ฉันต้องการเรียกใช้การจำลองแบบง่าย ๆ ของการกระเจิงของ wavepackets จากศักยภาพแบบง่าย ๆ ในมิติเดียว

มีวิธีง่าย ๆ ในการแก้ตัวเลข TDSE ในมิติเดียวสำหรับอนุภาคเดี่ยวหรือไม่? ฉันรู้ว่าโดยทั่วไปแล้วการพยายามใช้วิธีการไร้เดียงสาเพื่อรวมสมการเชิงอนุพันธ์บางส่วนสามารถจบลงได้อย่างรวดเร็วเมื่อเกิดภัยพิบัติ ฉันกำลังมองหาอัลกอริทึมที่

• มีเสถียรภาพเชิงตัวเลข
• ง่ายต่อการใช้งานหรือมีการใช้งานการเข้าถึงไลบรารีโค้ดได้ง่าย
• วิ่งเร็วพอสมควรและหวังว่า
• ค่อนข้างง่ายที่จะเข้าใจ

ฉันอยากจะแนะนำวิธีการทางสเปกตรัมที่ค่อนข้างชัดเจนโดยเฉพาะอย่างยิ่งวิธีการที่น้อยกว่าการแก้สมการชโรดิงเงอร์ที่ไม่ขึ้นกับเวลาเช่นเคย อย่างไรก็ตามฉันสนใจวิธีหลอกหลอกที่ใช้ B-splines หรือ whatnot หากวิธีการนั้นมีศักยภาพที่ขึ้นกับเวลานั้นเป็นโบนัสแน่นอน

แน่นอนว่าวิธีการดังกล่าวจะมีข้อเสียอยู่เสมอดังนั้นฉันจึงอยากได้ยินเกี่ยวกับสิ่งเหล่านั้น มันไม่ทำงานเมื่อไหร่? ข้อผิดพลาดทั่วไปคืออะไร มันสามารถผลักไปทางไหนและมันจะไม่ทางไหน?

สม Schroedinger มีประสิทธิภาพปฏิกิริยาแพร่สม (ค่าคงที่ทั้งหมดคือ 1) เมื่อพูดถึงสมการเชิงอนุพันธ์บางส่วนมีสองวิธีในการแก้:

$$i\frac{\partial\psi}{\partial t}=-\nabla^2\psi+V\psi\tag{1}$$

1. วิธีการโดยปริยาย (adv: ขั้นตอนเวลามาก & เสถียรโดยไม่มีเงื่อนไขข้อเสีย: ต้องการตัวแก้เมทริกซ์ที่สามารถให้ข้อมูลที่ไม่ดี)
2. วิธีการที่ชัดเจน (adv: ง่ายต่อการใช้งาน, เสียเปรียบ: ต้องการเวลาประทับเล็กน้อยเพื่อความเสถียร)

สำหรับสมการพาราโบลา (เชิงเส้นในและลำดับที่ 2 ใน ) วิธีการทางอ้อมมักเป็นตัวเลือกที่ดีกว่า เหตุผลคือเงื่อนไขความมั่นคงสำหรับวิธีการที่ชัดเจนต้องใช้ซึ่งจะมีขนาดเล็กมาก คุณสามารถหลีกเลี่ยงปัญหานี้ได้โดยใช้วิธีการโดยปริยายซึ่งไม่มีข้อ จำกัด ดังกล่าวในขั้นตอนเวลา (แม้ว่าในทางปฏิบัติแล้วคุณจะไม่ทำให้มันใหญ่โตอย่างผิดปกติเพราะคุณสูญเสียบางส่วนของฟิสิกส์) สิ่งที่ฉันอธิบายต่อไปคือวิธีCrank-Nicolsonซึ่งเป็นลำดับที่สองทั่วไปที่ถูกต้อง (พื้นที่ & เวลา)x d t ∝ d x $t$$x$$dt\propto dx^2$

เริ่ม

เพื่อที่จะแก้ปัญหา PDE คุณต้องแยกมันออก (ทำให้ตัวแปรพอดีกับกริด) ตรงไปข้างหน้ามากที่สุดคือตารางคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม ในที่นี้แสดงถึงดัชนีเวลา (และเป็นซุปเปอร์สคริปต์เสมอ) และดัชนีดัชนีตำแหน่ง (เสมอตัวห้อย) โดยการใช้การขยายตัวของเทย์เลอร์สำหรับตัวแปรตามตำแหน่งสมการ (1) จะกลายเป็น เราได้สันนิษฐานไว้แล้วว่าj ฉันψ n + 1 j - ψ $n$$j$V=V(x)

$$i\frac{\psi^{n+1}_j-\psi_j}{dt} = -\frac12\left(\frac{\psi_{j+1}^{n+1}-2\psi_j^{n+1}+\psi_{j-1}^{n+1}}{dx^2}+\frac{\psi_{j+1}^{n}-2\psi_j^{n}+\psi_{j-1}^{n}}{dx^2}\right) \\ +\frac12\left(V_j\psi_j^{n+1} +V_j\psi_j^n\right)$$ $V=V(x)$. สิ่งที่เกิดขึ้นต่อไปคือการจัดกลุ่มของดัชนีเชิงพื้นที่และชั่วขณะ (คุณอาจต้องการตรวจสอบคณิตศาสตร์เป็นสองเท่า): สมการนี้มีรูปแบบ (0-00⋯+0-0⋯0+0-⋯⋮⋮⋮⋱⋮)(ψ n + 1 0 ψ n + 1 1 ⋮ψ n + 1 J - 1 )=(ψ n $$\frac12\frac{dt}{dx^2}\psi_{j+1}^{n+1}+\left(i-\frac{dt}{dx^2}-\frac12V_j\right)\psi_j^{n+1}+\frac12\frac{dt}{dx^2}\psi_{j-1}^{n+1}=\\ i\psi_j^n-\frac12\frac{dt}{dx^2}\left(\psi_{j+1}^n-2\psi_j^n+\psi_{j-1}^n\right)+\frac12V_j\psi_j^n\tag{2}$$ ฉันψ n + 1 $$\left(\begin{array}{ccccc}A_0 & A_- & 0 & 0 &\cdots\\ A_+ & A_0 & A_- & 0 &\cdots\\ 0 & A_+ & A_0 & A_- &\cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\psi_0^{n+1} \\ \psi_1^{n+1}\\ \vdots \\ \psi_{J-1}^{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\psi_0^{n} \\ \psi_1^{n}\\ \vdots \\ \psi_{J-1}^{n}\end{array}\right)$$ ซึ่งเรียกว่าเมทริกซ์สามเหลี่ยมและมีวิธีแก้ปัญหาที่รู้จัก (รวมถึงตัวอย่างการทำงานรวมถึง หนึ่งเขียนโดยฉัน!) รอยขีดข่วนวิธีการที่ชัดเจนออกมาด้านซ้ายทั้งหมด (หรือผมควรจะพูดบรรทัดบนสุด?) ของสมการ (2) ยกเว้นสำหรับระยะ$i\psi_j^{n+1}$

ประเด็น

ปัญหาที่ใหญ่ที่สุดที่ฉันได้พบกับวิธีการโดยนัยคือพวกเขาจะขึ้นอยู่กับเงื่อนไขขอบเขต หากคุณมีเงื่อนไขขอบเขตที่กำหนดไว้ / นำไปใช้ไม่ดีคุณสามารถรับการแกว่งลวงตาในเซลล์ของคุณซึ่งอาจนำไปสู่ผลลัพธ์ที่ไม่ดี (ดูโพสต์ SciComp ของฉันในหัวข้อที่คล้ายกัน) สิ่งนี้นำไปสู่การมีความถูกต้องอันดับที่หนึ่งในอวกาศมากกว่าอันดับ 2 ที่โครงการของคุณควรให้

วิธีการโดยนัยก็ยากที่จะเทียบเคียง แต่ฉันได้ใช้พวกเขาสำหรับสมการความร้อน 1D เท่านั้นและไม่ต้องการการสนับสนุนแบบขนานดังนั้นฉันจึงไม่สามารถตรวจสอบหรือปฏิเสธการอ้างสิทธิ์ได้

ฉันยังไม่แน่ใจว่าธรรมชาติที่ซับซ้อนของฟังก์ชันคลื่นจะส่งผลต่อการคำนวณอย่างไร งานที่ฉันทำใช้สมการไดนามิกของออยเลอร์และเป็นจริงโดยสิ้นเชิงกับขนาดที่ไม่เป็นลบ

ศักยภาพขึ้นอยู่กับเวลา

หากคุณมีศักยภาพการวิเคราะห์ตามเวลา (เช่น ) คุณก็แค่ใช้เวลาปัจจุบันสำหรับบน RHS ของ (2) และเวลาในอนาคตบน LHS ฉันไม่เชื่อว่านี่จะสร้างปัญหาใด ๆ แต่ฉันยังไม่ได้ทดสอบสิ่งนี้ดังนั้นฉันจึงไม่สามารถยืนยันหรือปฏิเสธด้านนี้ได้เช่นกันt V j t + d $V\propto \cos(\omega t)$$t$$V_j$$t+dt$

ทางเลือก

มีทางเลือกที่น่าสนใจสำหรับวิธี Crank-Nicolson เช่นกัน สิ่งแรกคือวิธีที่เรียกว่า "super-time-stepping" ในวิธีการที่ชัดเจนนี้คุณใช้ขั้นตอนเวลา ( ) และใช้รูตของชื่อพหุนาม Chebyshevเพื่อรับชุดขั้นตอนเวลาที่ปรับให้เหมาะสมซึ่งจะรวมกับเร็วกว่าการทำขั้นตอนอย่างมีประสิทธิภาพ คุณได้รับเพื่อที่แต่ละขั้นตอนคุณเป็น d T d T / N N Δ T = N 2 d T N N d $dt\propto dx^2$$dt$$dt/N$$N$$\Delta T=N^2dt$$N$$Ndt$ภายในเวลาที่กำหนด). (ฉันใช้วิธีนี้ในการวิจัยของฉันเพราะคุณมี "ฟลักซ์" ที่ชัดเจนจากเซลล์หนึ่งไปอีกเซลล์หนึ่งที่ใช้สำหรับการผสานข้อมูลจากโปรเซสเซอร์หนึ่งไปยังอีกโปรเซสเซอร์หนึ่งโดยใช้โครงร่าง Crank-Nicolson ที่ฉันไม่สามารถทำได้)

แก้ไข สิ่งหนึ่งที่ควรทราบคือวิธีการนี้เป็นคำสั่งแรกที่ถูกต้องตรงเวลา แต่ถ้าคุณใช้วิธี Runge-Kutta 2 ร่วมกันมันจะให้แบบแผนที่ถูกต้องลำดับที่สองในเวลา

อื่น ๆ เรียกว่าสลับทิศทางอย่างชัดเจน วิธีการนี้กำหนดให้คุณต้องมีเงื่อนไขขอบเขตที่เป็นที่รู้จักและกำหนดไว้อย่างดี จากนั้นจะดำเนินการแก้สมการโดยใช้ขอบเขตโดยตรงในการคำนวณ (ไม่จำเป็นต้องใช้หลังจากแต่ละขั้นตอน) สิ่งที่เกิดขึ้นในวิธีนี้คือคุณแก้ปัญหา PDE สองครั้งครั้งเดียวในการกวาดขึ้นด้านบนและอีกครั้งในการกวาดลง การกวาดขึ้นใช้ ในขณะที่การกวาดลงใช้ สำหรับสมการการแพร่ในขณะที่คำอื่น ๆ จะยังคงเหมือนเดิม ขั้นตอนเวลา

$$\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}\approx\frac{\psi_{j-1}^{n+1}-\psi_j^{n+1}-\psi_j^n+\psi_{j+1}^n}{dx^2}$$ $$\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}\approx\frac{\psi_{j+1}^{n+1}-\psi_j^{n+1}-\psi_j^n+\psi_{j-1}^n}{dx^2}$$ $n+1$ แก้ไขได้โดยเฉลี่ยทั้งสองทิศทางเรตติ้ง

ในช่วงต้นยุค 90 เรากำลังมองหาวิธีการที่จะแก้ TDSE อย่างรวดเร็วพอที่จะทำภาพเคลื่อนไหวในเวลาจริงบนเครื่องพีซีและมาข้ามง่ายน่าแปลกใจที่มีความเสถียร, วิธีการที่ชัดเจนอธิบายโดย PB Visscher ในคอมพิวเตอร์ฟิสิกส์ : " อัลกอริทึมที่ชัดเจนอย่างรวดเร็ว สำหรับสมการชโรดิงเงอร์ที่ขึ้นอยู่กับเวลา " Visscher ตั้งข้อสังเกตว่าถ้าคุณแยกคลื่นความถี่ออกเป็นส่วนจริงและจินตภาพ SE จะกลายเป็นระบบ:$\psi=R+iI$

$$\begin{eqnarray}\frac{dR}{dt}&=&HI \\ \frac{dI}{dt}&=&-HR \\ H&=&-\frac{1}{2m}\nabla^2+V\end{eqnarray}$$

หากคุณคำนวณและในเวลาที่เซ (ที่และที่คุณจะได้รับการแยกแยะ:$R$$I$$R$$0,\Delta t,2\Delta t,...$$I$$0.5\Delta t, 1.5\Delta t,...)$

$$R(t+\frac{1}{2} \Delta t)=R(t-\frac{1}{2} \Delta t)+\Delta t HI(t)$$

$$I(t+\frac{1}{2} \Delta t)=I(t-\frac{1}{2} \Delta t)-\Delta t HR(t)$$

กับ (Laplacian สามจุดมาตรฐาน)

$$\nabla^2\psi(r,t)=\frac{\psi(r+\Delta r,t)-2\psi(r,t)+\psi(r-\Delta r,t)}{\Delta r^2}$$

นี้เป็นที่ชัดเจนอย่างรวดเร็วมากในการคำนวณและลำดับที่สองที่ถูกต้องในT$\Delta t$

การกำหนดความหนาแน่นของความน่าจะเป็น

$$P(x,t)=R^2(x,t)+I(x,t+\frac{1}{2} \Delta t)I(x,t-\frac{1}{2} \Delta t)$$ ที่ขั้นตอนจำนวนเต็มและ

$$P(x,t)=R(x,t+\frac{1}{2} \Delta t)R(x,t-\frac{1}{2} \Delta t)+I^2(x,t)$$ ที่ขั้นตอนครึ่งจำนวนเต็ม

ทำให้อัลกอริทึมเป็นหนึ่งเดียวกัน

ด้วยการเพิ่มประสิทธิภาพรหัสที่เพียงพอเราสามารถรับแอนิเมชั่นที่ดีมากซึ่งคำนวณแบบเรียลไทม์บนเครื่อง 80486 นักเรียนสามารถ "ดึง" ศักยภาพใด ๆ เลือกพลังงานทั้งหมดและดูวิวัฒนาการเวลาของแพ็กเก็ต Gaussian

คำตอบของ Kyle Kanos ดูเหมือนจะเต็มมาก แต่ฉันคิดว่าฉันจะเพิ่มประสบการณ์ของตัวเอง วิธีฟูเรียร์แบบแยกขั้นตอน (SSFM) นั้นง่ายมากในการวิ่งและเล่นกับ คุณสามารถสร้างต้นแบบมันขึ้นมาในไม่กี่บรรทัดของ Mathematica และมันก็เป็นตัวเลขที่เสถียรมาก มันเกี่ยวข้องกับการให้ผู้ประกอบการที่ไม่ซ้ำกันในชุดข้อมูลของคุณดังนั้นมันจึงสงวนความน่าจะเป็น / พลังงานโดยอัตโนมัติ (หลังถ้าคุณกำลังแก้สมการของ Maxwell ด้วยซึ่งเป็นที่ที่ประสบการณ์ของฉันอยู่) สำหรับสมการSchrödingerหนึ่งมิติ (เช่นและเปลี่ยนแปลงเท่านั้น) มันเร็วมากแม้ในขณะที่รหัส Mathematica และถ้าคุณต้องการเพิ่มความเร็วคุณต้องใช้รหัส FFT ที่ดีในภาษาเป้าหมายของคุณ (ประสบการณ์ของฉันคือ C ++)$x$$t$

สิ่งที่คุณกำลังทำอยู่คือวิธีการเผยแพร่แบบลำแสงแบบไม่เปิดเผยสำหรับการแพร่กระจายทางแสงผ่านท่อนำคลื่นของส่วนข้ามที่แตกต่างกัน

วิธีที่ฉันดู SSFM / BPM มีดังนี้ การต่อสายดินเป็นสูตรผลิตภัณฑ์ Trotter ของทฤษฎี Lie:

$$\tag{1}\lim\limits_{m\to\infty}\left(\exp\left(\mathcal{D}\,\frac{t}{m}\right)\,\exp\left(\mathcal{V}\,\frac{t}{m}\right)\right)^m = \exp((\mathcal{D+V}) t)$$

ซึ่งบางครั้งเรียกว่าสมการแยกตัวดำเนินการในบริบทนี้ ชุดข้อมูลของคุณเป็นหรือ discretised ตารางของค่าที่ซับซ้อนเป็นตัวแทนในเวลาที่กำหนดทีคุณลองนึกภาพนี้ (คุณไม่ต้องทำอย่างนี้ฉันยังคงพูดถึงแนวคิด) ที่เขียนตารางเป็นเวกเตอร์คอลัมน์องค์ประกอบ (สำหรับตารางเรามี ) จากนั้นสมการชโรดิงเงอร์ของคุณเป็นรูปแบบ:$x-y$$x-y-z$$\psi(x,y,z)$$t$$N$$\Psi$$1024\times1024$$N=1024^2=1\,048\,576$

$$\tag{2}\mathrm{d}_t \Psi = K\Psi = (\mathcal{D+V}(t)) \Psi$$

ที่คือเอียง - Hermitian เมทริกซ์เป็นองค์ประกอบของและจะถูกแมปด้วยเวลาที่เพิ่มขึ้นโดยองค์ประกอบของคนหนึ่ง กลุ่มพารามิเตอร์t) (ฉันดูดปัจจัยเข้าไปในบน RHS เพื่อให้ฉันสามารถพูดคุยในแง่ทฤษฎีโกหกได้ง่ายขึ้น) ด้วยขนาดของที่อยู่อาศัยตามธรรมชาติของผู้ปฏิบัติงานเป็นกลุ่มโกหกที่ใหญ่โตอย่างมากดังนั้น PHEW! ใช่ฉันยังคงพูดในแง่ทฤษฎีทั้งหมด! ตอนนี้$K = \mathcal{D+V}$$N\times N$$\mathfrak{u}(N)$$\Psi$$\exp(K\,t)$$i\hbar$$K = \mathcal{D+V}$$N$$\mathfrak{U}(N)$$\mathcal{D+V}$ดูเหมือน? ยังคงนึกภาพตอนนี้มันอาจจะคิดว่าเป็นรุ่นที่แตกต่างกัน จำกัด ของโดยที่มีความเป็นไปได้ "หมายถึง" ที่สะดวกสำหรับปัญหาที่อยู่ในมือ$i\,\hbar\,\nabla^2/(2\,m) - i\hbar^{-1}V_0 + i\hbar^{-1}(V_0-V(x,y,z,t_0))$$V_0$

เราให้:

$$\tag{3}\begin{array}{lcl}\mathcal{D} &=& i\frac{\hbar}{2\,m} \nabla^2 - i\hbar^{-1}V_0\\ \mathcal{V}&=&i\hbar^{-1}(V_0-V(x,y,z,t))\end{array}$$

ทำไมฉันถึงแยกมันออกเป็นแบบนี้จะชัดเจนขึ้น

จุดเกี่ยวกับก็คือมันสามารถทำงานได้วิเคราะห์สำหรับคลื่นระนาบ: มันเป็นตัวดำเนินการคูณแบบง่าย ๆ ในพิกัดโมเมนตัม ดังนั้นเพื่อหาไปนี้เป็นสามขั้นตอนแรกของรอบ SSFM / BPM:$\mathcal{D}$$\Psi\mapsto\exp(\Delta t\,\mathcal{D}) \Psi$

1. ส่ง FFT ไปยังชุดข้อมูลเพื่อแปลงเป็นชุดของน้ำหนักทับซ้อนของคลื่นระนาบ: ตอนนี้พิกัดพิกัดได้เปลี่ยนจากเป็น ;$\Psi$$\tilde{\Psi}$$x,\,y,\,z$$k_x,\,k_y,\,k_z$
2. บอก โดยการคูณแต่ละจุดบนตารางโดย ;$\tilde{\Psi}\mapsto\exp(\Delta t\,\mathcal{D}) \tilde{\Psi}$$\exp(i\,\Delta t (V_0-k_x^2+k_y^2+k_z^2)/\hbar)$

3. บอก FFT ผกผันเพื่อทำแผนที่กริดของเรากลับไปที่$\exp(\Delta t\,\mathcal{D}) \Psi$

   . ตอนนี้เรากลับมาอยู่ในโดเมนตำแหน่งแล้ว นี่เป็นโดเมนที่ดีกว่าในการบอกโอเปอเรเตอร์แน่นอน: ที่นี่เป็นตัวดำเนินการคูณอย่างง่าย ดังนั้นนี่คือขั้นตอนสุดท้ายของวัฏจักรอัลกอริทึมของคุณ:$\mathcal{V}$$\mathcal{V}$

4. บอกกล่าวโอเปอเรเตอร์เพียงแค่คูณแต่ละจุดบนกริดโดยปัจจัยเฟส$\Psi\mapsto\exp(\Delta t\,\mathcal{V}) \Psi$$\exp(i\,\Delta t\,(V_0-V(x,y,z,t))/\hbar)$

.... แล้วคุณจะเริ่มถัดไปของคุณละขั้นตอนและวนซ้ำ เห็นได้ชัดว่ามันง่ายมากที่จะใส่ค่าศักย์ที่แปรผันตามเวลาลงในโค้ด$\Delta t$$V(x,y,z,t)$

ดังนั้นคุณจะเห็นว่าคุณเลือกเล็กพอที่สูตร Trotter (1) เตะเข้า: คุณแค่ประมาณการกระทำของโอเปอเรเตอร์และคุณโบกไปมาพร้อมกับ FFT ของคุณระหว่างตำแหน่งและพิกัดโมเมนตัมเช่นโดเมนที่และเป็นตัวดำเนินการคูณอย่างง่าย$\Delta t$$\exp(\mathcal{D+V}\,\Delta t)\approx\exp(\mathcal{D}\,\Delta t)\,\exp(\mathcal{V}\,\Delta t)$$\mathcal{V}$$\mathcal{D}$

ขอให้สังเกตว่าคุณเป็นคนเดียวที่เปิดเผยแม้ในโลกที่แยกตัวออกมาผู้ประกอบการที่รวมกัน: FFT และปัจจัยเฟสบริสุทธิ์

จุดหนึ่งที่คุณต้องระวังคือเมื่อของคุณมีขนาดเล็กคุณต้องตรวจสอบให้แน่ใจว่าระยะห่างของตารางอวกาศลดลงเช่นกัน มิฉะนั้นสมมติว่าระยะห่างตารางอวกาศเป็นx จากนั้นความหมายทางกายภาพของขั้นตอนที่ไม่ต่อเนื่องคือผลกระทบการเลี้ยวเบนกำลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว ; เมื่อจำลองสมการของแมกซ์เวลล์และท่อนำคลื่นคุณจะต้องตรวจสอบให้แน่ใจว่าความเร็วนี้มีขนาดเล็กกว่าคฉัน daresay ชอบข้อ จำกัด ที่ใช้กับสมการชโรดิงเงอร์: ฉันไม่มีประสบการณ์ตรงที่นี่ แต่มันฟังดูสนุกและบางทีคุณอาจโพสต์ผลลัพธ์ของคุณได้บ้าง!Δ x Δ x / Δ t $\Delta t$$\Delta x$$\Delta x/\Delta t$$c$

จุดที่ "ประสบการณ์" ประการที่สองคือสิ่งนี้ฉันเกือบยินดีที่จะเดิมพันว่านี่เป็นวิธีที่คุณจะเลิกติดตามความคิดของคุณ เรามักจะมีความคิดที่เราต้องการทำแบบจำลองที่ง่ายและรวดเร็วและสกปรก แต่มันก็ไม่เคยได้ผลเลย! ฉันจะเริ่มต้นด้วย SSFM ตามที่อธิบายไว้ข้างต้นเพราะมันง่ายมากที่จะเริ่มต้นใช้งานและคุณจะเห็นได้อย่างรวดเร็วว่าผลลัพธ์นั้นมีอยู่จริงหรือไม่ ต่อมาเมื่อคุณสามารถใช้ของคุณบอกรหัส Mathematica SSFM ตรวจสอบผลของรหัสที่ซับซ้อนมากขึ้นคุณอาจท้ายการสร้างการพูด, รหัส Crank Nicolson ตามสายของคำตอบที่ไคล์ Kanos ของ

---

ข้อผิดพลาดขอบเขต

การรับรู้สูตร Dynkin ของทฤษฎีบทของ Baker-Campbell-Hausdorff:

$$\exp(\mathcal{D}\Delta t)\,\exp(\mathcal{V})\Delta t) = \exp\left((\mathcal{D}+\mathcal{V})\Delta t + \frac{1}{2} [\mathcal{D},\,\mathcal{V}]\,\Delta t^2 + \cdots\right)$$ บรรจบกันสำหรับแสดงให้เห็นว่าวิธีนี้มีความแม่นยำ ลำดับที่สองและสามารถแสดงให้เห็นว่า:$\Delta t>0$

$$\exp(\mathcal{D}\Delta t)\,\exp(\mathcal{V})\Delta t)\,\exp\left(-\frac{1}{2} [\mathcal{D},\,\mathcal{V}]\,\Delta t^2\right) = \exp\left((\mathcal{D}+\mathcal{V})\Delta t + \mathcal{O}(\Delta t^3)\right)$$

ในทางทฤษฎีคุณสามารถใช้คำว่าเพื่อประเมินข้อผิดพลาดและตั้งค่าของคุณตามลำดับ สิ่งนี้ไม่ใช่เรื่องง่ายอย่างที่มันดูและในทางปฏิบัติขอบเขตของการเป็นข้อผิดพลาดแทน ปัญหาคือ:$\exp(\mathcal{V})\Delta t)\,\exp\left(-\frac{1}{2} [\mathcal{D},\,\mathcal{V}]\,\Delta t^2\right)$$\Delta t$

$$\frac{\Delta t^2}{2}[\mathcal{D},\,\mathcal{V}] = -\frac{i\,\Delta t^2}{2\,m}\,\left(\partial_x^2 V(x,\,t) + 2 \partial_x V(x,\,t)\,\partial_x\right)$$

และไม่มีการแปลงให้เป็นพิกัด -เป็นตัวดำเนินการอย่างง่าย ดังนั้นคุณต้องมีเนื้อหาที่มีและใช้สิ่งนี้เพื่อประเมินข้อผิดพลาดของคุณโดยหาสำหรับคุณ กำลังพัฒนาโซลูชันและใช้สิ่งนี้เพื่อตั้งค่าของคุณ$[\mathcal{D},\,\mathcal{V}]$$\exp\left(-\frac{1}{2} [\mathcal{D},\,\mathcal{V}]\,\Delta t^2\right) \approx e^{-i\,\varphi\,\Delta t^2}\left(\mathrm{id} -\left(\frac{1}{2} [\mathcal{D},\,\mathcal{V}]\,-i\,\varphi(t)\right)\,\Delta t^2\right)$$\left(\mathrm{id} -\left(\frac{1}{2} [\mathcal{D},\,\mathcal{V}]\,-i\,\varphi(t)\right)\,\Delta t^2\right) \,\psi$$\psi(x,\,t)$$\Delta t$on-the-fly หลังจากแต่ละรอบของอัลกอริทึม แน่นอนคุณสามารถทำให้ความคิดเหล่านี้เป็นพื้นฐานสำหรับการควบคุม stepize แบบปรับตัวสำหรับการจำลองของคุณ ที่นี่เป็นระยะส่วนกลางที่ดึงออกมาจากชุดข้อมูลเพื่อลดบรรทัดฐานของ ; แน่นอนว่าคุณสามารถขว้างระยะออกจากโลกออกมาได้บ่อยครั้งขึ้นอยู่กับว่าคุณกำลังทำอะไรกับผลการจำลองสถานการณ์บ่อยครั้งที่เราไม่ได้ใส่ใจกับโลกคงที่ขวา)$\varphi$$\left(\frac{1}{2} [\mathcal{D},\,\mathcal{V}]\,-i\,\varphi(t)\right)\,\Delta t^2$$\exp\left(\int \varphi\,\mathrm{d}t\right)$

บทความที่เกี่ยวข้องเกี่ยวกับข้อผิดพลาดใน SSFM / BPM คือ:

Lars Thylén "คานการขยายพันธุ์วิธีการ: การวิเคราะห์การบังคับใช้" แสงและควอนตัมอิเล็กทรอนิคส์ 15 (1983) pp433-439

Lars Thylénคิดเกี่ยวกับข้อผิดพลาดในแง่ทฤษฎีที่ไม่โกหก (กลุ่ม Lie เป็นคนงอของฉันดังนั้นฉันชอบที่จะมองหาการตีความของพวกเขา) แต่ความคิดของเขาเป็นหลักเหมือนกับข้างต้น

ฉันสามารถแนะนำให้ใช้วิธีการ จำกัด เวลาผลต่างของโดเมน (FDTD) ฉันยังได้เขียนบทช่วยสอนที่ควรตอบคำถามส่วนใหญ่ของคุณ:

JR Nagel "การทบทวนและการประยุกต์ใช้อัลกอริธึม จำกัด โดเมนเวลาที่ต่างกันนำไปใช้กับสมการชโรดิงเงอร์" ACES Journal, Vol. 24, ฉบับที่ 1, กุมภาพันธ์ 2009

ฉันมีรหัส Matlab บางตัวที่ทำงานได้ดีกับระบบ 1D หากคุณมีประสบการณ์กับ FDTD ในการทำแม่เหล็กไฟฟ้าก็ใช้งานได้ดีสำหรับกลศาสตร์ควอนตัมเช่นกัน ฉันสามารถโพสต์รหัสของฉันหากคุณสนใจ

โดยพื้นฐานแล้วมันทำงานกับการแทรกซึมของคลื่นโดยตรงโดยการแยกอนุพันธ์ออกเป็นความแตกต่างแน่นอน มันคล้ายกับแผนการของ Crank-Nicholson แต่ไม่ใช่อย่างแน่นอน หากคุณคุ้นเคยกับ FDTD จากทฤษฎีคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า FDTD นั้นจะใช้งานง่ายมากเมื่อแก้สมการชโรดิงเงอร์

วิธีการผลต่างอัน จำกัด ตรงไปตรงมาที่สุดนั้นรวดเร็วและเข้าใจง่าย แต่ไม่รวมกันในเวลาดังนั้นความน่าจะเป็นจะไม่ถูกสงวนไว้ Crank-Nicholson-Crout เฉลี่ยวิธีการแตกต่างไปข้างหน้าและข้างหลังแน่นอนในการผลิตวิธีไฮบริดส่อโดยนัย / ชัดเจนที่ยังคงค่อนข้างง่ายต่อการเข้าใจและนำไปปฏิบัติ เว็บไซต์นี้จะอธิบายวิธีการที่ดีให้ pseudocode และให้คุณสมบัติที่เกี่ยวข้อง:

http://www.physics.utah.edu/~detar/phycs6730/handouts/crank_nicholson/crank_nicholson/ หมายเหตุ: มีเครื่องหมาย - หายไปจาก LHS ของสมการหนึ่งของลิงก์นี้ซึ่งแพร่กระจายไปทั่วหน้า

nonunitarity มาจากไหน

ในเปลือกถั่วการแก้ปัญหา TDSE นั้นเกิดขึ้นเพื่อหาวิธีจัดการกับมัน

$| \psi(x,t)\rangle = e^{-iHt}|\psi(x,0)\rangle$

ซึ่งมีตัวดำเนินการส่วนต่างในเลขชี้กำลัง

การใช้ความแตกต่างที่แน่นอนไปข้างหน้าเปลี่ยนผู้ดำเนินการส่วนต่างให้เป็นเมทริกซ์ tridiagonal (แปลงค่า Reals เป็นกริด) และเลขชี้กำลังเป็นสองเทอมแรกของเทย์เลอร์ซีรีส์

$e^{-iHt}\approx1-iHt$

discretization และ linearization นี้เป็นสิ่งที่ก่อให้เกิด nonunitarity (คุณสามารถแสดงให้เห็นว่าเมทริกซ์ tridiagonal ไม่ได้มีการรวมเข้าด้วยกันโดยการคำนวณโดยตรง) การรวมความแตกต่างแน่นอนที่มีการส่งต่อไปข้างหน้ากับความแตกต่างที่แน่นอนของการย้อนหลังสร้างการประมาณ

$e^{-iHt}\approx \frac {1-\frac{1}{2} iHt} {1+\frac{1}{2} iHt}$

ซึ่งกรุณารวมเป็นหนึ่ง (อีกครั้งคุณสามารถแสดงได้โดยการคำนวณโดยตรง)

คำตอบและความคิดเห็นที่นี่ทำให้ TDSE สับสนด้วยสมการคลื่น อาจเป็นปัญหาความหมายบางส่วน TDSE เป็นเวอร์ชั่นเชิงปริมาณของคลาสสิกแบบไม่สัมพันธ์ relativistic hamiltonianด้วยกฎ (ตามที่กล่าวไว้ในบทที่ 1 ของ Espagnat ศิลปวัตถุ, แนวคิดพื้นฐานของกลศาสตร์ควอนตัม, https://philpapers.org/rec/ESPCFO ) จึงอ่าน ดังนั้นจึงเห็นได้ชัดว่าเป็นสมการการแพร่ - หากใครใช้พลังงานเชิงสัมพัทธภาพซึ่งมีคำว่า Eแสดงว่าสมการที่คล้ายคลื่นเช่น

$$H=\frac{p^2}{2m} + V(x)= E.$$ $$p \rightarrow i\hbar\partial_x,\ \ E\rightarrow i\hbar\partial_t, \ \ x\rightarrow x,$$ $$\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\partial_{xx} + V(x)\right]\psi = i\hbar\partial_t\psi,$$ $^2$ $$\partial_{xx}\psi = \partial_{tt}\psi +\dots$$ จะได้รับ (สำหรับ V = 0 สำหรับความเรียบง่าย) เช่นสมการ Pauli หรือ Klein-Gordon แต่แน่นอนว่าเป็นเรื่องที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิง

ตอนนี้กลับไปที่ TDSE วิธีที่ชัดเจนคือ Crank-Nicolson ดังที่ได้กล่าวมาแล้วเพราะมันเป็นการขยายเวลาเล็ก ๆ ที่ช่วยรักษาความเป็นหน่วยของวิวัฒนาการ (FTCS เช่นไม่ใช่) สำหรับกรณีที่ 1-space-D สามารถถือว่าเป็นเมทริกซ์ซ้ำได้โดยอ่าน พร้อมเมทริกซ์เอกลักษณ์และ (รายละเอียดเช่นในวิธีเชิงตัวเลขสำหรับฟิสิกส์, http://algarcia.org/nummeth/nummeth.html , โดย AL Garcia) เห็นได้ชัดเจนที่สุดในเงื่อนไขขอบเขตเป็นระยะพื้นที่ที่มีการแปล

$$\vec{\psi}^{n+1}=({\cal I} + \frac{i\tau}{2\hbar}\tilde{H})^{-1} ({\cal I} - \frac{i\tau}{2\hbar}\tilde{H})\vec{\psi}^{n}$$ ${\cal I}$ $$H_{jk}=(\tilde{H})_{jk}=\frac{-\hbar^{2}}{2m}\left[\frac{\delta_{j+1,k}+\delta_{j-1,k}-2\delta_{jk}}{h^{2}}\right]+V_{j}\delta_{jk}.$$ $\psi$กระจายออกไปตามเวลา: สิ่งนี้คาดว่าเพราะการแปลเริ่มต้นที่ไม่ได้เป็น eigenstate ของสมการชโรดิงเงอร์นิ่ง แต่เป็นการทับซ้อน (อนุภาคขนาดใหญ่ฟรีคลาสสิก) eigenstate ด้วยโมเมนตัมคงที่ (สำหรับผู้ประกอบการจลน์ศาสตร์เชิงสัมพัทธภาพ) คือกล่าวคือมีการแจกแจงเต็มรูปแบบตามหลักการของไฮเซนเบิร์ก / L ทุกหนทุกแห่ง (โปรดทราบว่าฉันกำลังหลีกเลี่ยงปัญหาการทำให้เป็นมาตรฐานด้วยสถานะความต่อเนื่องโดยให้อนุภาคของฉันมีชีวิตอยู่บนเส้นที่ จำกัด ใช้ CN, norm $\psi$$\psi_s=e^{ikx}/\sqrt{L}$ $$\int |\psi|^2 dx$$ ได้รับการอนุรักษ์ขอบคุณหน่วย (นี่ไม่ใช่กรณีในรูปแบบอื่น ๆ เช่น FTCS เช่น) ขอให้สังเกตว่าเริ่มต้นจากการบีบอัดพลังงานเช่น ด้วยคงที่คุณจะได้ นั่นคือสมการ advection ที่ไม่มีการกระจาย (ถ้ารวมเข้ากับ Lax-Wendroff วิธีการ) และแพคเกจ Wavepacket ของคุณจะไม่กระจายในเวลานั้น อะนาล็อกควอนตัมคือสมการไดร์รัคอนุภาคไร้มวล $$cp=E$$ $c$ $$ic\hbar\partial_x=i\hbar\partial_t$$