คำถามติดแท็ก finite-difference

ฉันพยายามที่จะแก้สมการการพาความร้อน แต่มีความผันผวนที่แปลกประหลาดปรากฏขึ้นในการแก้ปัญหาเมื่อคลื่นสะท้อนจากขอบเขต หากใครได้เห็นสิ่งประดิษฐ์นี้ก่อนที่ฉันจะสนใจที่จะรู้สาเหตุและวิธีการหลีกเลี่ยง! นี่คือ gif แบบเคลื่อนไหวเปิดในหน้าต่างแยกต่างหากเพื่อดูภาพเคลื่อนไหว (มันจะเล่นเพียงครั้งเดียวหรือไม่พร้อมกันในทันที! ขอให้สังเกตว่าการขยายพันธุ์ดูเหมือนจะมีเสถียรภาพสูงจนกระทั่งคลื่นเริ่มสะท้อนจากขอบเขตแรก คุณคิดว่าจะเกิดอะไรขึ้นที่นี่ ฉันใช้เวลาสองสามวันในการตรวจสอบรหัสของฉันและไม่พบข้อผิดพลาดใด ๆ มันแปลกเพราะมันดูเหมือนจะมีวิธีแก้ปัญหาที่แพร่กระจายสองอย่าง: หนึ่งบวกและลบหนึ่ง หลังจากการสะท้อนจากขอบเขตแรก การแก้ปัญหาดูเหมือนว่าจะเดินทางไปตามจุดตาข่ายที่อยู่ติดกัน รายละเอียดการใช้งานมีดังนี้ สมการการพาความร้อน ∂u∂t=v∂u∂x∂u∂t=v∂u∂x\frac{\partial u}{\partial t} = \boldsymbol{v}\frac{\partial u}{\partial x} โดยที่คือความเร็วในการแพร่กระจายvv\boldsymbol{v} Crank-Nicolson เป็นdiscretization ที่ไม่มีเงื่อนไข (ลิงก์ pdf) ที่ มีเสถียรภาพสำหรับสมการการพาความร้อนที่ให้มีการเปลี่ยนแปลงอย่างช้าๆในอวกาศ (มีส่วนประกอบความถี่ต่ำเท่านั้นเมื่อแปลงฟูริเยร์)u(x)u(x)u(x) discretization ฉันได้ใช้คือ ϕn+1j−ϕnjΔt=v[1−β2Δx(ϕnj+1−ϕnj−1)+β2Δx(ϕn+1j+1−ϕn+1j−1)]ϕjn+1−ϕjnΔt=v[1−β2Δx(ϕj+1n−ϕj−1n)+β2Δx(ϕj+1n+1−ϕj−1n+1)] \frac{\phi_{j}^{n+1} - \phi_{j}^{n}}{\Delta t} = \boldsymbol{v} \left[ \frac{1-\beta}{2\Delta x} \left( \phi_{j+1}^{n} - \phi_{j-1}^{n} \right) …

32 pde  finite-difference  advection 

คำอธิบายการทดลอง: ในการแก้ไขลากรองจ์สมการที่แน่นอนจะถูกสุ่มตัวอย่างที่จุด (ลำดับพหุนาม ) และถูกแก้ไขที่ 101 จุด ที่นี่จะแตกต่างกันตั้งแต่ 2 ถึง 64 ในแต่ละครั้งที่ ,และแปลงข้อผิดพลาดมีการจัดทำ จะเห็นได้ว่าเมื่อฟังก์ชั่นถูกสุ่มตัวอย่างที่จุด equi-spaced ข้อผิดพลาดจะลดลงในขั้นต้น (มันเกิดขึ้นจนถึงน้อยกว่าประมาณ 15 หรือมากกว่านั้น) จากนั้นข้อผิดพลาดจะเพิ่มขึ้นในต่อไปN - 1 N L 1 L 2 L ∞ N NNNNN−1N−1N - 1NNNL1L1L_1L2L2L_2L∞L∞L_\inftyNNNNNN ในขณะที่ถ้าการสุ่มตัวอย่างเริ่มต้นทำได้ที่จุด Legendre-Gauss (LG) (รากของคำพหุนาม Legendre) หรือ Legendre-Gauss-Lobatto (LGL) คะแนน (รากของ Lobatto polynomials) ข้อผิดพลาดจะลดลงถึงระดับเครื่องและไม่เกิดขึ้น เพิ่มขึ้นเมื่อเพิ่มขึ้นอีกNNN คำถามของฉันคือ เกิดอะไรขึ้นในกรณีของจุดที่เว้นระยะเท่ากัน ทำไมการเพิ่มลำดับพหุนามทำให้เกิดข้อผิดพลาดเพิ่มขึ้นหลังจากจุดหนึ่ง …

24 finite-difference  interpolation  error-estimation  polynomials 

สิ่งที่จะเป็น discretization แตกต่างแน่นอน จำกัด สำหรับสมการต่อไปนี้: ?∂ρ∂t+∇⋅(ρu)=0∂ρ∂t+∇⋅(ρu)=0\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \left(\rho u\right)=0 เราสามารถใช้กรณี 1D: ∂ρ∂t+ddx(ρu)=0∂ρ∂t+ddx(ρu)=0\frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{d}{dx}\left(\rho u\right)=0 ด้วยเหตุผลบางอย่างแผนการทั้งหมดที่ฉันสามารถหาได้คือการกำหนดในพิกัดลากรองจ์ ฉันมากับรูปแบบนี้ในขณะนี้ (ไม่สนใจดัชนีj ): ρn+1i,j- ρnฉัน, Jτ+ 1ชั่วโมงx( ρn + 1ฉัน+ 1 , J+ ρn + 1ฉัน, J2ยูnxฉัน+ 1 / 2 , J- ρn + 1ฉัน, J+ ρn + …

22 finite-difference  fluid-dynamics 

มาตรฐานสูตรต่าง จำกัดมีการใช้งานในการคำนวณตัวเลขที่มาภายใต้ความคาดหวังว่าคุณมีค่าฟังก์ชั่นที่จุดเว้นระยะเท่ากันเพื่อให้ชั่วโมง≡ x k + 1 - x kเป็นค่าคงที่ ถ้าฉันมีจุดเว้นระยะห่างไม่สม่ำเสมอดังนั้นตอนนี้hแตกต่างกันไปจากจุดคู่ที่อยู่ติดกันถึงจุดถัดไป เห็นได้ชัดว่าฉันยังสามารถคำนวณอนุพันธ์อันดับแรกได้เช่นf ′ ( x ) ≈ 1ฉ( xk)f(xk)f(x_k)h ≡ xk + 1- xkh≡xk+1−xkh \equiv x_{k+1} - x_kชั่วโมงhhแต่มีสูตรความแตกต่างเชิงตัวเลขที่คำสั่งซื้อและความแม่นยำสูงกว่าที่สามารถปรับให้เข้ากับการเปลี่ยนแปลงของขนาดกริดได้หรือไม่ฉ'( x ) ≈ 1ชั่วโมงk[ f( xk + 1) - f( xk) ]f′(x)≈1hk[f(xk+1)−f(xk)]f'(x) \approx \frac{1}{h_k}[f(x_{k+1}) - f(x_k)]

21 finite-difference  discretization 

สำหรับโครงการที่ฉันกำลังทำงาน (เป็นไฮเพอร์โบลิก PDE) ฉันต้องการรับการจัดการคร่าวๆเกี่ยวกับพฤติกรรมโดยดูจากตัวเลข อย่างไรก็ตามฉันไม่ใช่โปรแกรมเมอร์ที่ดีมาก คุณสามารถแนะนำทรัพยากรบางอย่างสำหรับการเรียนรู้วิธีการรหัสชุดรูปแบบความแตกต่างแน่นอนใน Scientific Python ได้อย่างมีประสิทธิภาพ(ยินดีต้อนรับภาษาอื่นที่มีกราฟการเรียนรู้ขนาดเล็ก) เพื่อให้แนวคิดแก่ผู้ชม (ฉัน) สำหรับคำแนะนำนี้: ฉันเป็นนักคณิตศาสตร์ที่บริสุทธิ์โดยการฝึกอบรมและค่อนข้างคุ้นเคยกับแง่มุมทางทฤษฎีของรูปแบบที่แตกต่างกันแน่นอน สิ่งที่ฉันต้องการความช่วยเหลือคือวิธีทำให้คอมพิวเตอร์คำนวณสิ่งที่ฉันต้องการให้คอมพิวเตอร์คำนวณโดยเฉพาะอย่างยิ่งในวิธีที่ฉันไม่ได้ทำซ้ำความพยายามมากเกินไปที่ผู้อื่นใส่ไว้แล้ว (เพื่อไม่ให้ประดิษฐ์ล้อใหม่เมื่อ มีแพ็คเกจให้ใช้งานแล้ว) (อีกสิ่งหนึ่งที่ฉันต้องการหลีกเลี่ยงคือการเขียนโค้ดด้วยมืออย่างงี่เง่าเมื่อมีการสร้างโครงสร้างข้อมูลที่เหมาะสมกับวัตถุประสงค์) ฉันมีประสบการณ์การเขียนโค้ดบ้าง แต่ฉันไม่มี Python (ดังนั้นฉันไม่รังเกียจหากมีแหล่งข้อมูลที่ดีสำหรับการเรียนรู้ภาษาอื่น [พูดเช่น Octave]) หนังสือเอกสารทั้งสองจะมีประโยชน์เช่นเดียวกับคอลเลกชันของรหัสตัวอย่าง

20 python  finite-difference  reference-request  hyperbolic-pde 

มันอาจเป็นคำถามระดับนักเรียน แต่ฉันไม่สามารถพูดให้ตรงกับตัวเองได้ ทำไมการใช้กริดที่ไม่สม่ำเสมอในการคำนวณตัวเลขจึงมีความแม่นยำมากกว่า ฉันคิดในบริบทของบางวิธีการ จำกัด แตกต่างกันสำหรับการแหกตาของรูปแบบที่t) และถือว่าฉันสนใจในการแก้ปัญหาที่จุดที่AST} ดังนั้นผมจะเห็นว่าถ้าผมใกล้เคียงกับอนุพันธ์ที่สองเช่นบนตารางเครื่องแบบใช้สามประมาณจุดข้อผิดพลาดเป็นลำดับที่สอง2) จากนั้นฉันก็สามารถสร้างกริดที่ไม่สม่ำเสมอผ่านการแมปและหาค่าสัมประสิทธิ์สำหรับจุดสามจุดที่ใช้ในการประมาณอนุพันธ์ ฉันสามารถขยายเทย์เลอร์และได้รับขอบเขตสำหรับอนุพันธ์เป็นอันดับสองโดยที่x ∗ O ( h 2 ) O ( h 2 ) hยูเสื้อ( x , t ) = ux x( x , t )ยูเสื้อ(x,เสื้อ)=ยูxx(x,เสื้อ)u_t(x,t)=u_{xx}(x,t)x* * * *x* * * *x^{\ast}O ( h2)O(ชั่วโมง2)O(h^2)O ( h2)O(ชั่วโมง2)O(h^2)ชั่วโมงชั่วโมงhคือระยะทางบนกริดสม่ำเสมอที่ฉันได้รับการแม็พกับกริดที่ไม่สม่ำเสมอ การประมาณทั้งสองประกอบด้วยอนุพันธ์และมันไม่ชัดเจนสำหรับฉันว่าทำไมการแก้ปัญหาจะแม่นยำมากขึ้นในกริดที่ไม่สม่ำเสมอเนื่องจากมันขึ้นอยู่กับขนาดของอนุพันธ์ที่เกี่ยวข้องในการประมาณความคลาดเคลื่อน?

16 pde  finite-difference 

ฉันสนใจที่จะแก้สมการปัวซองโดยใช้วิธีผลต่างอันตะ ฉันต้องการเข้าใจวิธีการเขียนสมการเมทริกซ์กับเงื่อนไขขอบเขตของนอยมันน์มากขึ้น บางคนจะตรวจสอบสิ่งต่อไปนี้ถูกต้องไหม เมทริกซ์ จำกัด ผลต่าง สมการปัวซอง ∂2u(x)∂x2=d(x)∂2u(x)∂x2=d(x) \frac{\partial^2u(x)}{\partial x^2} = d(x) สามารถประมาณได้ด้วยสมการเมทริกซ์ จำกัด ผลต่าง 1(Δx)2M∙u^=d^1(Δx)2M∙u^=d^ \frac{1}{(\Delta x)^2} \textbf{M}\bullet \hat u = \hat d โดยที่คือ matrix และและคือ (คอลัมน์) เวกเตอร์MM\textbf{M}n×nn×nn \times nu^u^\hat ud^d^\hat d1×n1×n1 \times n การเพิ่มเงื่อนไขขอบเขตของนอยมันน์ เงื่อนไขขอบเขตของฟอนนอยมันน์บังคับให้ฟลักซ์ความรู้ที่ขอบเขต (นี่เราใช้มันที่ด้านซ้ายมือที่ขอบเขตอยู่ที่ )x=0x=0x=0 ∂u(x=0)∂x=σ∂u(x=0)∂x=σ \frac{\partial u(x=0)}{\partial x} = \sigma เขียนเงื่อนไขขอบเขตนี้เป็นผลต่าง จำกัด แน่นอน, NB ฉันทำผิดพลาดที่นี่ …

15 finite-difference  boundary-conditions  poisson  banded-matrix 

มีรูปแบบ FD มากมายสำหรับสมการการพาความร้อนอภิปรายในเว็บ ตัวอย่างเช่นที่นี่: http://farside.ph.utexas.edu/teaching/329/lectures/node89.html∂T∂t+u∂T∂x=0∂T∂t+u∂T∂x=0\frac{\partial T}{\partial t}+u\frac{\partial T}{\partial x}=0 แต่ฉันไม่เคยเห็นใครเสนอรูปแบบลม "โดยนัย" เช่นนี้: 0Tn+1i−Tniτ+uTn+1i−Tn+1i−1hx=0Tin+1−Tinτ+uTin+1−Ti−1n+1hx=0\frac{T^{n+1}_i-T^{n}_i}{\tau}+u\frac{T^{n+1}_i-T^{n+1}_{i-1}}{h_x}=0 แผนการล่องทั้งหมดที่ฉันเคยเห็นมีการจัดการกับข้อมูลในขั้นตอนเวลาก่อนหน้าในอนุพันธ์อวกาศ อะไรคือเหตุผลสำหรับสิ่งนั้น? รูปแบบ upwind แบบคลาสสิคมีวิธีเปรียบเทียบกับแบบที่ฉันเขียนด้านบนอย่างไร

15 finite-difference  implicit-methods  advection 

ฉันกำลังพยายามแก้สมการปัวซอง 2D ด้วยความแตกต่างอัน จำกัด ในกระบวนการฉันได้รับเมทริกซ์กระจัดกระจายที่มีเพียงตัวแปรในแต่ละสมการ ตัวอย่างเช่นถ้าตัวแปรเป็นUดังนั้นการแยกย่อยจะทำให้:555UยูU Ui−1,j+Ui+1,j−4Ui,j+Ui,j−1+Ui,j+1=fi,jUi−1,j+Ui+1,j−4Ui,j+Ui,j−1+Ui,j+1=fi,jU_{i-1,j} + U_{i+1,j} -4U_{i,j} + U_{i,j-1} + U_{i,j+1} = f_{i,j} ฉันรู้ว่าฉันสามารถแก้ปัญหาระบบนี้ได้โดยวิธีการวนซ้ำ แต่ความคิดนั้นเกิดขึ้นกับฉันว่าถ้าฉันสั่งตัวแปรอย่างเหมาะสมฉันอาจสามารถได้รับเมทริกซ์แถบสีซึ่งสามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีโดยตรง (เช่นการกำจัดแบบเกาส์ w / o pivoting) เป็นไปได้ไหม มีกลยุทธ์ใดบ้างสำหรับการทำเช่นนี้กับคนอื่น ๆ ระบบที่กระจายน้อยลงหรือไม่?

15 linear-algebra  pde  finite-difference  sparse-matrix  banded-matrix 

ฉันพยายามค้นหาแหล่งข้อมูลเพื่อช่วยอธิบายวิธีการเลือกเงื่อนไขขอบเขตเมื่อใช้วิธีการผลต่าง จำกัด เพื่อแก้ PDE หนังสือและบันทึกที่ฉันมีอยู่ในปัจจุบันสามารถเข้าถึงทุกคนพูดในสิ่งที่คล้ายกัน: กฎทั่วไปที่ควบคุมเสถียรภาพในการปรากฏตัวของเขตแดนนั้นซับซ้อนเกินไปสำหรับข้อความเกริ่นนำ; พวกเขาต้องการเครื่องจักรทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อน (A. Iserles เป็นสนามแรกในการวิเคราะห์เชิงตัวเลขของสมการเชิงอนุพันธ์) ตัวอย่างเช่นเมื่อพยายามใช้วิธี leapfrog 2 ขั้นตอนสำหรับสมการการพา: un+1i=un−1i+μ(uni+1−uni−1)uin+1=uin−1+μ(ui+1n−ui−1n)u_i^{n+1} = u_i^{n-1} + \mu (u_{i+1}^n - u_{i-1}^n) ใช้ MATLAB M = 100; N = 100; mu = 0.5; c = [mu 0 -mu]; f = @(x)(exp(-100*(x-0.5).^2)); u = zeros (M, N); x = 1/(M+1) * …

14 pde  finite-difference  boundary-conditions  advection 

เท่าที่ฉันพยายามค้นหาคำอธิบายสั้น ๆ บนอินเทอร์เน็ตฉันไม่สามารถเข้าใจแนวคิดของความแตกต่างที่แน่นอนของการเลียนแบบหรือว่ามันเกี่ยวข้องกับความแตกต่างแน่นอน จำกัด มาตรฐาน มันจะมีประโยชน์จริง ๆ ที่จะเห็นตัวอย่างง่ายๆของวิธีการนำไปใช้สำหรับ PDE เชิงเส้นแบบคลาสสิก (การไฮเพอร์โบลิกรูปไข่และพาราโบลา)

14 pde  finite-difference 

ฉันมีปัญหาเมื่อฉันต้องการใช้การประมาณค่าศูนย์สั่งต่างสูง: (−ui+2,j+16ui+1,j−30ui,j+16ui−1,j−ui−2,j12)(−ui+2,j+16ui+1,j−30ui,j+16ui−1,j−ui−2,j12)\left(\frac{-u_{i+2,j}+16u_{i+1,j}-30u_{i,j}+16u_{i-1,j}-u_{i-2,j}}{12}\right) สำหรับสมการปัวซอง ในโดเมนสแควร์ที่เงื่อนไขขอบเขตคือ:(uxx+uyy=0)(uxx+uyy=0)(u_{xx}+u_{yy}=0) Δ x = Δ y = 0.1u(0,y)=u(x,0)=u(x,1)=0,u(1,y)=sinπyu(0,y)=u(x,0)=u(x,1)=0,u(1,y)=sin⁡πyu(0,y)=u(x,0)=u(x,1)=0,u(1,y)=\sin \pi y Δx=Δy=0.1Δx=Δy=0.1\Delta{x}=\Delta{y}=0.1 เมื่อฉันต้องการได้รับค่าของจุดภายในของโดเมนการพิจารณาประมาณนี้บางจุดขึ้นอยู่กับจุดนอกของขอบเขต ตัวอย่างเช่นจำเป็นต้องมีค่าของu i - 2 , j = u - 1 , 0จุดซึ่งอยู่นอกขอบเขต ใครก็ได้โปรดช่วยฉันในกรณีนี้ u1,1u1,1u_{1,1}ui−2,j=u−1,0ui−2,j=u−1,0u_{i-2,j}=u_{-1,0}

14 pde  finite-difference 

ฉันพยายามเรียนรู้เกี่ยวกับการแก้ปัญหา PDE ด้วยตัวเอง ฉันเริ่มต้นด้วยวิธีไฟไนต์ดิฟเฟอเรนเชียล (FDM) มาระยะหนึ่งแล้วเพราะฉันได้ยินมาว่า FDM เป็นพื้นฐานของวิธีการเชิงตัวเลขมากมายสำหรับ PDE จนถึงตอนนี้ฉันมีความเข้าใจพื้นฐานเกี่ยวกับ FDM และสามารถเขียนรหัสสำหรับ PDE ง่าย ๆ บางอย่างวางในพื้นที่ปกติด้วยวัสดุที่ฉันพบในห้องสมุดและอินเทอร์เน็ต แต่สิ่งที่แปลกคือวัสดุที่ฉันมักจะพูดถึงเพียงเล็กน้อย เกี่ยวกับการรักษาความผิดปกติของโค้งเขตแดนที่แปลกประหลาดเช่นนี้ ยิ่งกว่านั้นฉันไม่เคยเห็นวิธีง่าย ๆ ในการจัดการกับขอบเขตโค้ง ตัวอย่างเช่นหนังสือโซลูชันเชิงตัวเลขของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย - การแนะนำ (Morton K. , Mayers D)ซึ่งมีการสนทนาที่ละเอียดที่สุด (ส่วนใหญ่ใน3.4จาก p71 และ6.4จาก p199) ที่ฉันเคยเห็นจนถึงตอนนี้ได้หันไป การคาดการณ์ที่ยุ่งยากและน่าผิดหวังสำหรับฉันจริงๆ ดังนั้นตามชื่อที่ถามเกี่ยวกับขอบเขตโค้งโดยทั่วไปผู้คนจะจัดการกับมันอย่างไรเมื่อใช้ FDM? กล่าวอีกนัยหนึ่งการรักษาที่ได้รับความนิยมมากที่สุดคืออะไร? หรือขึ้นอยู่กับประเภทของ PDE มีวิธีที่สง่างามและมีความแม่นยำสูงในการจัดการกับขอบเขตโค้งหรือไม่? หรือมันเป็นแค่ความเจ็บปวดที่หลีกเลี่ยงไม่ได้? ฉันอยากถามด้วยซ้ำจริง ๆ แล้วคนใช้ FDM สำหรับเขตแดนโค้งในปัจจุบัน? ถ้าไม่เป็นวิธีการทั่วไปของมันคืออะไร? ความช่วยเหลือใด ๆ …

13 pde  finite-difference  boundary-conditions 

ฉันสนใจที่จะใช้ตาข่ายแบบเคลื่อนไหวสำหรับปัญหาการแพร่กระจาย วิธีการเคลื่อนย้ายแบบ Adaptive Moving Meshเป็นตัวอย่างที่ดีของวิธีการนี้สำหรับสมการของเบอร์เกอร์ใน 1D โดยใช้ผลต่างอัน จำกัด ใครบ้างที่จะสามารถนำเสนอตัวอย่างที่ใช้งานได้เกี่ยวกับการแก้สมการการแพร่กระจายแบบ 1D โดยใช้ความแตกต่างอัน จำกัด กับตาข่ายที่กำลังเคลื่อนที่ ตัวอย่างเช่นในรูปแบบอนุรักษ์นิยมสมการคือ ยูเสื้อ= ( a ( x ) u + dยูx)xut=(a(x)u+dux)x u_t = (a(x)u + du_x)_x โดยที่คือความเร็ว (ฟังก์ชันของอวกาศ) เงื่อนไขเริ่มต้นสามารถระบุ (ตัวอย่าง) สปีชีส์การไหลย้ายจากซ้ายไปขวา (เช่นตามแนวท่อ) ที่ซึ่งเงื่อนไขเริ่มต้นมีการไล่ระดับสีที่คมชัดu ( 0 , x )a ( x )a(x)a(x)คุณ( 0 , x )u(0,x)u(0,x) ปัญหาการกระจายตัวของตาข่ายแบบเคลื่อนไหวควรจะแก้ไขได้อย่างไร (อาจเป็นไปได้กับอัลกอริทึมของ De …

13 finite-difference  adaptive-mesh-refinement  advection-diffusion 

ผมทำงานเกี่ยวกับการแก้คู่หนึ่งมิติporoelasticityสมการ (โมเดลของ Biot) ให้เป็น: ∂−(λ+2μ)∂2u∂x2+∂p∂x=0−(λ+2μ)∂2u∂x2+∂p∂x=0-(\lambda+ 2\mu) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial p}{\partial x} = 0 ∂∂เสื้อ[ γp + ∂ยู∂x] - κη[ ∂2พี∂x2] =q( x , t )∂∂t[γp+∂u∂x]−κη[∂2p∂x2]=q(x,t)\frac{\partial}{\partial t} \left[ \gamma p + \frac{\partial u}{\partial x}\right] -\frac{\kappa}{\eta}\left[\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}\right] =q(x,t) บนโดเมนและด้วยเงื่อนไขขอบเขต: Ω = ( 0 , 1 )Ω=(0,1)\Omega=(0,1) p = 0 …

13 pde  finite-difference  stability  numerical-analysis