การรวมเชิงตัวเลขในตัวแปรหลายตัว

ให้และเป็นฟังก์ชันในตัวแปรเหล่านี้ $\vec{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n) \in [0,1]^n$ $f(\vec{x}): [0,1]^n \to \mathbb{C}$

มีรูปแบบแบบเรียกซ้ำสำหรับอินทิกรัลแบบวนซ้ำนี้หรือไม่?

\int_{[0, 1]^{n}} \prod d x_{i} f (\vec{x})

$\int_{[0,1]^n} \prod dx_i \;f(\vec{x})$

ถ้าและฉันแบ่งออกเป็น 100 ส่วนเรามีคะแนนเพื่อเพิ่ม จะต้องมีวิธีที่ชาญฉลาด $n = 10$ $[0,1]$ $10^{20}$

ในความเป็นจริงฟังก์ชั่นที่ฉันต้องการรวมคือการวัด Haarของกลุ่มรวม

\int_{U (n)} f (A) d A = \frac{1}{n!} \int_{[0, 2 π]^{n}} \prod_{j < k} | e^{i θ_{j}} - e^{i θ_{k}} |^{2} \cdot f (θ_{1}, \dots, θ_{n}) \frac{d θ_{1}}{2 π} \dots \frac{d θ_{n}}{2 π}

$\int_{U(n)} f(A) \ dA = \frac{1}{n!} \int_{[0,2\pi]^n} \prod_{j<k} \big|e^{i \theta_j} - e^{i \theta_k}\big|^2 \cdot f(\theta_1, \ldots, \theta_n) \ \frac{d \theta_1}{2\pi} \ \cdots \ \frac{d \theta_n}{2\pi}$

numerical-analysis fourier-analysis

— john mangual
แหล่งที่มา

หากขนาดของคุณไม่ใหญ่เกินไปคุณอาจพิจารณาวิธีการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสแบบกระจัดกระจายสำหรับอินทิกรัลของคุณ

— เปาโล

@ พอลคุณสามารถอธิบายหัวข้อนี้เพิ่มเติมในคำตอบได้ไหม? ฉันอาจจะลงคะแนน

— john mangual

คำตอบ:

สำหรับการรวมกับตัวแปรหลายตัววิธีการมอนติคาร์โลมักจะเป็นแบบที่ดี ข้อผิดพลาดของมันลดลงเป็น $O (\sqrt{N})$ $O(\sqrt{N})$ $O(N^{\frac{1}{4}})$ $O (\sqrt{N})$

อย่างไรก็ตามเนื่องจากเป็นความน่าจะเป็นคุณจึงต้องรวมหลาย ๆ ครั้งโดยใช้จำนวนคะแนนที่กำหนดเพื่อค้นหาความเบี่ยงเบนมาตรฐานและการประเมินข้อผิดพลาดของคุณ

— Godric Seer
แหล่งที่มา

สำหรับการรวมการใช้ quasi-Monte-Carlo เช่นการใช้ลำดับ Sobel นั้นดีกว่าเล็กน้อย

— Lutz Lehmann

อ่าใช่ฉันระบุจุดกระจายแบบ Equi (สุ่มหลอก) แต่ก็ไม่ได้แยกความแตกต่างระหว่างสองอย่างชัดเจน

— Godric Seer

\frac{1}{n} \sum f (x_{i}) \approx \int_{[0, 1]^{n}} f d x

$\frac{1}{n} \sum f(x_i) \approx \int_{[0,1]^n} f \ dx$

ใช่ลำดับของ Sobol จะสร้างการกระจายของคะแนนที่ดี quasi-Monte-Carlo เป็นหนึ่งในวิธีที่ดีกว่าสำหรับปัญหาของคุณ

— Godric Seer

การสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสแบบกระจัดกระจายเป็นอีกทางเลือกหนึ่งในการรวมในมิติที่สูงขึ้น

การสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสอาศัยการประเมินผลรวมน้ำหนักของค่าฟังก์ชันที่จุด "ดีที่สุด" ที่ระบุ การสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสแบบดั้งเดิมใช้โครงสร้างกริดของผลิตภัณฑ์เทนเซอร์ในมิติที่สูงกว่าซึ่งหมายความว่าคุณจะต้องประเมินฟังก์ชันที่จำนวนจุดเพิ่มขึ้นแบบทวีคูณเมื่อขนาดเพิ่มขึ้น

เคล็ดลับในการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสแบบกระจัดกระจายคือคุณสามารถได้รับความถูกต้องของคำสั่งซื้อเดียวกัน จุดเบาบางคุณเลือกจบลงด้วยการที่ถูกต้องบูรณาการ monomials ถึงที่ต้องการศึกษาระดับปริญญาทั้งหมด การประหยัดการคำนวณ (เมื่อเทียบกับตารางผลิตภัณฑ์เทนเซอร์) เพิ่มขึ้นอย่างมีนัยสำคัญเมื่อขนาดเพิ่มขึ้น

อย่างไรก็ตามมีข้อเสียสำหรับวิธีนี้ที่คุณควรระวัง

วิธีนี้ใช้ไม่ได้ผลหากฟังก์ชั่นของคุณไม่ราบรื่น (หรือไม่เช่นนั้นจะประมาณฟังก์ชันพหุนามไม่ได้)
ในขณะที่ลำดับความแม่นยำของการกระจายกำลังสองของกริดกระจัดกระจายอาจเทียบเท่ากับกริดผลิตภัณฑ์เทนเซอร์ความแม่นยำสัมพัทธ์อาจแย่กว่านี้มาก นี่เป็นเพราะค่าคงที่ที่อยู่ด้านหน้าของความกระจ่างของคำสั่งของความแม่นยำอาจมีขนาดใหญ่มาก
กระจัดกระจายทำงานได้ดีสำหรับขนาดที่ค่อนข้างเล็ก แต่มีมิติหลังจากที่คุณอาจจะดีกว่าโดยใช้วิธีอื่น (เช่น monte carlo หรือตัวแปร)

สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกริดเบาบางผมขอแนะนำให้ Burkardt ของเบาบางกริดใน High ขนาด หากคุณสนใจในรหัสเพื่อสร้างกริดเบาบางคุณอาจต้องการที่จะต้องพิจารณาไฟล์ MATLAB เหล่านี้

— พอล
แหล่งที่มา