วิธีการจัดการกับขอบเขตของโค้งเมื่อใช้วิธีผลต่างอันตะ จำกัด

ฉันพยายามเรียนรู้เกี่ยวกับการแก้ปัญหา PDE ด้วยตัวเอง

ฉันเริ่มต้นด้วยวิธีไฟไนต์ดิฟเฟอเรนเชียล (FDM) มาระยะหนึ่งแล้วเพราะฉันได้ยินมาว่า FDM เป็นพื้นฐานของวิธีการเชิงตัวเลขมากมายสำหรับ PDE จนถึงตอนนี้ฉันมีความเข้าใจพื้นฐานเกี่ยวกับ FDM และสามารถเขียนรหัสสำหรับ PDE ง่าย ๆ บางอย่างวางในพื้นที่ปกติด้วยวัสดุที่ฉันพบในห้องสมุดและอินเทอร์เน็ต แต่สิ่งที่แปลกคือวัสดุที่ฉันมักจะพูดถึงเพียงเล็กน้อย เกี่ยวกับการรักษาความผิดปกติของโค้งเขตแดนที่แปลกประหลาดเช่นนี้

ยิ่งกว่านั้นฉันไม่เคยเห็นวิธีง่าย ๆ ในการจัดการกับขอบเขตโค้ง ตัวอย่างเช่นหนังสือโซลูชันเชิงตัวเลขของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย - การแนะนำ (Morton K. , Mayers D)ซึ่งมีการสนทนาที่ละเอียดที่สุด (ส่วนใหญ่ใน3.4จาก p71 และ6.4จาก p199) ที่ฉันเคยเห็นจนถึงตอนนี้ได้หันไป การคาดการณ์ที่ยุ่งยากและน่าผิดหวังสำหรับฉันจริงๆ

ดังนั้นตามชื่อที่ถามเกี่ยวกับขอบเขตโค้งโดยทั่วไปผู้คนจะจัดการกับมันอย่างไรเมื่อใช้ FDM? กล่าวอีกนัยหนึ่งการรักษาที่ได้รับความนิยมมากที่สุดคืออะไร? หรือขึ้นอยู่กับประเภทของ PDE

มีวิธีที่สง่างามและมีความแม่นยำสูงในการจัดการกับขอบเขตโค้งหรือไม่? หรือมันเป็นแค่ความเจ็บปวดที่หลีกเลี่ยงไม่ได้?

ฉันอยากถามด้วยซ้ำจริง ๆ แล้วคนใช้ FDM สำหรับเขตแดนโค้งในปัจจุบัน? ถ้าไม่เป็นวิธีการทั่วไปของมันคืออะไร?

ความช่วยเหลือใด ๆ ที่จะได้รับการชื่นชม

ตอบคำถามสุดท้ายของคุณก่อนอื่นจริง ๆ แล้วคนใช้ FDM สำหรับเขตแดนโค้งทุกวันนี้ฉันจะบอกว่าคำตอบคือไม่ ในโลก CFD เชิงพาณิชย์รูปแบบปริมาณ จำกัด ที่ถูกต้องอันดับที่ 2 คือมาตรฐานอุตสาหกรรมแบบพฤตินัย ข้อดีอย่างหนึ่งของ FV (และองค์ประกอบ จำกัด / วิธี galerkin ไม่ต่อเนื่องที่ Jed พูดถึง) เหนือ FD คือการจัดการตามธรรมชาติที่ซับซ้อนมากขึ้นของขอบเขตที่ซับซ้อน FD มีรากฐานของวิธีการเชิงตัวเลขจำนวนมาก (รวม FV) และจำเป็นต้องเรียนรู้เป็นขั้นตอนแรก แต่ไม่แนะนำให้ใช้สำหรับปัญหาที่ซับซ้อนขนาดใหญ่

$(x,y)$$\xi = \xi(x,y),\eta = \eta(x,y)$$\Delta \xi = \Delta \eta = constant$. จากนั้นหนึ่งสามารถเขียนคำเช่น

$\frac{\partial (\xi,\eta)}{\partial (x,y)}$$u$

ฉันจะบอกว่าวิธีกริดแบบติดตั้งกับร่างกายนี้เป็น "การรักษาที่ได้รับความนิยมมากที่สุด" สำหรับการจัดการกับขอบเขตโค้งงอใน FD ด้วยข้อแม้ที่วิธีการ FD เองนั้นไม่ "ได้รับความนิยม" มากนักสำหรับการใช้งานที่ซับซ้อน มันยากที่จะเห็นพวกเขายังคงเกิดขึ้นในวรรณคดี CFD ยกเว้นในโดเมนที่ง่ายมาก

ขอบเขตโค้งจะครอบคลุมในหนังสือ CFD มากที่สุดเช่นบทที่ 11 ของ Wesselingหรือบทที่ 8 ของ Ferziger และ Peric

ในขณะที่ไม่ใช่ปัญหาพื้นฐานทางทฤษฎีความซับซ้อนในการใช้งานของเงื่อนไขขอบเขตสำหรับวิธีการสั่งซื้อสูงในขอบเขตโค้งเป็นเหตุผลสำคัญที่ให้ความสนใจในวิธีการทางเรขาคณิตที่ยืดหยุ่นมากขึ้นเช่นวิธีองค์ประกอบ จำกัด (รวมถึง Galerkin ไม่ต่อเนื่อง) ความแตกต่างที่มีโครงสร้าง จำกัด และกริดปริมาณ จำกัด ยังคงใช้ในการจำลอง CFD บางส่วน แต่วิธีการที่ไม่มีโครงสร้างกำลังได้รับความนิยมและการดำเนินงานในท้องถิ่นที่ใช้โดยวิธีการที่ไม่มีโครงสร้างที่มีคำสั่งสูงนั้นมีประสิทธิภาพค่อนข้างมาก วิธีการ (แน่นอนความยืดหยุ่นทางเรขาคณิตมักทำให้มีประสิทธิภาพมากขึ้น)

ฉันทำงานเกี่ยวกับ fdm ที่มีความแม่นยำสูงในช่วง n ปีที่ผ่านมา และฉันได้ใช้สมการ electrostatics -2 dim laplace เป็นตัวอย่างสำหรับการพัฒนาอัลกอริทึมความแม่นยำสูงอย่างชัดเจน จนกระทั่งประมาณ 4 ปีที่ผ่านมาปัญหาถูกสร้างขึ้นด้วยจุดเส้นแนวนอนหรือแนวตั้งของความไม่ต่อเนื่องที่อาจเกิดขึ้น หากคุณ google ชื่อของฉันและความแม่นยำสูง fdm คุณควรหาข้อมูลอ้างอิง แต่นี่ไม่ใช่คำถามของคุณ คำถามของคุณคือ fdm และขอบเขตโค้ง ประมาณหนึ่งปีที่ผ่านมาฉันนำเสนอคำสั่งซื้อ 8 คำตอบในฮ่องกง (ดูวิธีการผลต่างอันตะขอบเขตสำหรับการจับคู่แบบสมมาตรด้วยไฟฟ้าแบบสมมาตรแบบทรงกระบอกที่มีเส้นโค้ง Curvilinear) ซึ่งสร้างลำดับ 8 อัลกอริธึมสำหรับจุดตกแต่งภายในใกล้กับขอบเขตและสิ่งเหล่านี้จะต้องมีคะแนนแน่นอนที่อีกด้านหนึ่งของขอบเขต จุดที่อยู่อีกด้านหนึ่งของขอบเขตถูกวางไว้ที่นั่นโดยการขยายตาข่ายไปยังอีกด้านหนึ่ง หลังจากทำคำถามนี้แล้วคุณจะพบคุณค่าของจุดเหล่านี้ได้อย่างไรเมื่อผ่อนคลายตาข่าย มันทำได้โดยการรวมจากขอบเขต (รู้จักศักยภาพ) ไปยังจุดที่ใช้อัลกอริทึม มันประสบความสำเร็จอย่างสมเหตุสมผลและมีความแม่นยำพอสมควร ~ <1e-11 แต่ต้องการ 103 อัลกอริธึมแต่ละชิ้นที่สร้างขึ้นมาเองและมันค่อนข้างเปราะบางรูปทรงเรขาคณิตที่ไม่แน่นอนสามารถพบได้ เพื่อแก้ไขปัญหาดังกล่าวข้างต้นพบว่ามีคำสั่ง (ลำดับ 8 และต่ำกว่า) โดยใช้อัลกอริทึมน้อยที่สุด (หนึ่ง!) และวิธีแก้ปัญหานั้นมีความแข็งแกร่งมาก มันถูกส่งมา แต่จะมีให้ในรูปแบบก่อนพิมพ์โดยส่งอีเมลถึงฉัน ฉันเชื่อว่าเทคนิคนี้จะขยายไปถึงเวลาอิสระของ pde (จำเป็นต้องเป็นแบบเส้นตรง) นอกเหนือจาก laplace และขนาดที่สูงกว่า 2 ฉันไม่ได้พิจารณาปัญหาที่ขึ้นกับเวลา david