ่งอานนท์เพราะมันซับซ้อนการควบคุมร่วมและการควบคุมที่แม่นยำจะไม่บรรลุ แม้ว่าเราจะพิจารณาข้อต่อที่มีสมมุติฐานมากกว่าหนึ่งอานนท์ แต่คุณต้องแปลงข้อต่อนั้นเป็นข้อต่อหลาย ๆ อันด้วย 1 อานนท์แต่ละอันเพื่อทำให้คณิตศาสตร์และการแก้ปัญหาง่ายขึ้น

หุ่นยนต์ 6 DOF ที่มีข้อต่อ revolute 6 ชิ้นส่วนใหญ่สำหรับปัญหาจริง แต่ตามคำถามของคุณคุณได้พิจารณาหุ่นยนต์ร่วม 6 ตัวโดยแต่ละข้อมี 3 อานนท์ที่ทำหุ่นยนต์ 18 อานนท์ สิ่งนี้จะให้อานนท์ซ้ำซ้อน (เช่น 18-6 = 12 ซ้ำซ้อนอานนท์) ดังนั้นในการเข้าถึงหุ่นยนต์ผู้สร้างเอฟเฟกต์ไปยังตำแหน่งใด ๆ ด้วยการวางแนวใด ๆ คุณจะมีวิธีแก้ปัญหาที่แตกต่างกันไม่สิ้นสุด (โซลูชันหมายถึงการหมุนของข้อต่อแต่ละข้อ) ดังนั้นแก้ปัญหาจลศาสตร์ผกผันชนิดนี้คุณจะต้องใช้วิธีวนซ้ำของจลนศาสตร์ผกผัน

หวังว่าฉันได้ตอบคำถามของคุณชัดเจนยิ่งขึ้น หากต้องการเรียนรู้หุ่นยนต์ขั้นพื้นฐานคุณสามารถอ้างอิง John J. Craig - รู้เบื้องต้นเกี่ยวกับกลไกและการควบคุมหุ่นยนต์ - Pearson Education, Inc.

ขอแสดงความนับถือ Manan Kalasariya

— Manan kalsariya
แหล่งที่มา