ดีเทอร์มิแนนต์ตัวเล็กบอกนัยว่าการปรับเมทริกซ์ไม่ดีหรือไม่?

$\det(A) \approx 0$

การสนทนาเป็นจริงหรือไม่ เมทริกซ์ที่ไม่มีเงื่อนไขมีปัจจัยเกือบเป็นศูนย์หรือไม่?

นี่คือสิ่งที่ฉันลองใน Octave:

a = rand(4,4);
det(a) %0.008
cond(a)%125
a(:,4) = 1*a(:,1) + 2*a(:,2) = 0.000000001*ones(4,1);
det(a)%1.8E-11
cond(a)%3.46E10

มันเป็นความยิ่งใหญ่ของหมายเลขเงื่อนไข $\kappa(\mathbf A)$ที่วัดความใกล้เคียงกับความเป็นเอกเทศไม่ใช่ความอ่อนแอของปัจจัย

ตัวอย่างเช่นเมทริกซ์ทแยงมุม$10^{-50} \mathbf I$มีดีเทอร์มิแนนต์น้อย แต่มีสภาพดี

ด้านพลิกพิจารณาครอบครัวของตารางการฝึกอบรมรูปสามเหลี่ยมด้านบนเนื่องจากAlexander Ostrowski (และศึกษาโดย Jim Wilkinson):

ดีเทอร์มิแนนต์ของ matrixอยู่เสมอแต่อัตราส่วนของค่าที่ใหญ่ที่สุดต่อค่าเอกพจน์ที่น้อยที่สุด (เช่นหมายเลขเงื่อนไข 2 บรรทัดฐาน ) ถูกนำมาแสดงโดย Ostrowski จะเท่ากับซึ่งสามารถมองเห็นได้จะเพิ่มขึ้นเพื่อเพิ่มn$n\times n$$\mathbf U$$1$$\kappa_2(\mathbf U)=\dfrac{\sigma_1}{\sigma_n}$$\cot^2\dfrac{\pi}{4n}$$n$

ในฐานะที่เป็น , ดีเทอร์มิแนนต์สามารถทำให้มีขนาดใหญ่หรือเล็กตามอำเภอใจโดยการลดขนาดอย่างง่าย (ซึ่งไม่เปลี่ยนหมายเลขเงื่อนไข) โดยเฉพาะอย่างยิ่งในมิติที่สูงการปรับสัดส่วนด้วยปัจจัยที่ไร้เดียงสาของ 2 จะเปลี่ยนปัจจัยโดยมีจำนวนมาก$\det(kA)=k^n\det A$

ดังนั้นอย่าใช้ตัวกำหนดเพื่อประเมินสภาพหรือความใกล้เคียงกับภาวะเอกฐาน

ในทางกลับกันสำหรับเกือบทุกปัญหาเชิงตัวเลขที่มีสภาพดีนั้นมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับระยะทางถึงความเป็นเอกเทศ โดยเฉพาะสิ่งนี้ถือเป็นระบบเชิงเส้น