ฉันมีความคิดพื้นฐานเกี่ยวกับการคำนวณช่วงเวลา (IA) แต่ดูเหมือนว่าจะเป็นสาขาที่น่าสนใจมากของวิทยาศาสตร์การคำนวณทั้งในทางทฤษฎีและในทางปฏิบัติ เป็นที่ชัดเจนว่าแอปพลิเคชันที่เห็นได้ชัดคือการตรวจสอบการคำนวณและปัญหาที่ไม่ถูกต้อง แต่นี่เป็นนามธรรมเกินไป เนื่องจากมีผู้คนจำนวนมากมีส่วนร่วมในการคำนวณที่ใช้ที่นี่ฉันอยากรู้เกี่ยวกับปัญหาโลกแห่งความจริงที่ยากหรือเป็นไปไม่ได้ที่จะแก้ปัญหาได้โดยไม่ต้อง IA
คำตอบ:
คำตอบนี้บางส่วนตอบความคิดเห็นของ JackPoulson (เพราะยาว) และตอบคำถามบางส่วน
เลขคณิตของช่วงเวลาเป็นกระบวนการคำนวณเพื่อให้ขอบเขตที่เข้มงวดกับปริมาณที่คำนวณได้เฉพาะในแง่ที่ว่าการขยายช่วงเวลาของฟังก์ชั่นมูลค่าที่แท้จริงในช่วงเวลาล้อมรอบภาพของฟังก์ชั่นนั้นในช่วงเวลาเดียวกัน การคำนวณช่วงเวลาไม่สามารถให้ข้อมูลเชิงลึกใด ๆ แก่คุณเกี่ยวกับปัจจัยที่มีผลต่อข้อผิดพลาดเชิงตัวเลขในการคำนวณในขณะที่ทฤษฎีบทในหนังสือของ Higham และคนอื่น ๆ ทำให้คุณเข้าใจถึงปัจจัยที่มีอิทธิพลต่อข้อผิดพลาดเชิงตัวเลข ได้รับขอบเขตที่ได้รับโดยใช้การคำนวณช่วงเวลาอาจอ่อนเนื่องจากปัญหาการพึ่งพาที่เรียกว่าแต่บางครั้งก็มีความแข็งแกร่งกว่ามาก ตัวอย่างเช่นขอบเขตช่วงเวลาที่ได้รับโดยใช้แพ็คเกจการรวมCOZY Infinityมีความเข้มงวดมากกว่าประเภทข้อผิดพลาดที่คุณจะได้รับจากการรวมตัวเลขจากผลลัพธ์ของ Dahlquist (ดูที่Hairer, Wanner และNørsettเพื่อดูรายละเอียด) ผลลัพธ์เหล่านี้ (โดยเฉพาะฉันอ้างถึงทฤษฎีบท 10.2 และ 10.6 ในส่วนที่ 1) ให้ข้อมูลเชิงลึกเพิ่มเติมเกี่ยวกับแหล่งที่มาของข้อผิดพลาด แต่ขอบเขตนั้นอ่อนแอในขณะที่ขอบเขตที่ใช้ COZY นั้นแน่น (พวกเขาใช้เทคนิคหลายอย่างเพื่อลดปัญหาการพึ่งพา)
ฉันลังเลที่จะใช้คำว่า "พิสูจน์" เมื่ออธิบายว่าเลขคณิตของช่วงเวลาใด มีการพิสูจน์ที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณช่วงเวลา แต่การคำนวณผลลัพธ์โดยใช้การคำนวณทางคณิตศาสตร์ด้วยการปัดเศษออกด้านนอกเป็นเพียงวิธีการทำบัญชีเพื่อ จำกัด ขอบเขตของฟังก์ชันอย่างระมัดระวัง การคำนวณทางคณิตศาสตร์ช่วงไม่ได้พิสูจน์ พวกเขาเป็นวิธีการเผยแพร่ความไม่แน่นอน
แอพพลิเคชั่นนอกเหนือไปจากงานของ Stadtherr ในงานวิศวกรรมเคมีการคำนวณช่วงเวลายังถูกใช้ในการคำนวณขอบเขตสำหรับการทดลองลำอนุภาค (ดูการทำงานของ Makino และ Berz ซึ่งเชื่อมโยงกับเว็บไซต์ COZY Infinity) ใช้ในการเพิ่มประสิทธิภาพทั่วโลกและการออกแบบทางวิศวกรรมเคมี (รวมถึงอื่น ๆ ) โดยBarton (ลิงค์ไปยังรายการสิ่งพิมพ์), การออกแบบยานอวกาศและการเพิ่มประสิทธิภาพทั่วโลก (จากที่อื่น) โดยNeumaier (อีกครั้งลิงก์คือรายการสิ่งพิมพ์ ) การเพิ่มประสิทธิภาพระดับโลกและนักแก้สมการไม่เชิงเส้นโดยKearfott (รายการสิ่งพิมพ์อื่น) และการหาปริมาณที่ไม่แน่นอน (แหล่งข้อมูลต่าง ๆ บาร์ตันเป็นหนึ่งในนั้น)
ในที่สุดข้อจำกัดความรับผิดชอบบาร์ตันเป็นหนึ่งในที่ปรึกษาวิทยานิพนธ์ของฉัน
การคำนวณแบบช่วงเวลาช่วยให้คุณพิสูจน์ด้วยความแม่นยำทางคณิตศาสตร์
ตัวอย่างที่ดีของการใช้งานจริงคือผลงานของMark Stadtherrและกลุ่มวิจัยของเขา โดยเฉพาะอย่างยิ่งการคำนวณสมดุลของเฟสและความเสถียรจะถูกแก้ไขด้วยวิธีการเป็นระยะ
คอลเลกชันที่ดีของมาตรฐานมีการอ้างอิงถึงภูมิหลังทางกายภาพของพวกเขาอยู่ที่เว็บไซต์ ALIAS
คุณลักษณะอีกประการของการคำนวณช่วงเวลาและการวางนัยทั่วไปคืออนุญาตให้มีการสำรวจแบบปรับตัวของโดเมนของฟังก์ชัน มันสามารถนำมาใช้สำหรับการสร้างแบบจำลองทางเรขาคณิตการปรับตัวการประมวลผลและการแสดงผลเพียงเพื่อนำตัวอย่างจากคอมพิวเตอร์กราฟิก
วิธีการช่วงได้ให้ความสำคัญในการพิสูจน์ล่าสุดของทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์ที่ยากเช่นการดำรงอยู่ของความสับสนวุ่นวายในการดึงดูด Lorenz และเคปเลอร์การคาดเดา ดูhttp://www.cs.utep.edu/interval-comp/kearfottPopular.pdfสำหรับแอปพลิเคชันเหล่านี้และอื่น ๆ
การคำนวณช่วงเวลามีประโยชน์อย่างมากสำหรับอัลกอริทึมแบบเรขาคณิต อัลกอริทึมทางเรขาคณิตดังกล่าวใช้เป็นชุดของวัตถุทางเรขาคณิต (เช่นชุดของจุด) และสร้างโครงสร้างข้อมูลแบบ combinatorial (เช่นการหารูปสามเหลี่ยม) ตามความสัมพันธ์เชิงพื้นที่ระหว่างจุด อัลกอริธึมเหล่านี้ขึ้นอยู่กับฟังก์ชั่นจำนวนน้อยที่เรียกว่า 'เพรดิเคต' ซึ่งรับอินพุตเป็นจำนวนคงที่ของวัตถุทางเรขาคณิตและส่งกลับค่าที่ไม่ต่อเนื่อง (โดยทั่วไปเป็นหนึ่งใน เพรดิเคตดังกล่าวโดยทั่วไปจะสัมพันธ์กับเครื่องหมายของดีเทอร์มีแนนต์ของพิกัดของจุด
การใช้ตัวเลข floating-point มาตรฐานไม่เพียงพอเนื่องจากมันอาจล้มเหลวในการคำนวณเครื่องหมายอย่างถูกต้องและยิ่งแย่กว่านั้นให้ส่งคืนผลลัพธ์ที่ไม่ต่อเนื่อง (เช่นการบอกว่า A อยู่เหนือ B และ B อยู่เหนือ A ดังนั้นการสร้างอัลกอริทึม ระเบียบแทนตาข่าย!) การใช้ความแม่นยำหลายอย่างเป็นระบบ (เช่นในห้องสมุด Gnu Multi-Precision และส่วนขยาย MPFR ของมันไปยังหมายเลขทศนิยมที่มีความแม่นยำหลายจุด) ทำงานได้ แต่ก่อให้เกิดโทษประสิทธิภาพที่สำคัญ เมื่อเพรดิเคตทางเรขาคณิตเป็นสัญลักษณ์ของบางสิ่ง (เช่นในกรณีส่วนใหญ่) การใช้ช่วงเวลาในการคำนวณจะช่วยให้ผู้ใช้ทำการคำนวณได้เร็วขึ้นและจากนั้นจะเริ่มการคำนวณที่มีความแม่นยำหลายอย่างที่กว้างขึ้นหากศูนย์อยู่ในช่วงเวลา
วิธีการดังกล่าวใช้ในรหัสเรขาคณิตขนาดใหญ่หลายตัว (เช่น CGAL)