การควบคุมหลายลูปที่มีเอฟเฟกต์ซ้อนทับกัน

ฉันคุ้นเคยกับการใช้ PID เพื่อดำเนินการควบคุมวงปิดเมื่อมีเอาต์พุตเดียวและสัญญาณข้อผิดพลาดเพียงครั้งเดียวสำหรับวิธีการที่เอาต์พุตดีถึงจุดที่ต้องการ

อย่างไรก็ตามสมมติว่ามีหลายลูปควบคุมแต่ละอันมีหนึ่งเอาต์พุตและสัญญาณข้อผิดพลาดหนึ่งอัน แต่ลูปไม่ได้เป็นอิสระอย่างสมบูรณ์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อหนึ่งลูปเพิ่มสัญญาณแอคทูเอเตอร์การเปลี่ยนแปลงนี้จะส่งผลกระทบต่อเอาต์พุตจากลูปอื่น ๆ ในระบบ

สำหรับตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมลองจินตนาการถึงแหล่งกำเนิดแรงดันไฟฟ้าแบบอนุกรมที่มีตัวต้านทานโดยใช้แรงดันไฟฟ้าข้ามระบบของตัวต้านทานที่ปรับค่าได้หกตัวในแบบขนาน เราสามารถวัดกระแสผ่านตัวต้านทานแต่ละตัวและเราต้องการควบคุมกระแสของตัวต้านทานแต่ละตัวอย่างอิสระโดยการปรับความต้านทาน แน่นอนว่านี่คือเคล็ดลับเมื่อคุณปรับความต้านทานของตัวต้านทานตัวใดตัวหนึ่งมันจะเปลี่ยนความต้านทานโดยรวมของชุดขนานซึ่งหมายความว่ามันจะเปลี่ยนแรงดันตกเนื่องจากตัวหารกับความต้านทานของแหล่งจ่ายไฟและเปลี่ยนกระแสผ่านตัวต้านทานอื่น ๆ .

ตอนนี้เห็นได้ชัดว่าเรามีแบบจำลองที่สมบูรณ์แบบสำหรับระบบนี้ดังนั้นเราสามารถคาดการณ์ความต้านทานที่เราควรใช้สำหรับตัวต้านทานทั้งหมดพร้อมกันโดยการแก้ชุดสมการเชิงเส้น อย่างไรก็ตามจุดทั้งหมดของการควบคุมวงปิดคือเราต้องการแก้ไขข้อผิดพลาด / อคติที่ไม่รู้จักในระบบที่เบี่ยงเบนไปจากแบบจำลองในอุดมคติของเรา จากนั้นคำถาม: อะไรเป็นวิธีที่ดีในการใช้การควบคุมวงปิดเมื่อคุณมีแบบจำลองที่มีการเชื่อมต่อข้ามชนิดนี้

control pid

— แดนไบรอันท์
แหล่งที่มา

โดยปกติมีม.มากกว่าหนึ่งฉัน nput, ม.มากกว่าหนึ่งo utput (MIMO) ระบบวิศวกรควบคุมใช้ควบคุมความคิดเห็นของรัฐ รูปแบบของคอนโทรลเลอร์นี้ใช้ประโยชน์จากแบบจำลองพื้นที่รัฐของระบบและโดยทั่วไปจะใช้แบบฟอร์ม:

\dot{x} = A x + B u y = C x + D u

$\dot{x}=\mbox{A}x+\mbox{B}u \\ y = \mbox{C}x + \mbox{D}u \\$

โดยที่คือเวกเตอร์ของสหรัฐฯ,คือเวกเตอร์ของอินพุต,คือเวกเตอร์ของเอาท์พุท, และอนุพันธ์ของเวลาของสหรัฐอเมริกา, , แสดงให้เห็นว่ารัฐวิวัฒนาการตลอดเวลาตามที่กำหนดโดยการรวมกันของรัฐและปัจจัยการผลิต{B} ขาออกยังจะถูกกำหนดโดยการโต้ตอบระหว่างรัฐและปัจจัยการผลิต แต่ผลที่สามารถรวมกันใด ๆ เพื่อให้รัฐออกและใส่การฝึกอบรมมีความแตกต่างกัน -และ{D} $x$ $u$ $y$ $\dot{x}$ $\mbox{A}$ $\mbox{B}$ $\mbox{C}$ $\mbox{D}$

ฉันจะไม่เข้าไปดูรายละเอียดจำนวนมากเกี่ยวกับการควบคุมผลตอบรับของรัฐ แต่โดยทั่วไปเมทริกซ์ "แผนที่" หรือเชื่อมโยงรัฐหรืออินพุตเฉพาะกับรัฐหรืออินพุตอื่น ตัวอย่างเช่นหากคุณต้องการสร้างแบบจำลองระบบสมการเชิงอนุพันธ์ที่ไม่เกี่ยวข้องคุณจะได้รับ: $\mbox{A} \rightarrow \mbox{D}$

\dot{x} = [\begin{array}{ccc} {\dot{x}}_{1} \\ {\dot{x}}_{2} \\ {\dot{x}}_{3} \end{array}] = [\begin{array}{ccc} k_{1} & 0 & 0 \\ 0 & k_{2} & 0 \\ 0 & 0 & k_{3} \end{array}] [\begin{array}{ccc} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}]

$\dot{x} = \left[ \begin{array}{ccc} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \\ \dot{x}_3 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} k_1 & 0 & 0 \\ 0 & k_2 & 0 \\ 0 & 0 & k_3 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ccc} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right]$ ซึ่งหมายถึง:

{\dot{x}}_{1} = k_{1} x_{1} {\dot{x}}_{2} = k_{2} x_{2} {\dot{x}}_{3} = k_{3} x_{3}

$\dot{x}_1 = k_1 x_1 \\ \dot{x}_2 = k_2 x_2 \\ \dot{x}_3 = k_3 x_3 \\$

หากคุณต้องการเพิ่มอินพุตในสมการสำหรับและป้อนไปยังจากนั้นคุณสามารถเพิ่มคำ : $u_1$ $\dot{x}_1$ $u_2$ $\dot{x}_3$ $\mbox{B}u$

\dot{x} = [\begin{array}{ccc} {\dot{x}}_{1} \\ {\dot{x}}_{2} \\ {\dot{x}}_{3} \end{array}] = [\begin{array}{ccc} k_{1} & 0 & 0 \\ 0 & k_{2} & 0 \\ 0 & 0 & k_{3} \end{array}] [\begin{array}{ccc} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] [\begin{array}{ccc} {ยู}_{1} \\ {ยู}_{2} \end{array}]

หากคุณต้องการเก็บสิ่งนี้ไว้ แต่คุณคิดว่าสถานะมีส่วนช่วยในการเปลี่ยนแปลงของคุณสามารถเพิ่มการโต้ตอบนั้น: $x_1$ $x_2$

\dot{x} = [\begin{array}{ccc} {\dot{x}}_{1} \\ {\dot{x}}_{2} \\ {\dot{x}}_{3} \end{array}] = [\begin{array}{ccc} k_{1} & 0 & 0 \\ k_{x_{1} \to x_{2}} & k_{2} & 0 \\ 0 & 0 & k_{3} \end{array}] [\begin{array}{ccc} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] [\begin{array}{ccc} {ยู}_{1} \\ {ยู}_{2} \end{array}]

$\dot{x} = \left[ \begin{array}{ccc} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \\ \dot{x}_3 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} k_1 & 0 & 0 \\ \boxed{ k_{x_1 \rightarrow x_2} } & k_2 & 0 \\ 0 & 0 & k_3 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ccc} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ccc} u_1 \\ u_2 \end{array} \right]$

เมื่อคุณเขียนออกตอนนี้คุณจะได้รับ:

\begin{matrix} {\dot{x}}_{1} & = & k_{1} x_{1} + {ยู}_{1} \\ {\dot{x}}_{2} & = & k_{x_{1} \to x_{2}} x_{1} + k_{2} x_{2} \\ {\dot{x}}_{3} & = & k_{3} x_{3} + {ยู}_{2} \end{matrix}

$\begin{array} \\ \dot{x}_1 & = & k_1 x_1 + u_1 \\ \dot{x}_2 & = & k_{x_1 \rightarrow x_2}x_1 + k_2 x_2 \\ \dot{x}_3 & = & k_3 x_3 + u_2 \end{array}$

คุณสามารถสร้างความซับซ้อนได้ตามที่ระบบของคุณต้องการ เมื่อคุณมีรูปแบบสำหรับการควบคุมการตอบรับของรัฐที่คุณต้องการเพื่อให้แน่ใจว่าระบบเป็นเชิงเส้นในการที่ระบบไม่ได้มีหน้าที่หนุนหรือรัฐหนึ่งคูณตัวเองหรือรัฐอื่นและตรวจสอบให้แน่ใจว่ามันเป็นเวลาที่คงที่ , ตรงที่ว่าเมทริกซ์จะไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา - ไม่มีฟังก์ชั่นของ (t) ในตัว คุณอาจสามารถทำให้เข้าใจง่ายบางอย่างเช่นการประมาณมุมเล็ก ๆเพื่อช่วยให้เมทริกซ์ของคุณอยู่ในรูปแบบLTI ที่จำเป็นสำหรับขั้นตอนถัดไป $\mbox{A} \rightarrow \mbox{D}$ $\mbox{A}$

ตอนนี้คุณสามารถ "ซ่อน" ทั้งระบบลงในสมการที่เป็นระเบียบเรียบร้อยสองครั้งแรกที่แสดงซ่อนเมทริกซ์ทั้งหมดด้วยตัวอักษร 'A' ฯลฯ ด้วยการแปลง Laplaceคุณสามารถ (hand-wave) ประเมินการไม่ควบคุม , พลวัต open-loop ของระบบ คุณทำได้โดยการค้นหาเสาของระบบซึ่งในระยะบ่งบอกถึงการตอบสนองของระบบ $\mbox{A}$

คุณยังสามารถประเมินระบบเพื่อดูว่าสามารถควบคุมได้หรือไม่ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถใช้อินพุตของคุณเพื่อเปลี่ยนแปลงสถานะทั้งหมดในลักษณะที่ไม่ซ้ำกันและดูว่าสามารถสังเกตได้หรือไม่ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถกำหนดค่าของ รัฐคือ

หากระบบสามารถควบคุมได้คุณสามารถนำข้อมูลเกี่ยวกับสถานะและฟีดข้อมูลนั้นเข้าสู่ระบบโดยใช้ข้อมูลที่คุณมีเกี่ยวกับสถานะเพื่อผลักดันให้เป็นค่าที่ต้องการ ใช้เพียงสองสมการเริ่มต้นเพื่อความชัดเจนเมื่อคุณเพิ่มสัญญาณควบคุมลงในอินพุตที่คุณได้รับ: $-\mbox{G}x$

\dot{x} = A x + B (ยู - G x) Y = ค x + D ยู

$\dot{x} = \mbox{A}x + \mbox{B}(u - \mbox{G}x) \\ y = \mbox{C}x + \mbox{D}u \\$

ซึ่งกลายเป็น:

\dot{x} = A x - BG x + B ยู Y = ค x + D ยู

$\dot{x} = \mbox{A}x - \mbox{BG}x + \mbox{B}u \\ y = \mbox{C}x + \mbox{D}u \\$

ซึ่งสามารถจัดใหม่เป็น:

\dot{x} = [A - BG] x + B ยู Y = ค x + D ยู

$\dot{x} = [\mbox{A}-\mbox{BG}]x + \mbox{B}u \\ y = \mbox{C}x + \mbox{D}u \\$

ไหนก่อนที่คุณจะได้รับการตอบสนองของระบบขับเคลื่อนด้วยเมทริกซ์ตอนนี้ก็คือการขับเคลื่อนด้วย{A-BG} คุณสามารถประเมินเสาได้อีกครั้งผ่านการแปลง Laplace แต่ตอนนี้คุณได้รับ matrixคุณสามารถใช้ปรับแต่งคอนโทรลเลอร์วางเสาได้ทุกที่ที่คุณต้องการ $\mbox{A}$ $\mbox{A-BG}$ $\mbox{G}$

กระบวนการต่อไปมีผู้สังเกตการณ์การตั้งค่าเพื่อเปรียบเทียบผลผลิตของระบบที่เกิดขึ้นจริงที่มีรูปแบบของการส่งออกที่คาดการณ์{y} ที่นี่เป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องทราบว่าผลลัพธ์ไม่จำเป็นต้องมีการรวมกันของรัฐเช่นเดียวกับที่คุณใช้ในสมการความแตกต่างของรัฐ - ที่รัฐของคุณอาจเป็นกระแสไฟฟ้าขาออกของคุณอาจเป็นแรงดัน ( ) คุณสามารถทำการเปรียบเทียบกับสัญญาณที่วัดได้บนระบบจริงของคุณ $y$ $\hat{y}$ $R\times I$

เช่นฉันกล่าวว่ามีความเป็นตันของข้อมูลที่เกี่ยวข้องกับการสร้างแบบจำลองและการออกแบบระบบควบคุมความคิดเห็นรัฐฉันเพียงแค่ระบุกระบวนการทั่วไปขณะที่ผมเชื่อว่านี่เป็นขอบเขตที่คุณกำลังมองหากับคำถามของคุณ

— Chuck
แหล่งที่มา

ขอบคุณนี่เป็นพื้นฐานที่ยอดเยี่ยมสำหรับการวิจัยเพิ่มเติม

— Dan ไบรอันท์

คำตอบที่ดีtl; dr; ค่าสเกลาร์ที่อธิบายถึงระบบ SISO กลายเป็นเมทริกซ์สำหรับระบบ MIMO "cross-coupling" สามารถเห็นได้ในค่าแบบทแยงมุมในเมทริกซ์

— หน่วยที่ดัด 22