วิธีกำหนดเงื่อนไขขอบเขตในวิธีผลต่าง จำกัด

ฉันมีปัญหาเมื่อฉันต้องการใช้การประมาณค่าศูนย์สั่งต่างสูง:

(\frac{- u_{i + 2, j} + 16 u_{i + 1, j} - 30 u_{i, j} + 16 u_{i - 1, j} - u_{i - 2, j}}{12})

$\left(\frac{-u_{i+2,j}+16u_{i+1,j}-30u_{i,j}+16u_{i-1,j}-u_{i-2,j}}{12}\right)$

สำหรับสมการปัวซอง

ในโดเมนสแควร์ที่เงื่อนไขขอบเขตคือ:

(u_{x x} + u_{y y} = 0)

$(u_{xx}+u_{yy}=0)$

u (0, y) = u (x, 0) = u (x, 1) = 0, u (1, y) = \sin π y

$u(0,y)=u(x,0)=u(x,1)=0,u(1,y)=\sin \pi y$

Δ x = Δ y = 0.1

$\Delta{x}=\Delta{y}=0.1$

เมื่อฉันต้องการได้รับค่าของจุดภายในของโดเมนการพิจารณาประมาณนี้บางจุดขึ้นอยู่กับจุดนอกของขอบเขต ตัวอย่างเช่นจำเป็นต้องมีค่าของจุดซึ่งอยู่นอกขอบเขต ใครก็ได้โปรดช่วยฉันในกรณีนี้ $u_{1,1}$ $u_{i-2,j}=u_{-1,0}$

pde finite-difference

— liona
แหล่งที่มา

ฉันคิดว่าคุณกำลังใช้เงื่อนไขขอบเขต dirichlet ใช่ไหม?

— พอล

โปรดระบุเงื่อนไขขอบเขตที่คุณต้องการกำหนด

— David Ketcheson

บางทีกุญแจคือการใช้เงื่อนไขขอบเขตเพื่อให้ได้ข้อ จำกัด เกี่ยวกับค่าเหล่านั้น ฉันไม่สามารถขยายได้เนื่องจากฉันไม่เคยพยายามที่จะแก้ปัญหา PDE เชิงตัวเลข แต่ความคิดนี้ใช้ได้กับ ODE มีใครยืนยันเรื่องนี้ได้ไหม

— astrojuanlu

ด้วยวิธีการที่มีลำดับสูงจึงเป็นเรื่องยากที่จะรับประกันความเสถียรของวิธีนี้โดยการเติมเซลล์ผีด้วยวิธีนี้ ที่กล่าวว่าปัญหารูปไข่มักจะให้อภัยมากกว่าจากประสบการณ์ของฉันดังนั้นคุณอาจจะได้รับไปด้วย

— Jeremy Kozdon

Liona, คุณสามารถแก้ไขคำถามของคุณและเพิ่มเงื่อนไขขอบเขตได้ซึ่งดีกว่าการใส่ความคิดเห็น

— David Ketcheson

คำตอบ:

คุณอาจต้องการดูวิธีการผลต่าง จำกัด อันเนื่องมาจากส่วนประกอบ (SBP) Ken Mattsson ทำงานหลายอย่างกับวิธีการเหล่านี้ จุดเริ่มต้นที่ดีอยู่ที่นี่ (ค่าสัมประสิทธิ์คงที่) และที่นี่ (ค่าสัมประสิทธิ์ตัวแปร)

โดยทั่วไปวิธีการทำงานของวิธีการเหล่านี้คือวิธีมาตรฐานกลางในการตกแต่งภายในและการเปลี่ยนไปใช้ด้านหนึ่งใกล้กับขอบเขต ส่วนที่สำคัญของเทคโนโลยี SBP คือการเปลี่ยนไปใช้ด้านเดียวคือความเสถียรของวิธีการสำหรับปัญหาที่ขึ้นกับเวลาสามารถพิสูจน์ได้แม้ว่าจะรวมถึงเงื่อนไขขอบเขตแล้ว (สิ่งนี้เป็นไปได้เพราะตัวดำเนินการ "กำหนด" บรรทัดฐานซึ่งเลียนแบบการบูรณาการโดยส่วนต่าง ๆ )

คุณบอกว่าคุณกำลังดูที่สมการของปัวซองฉันไม่แน่ใจว่าเงื่อนไขขอบเขตนั้นรวมเข้ากับตัวดำเนินการ SBP และสมการรูปไข่ได้อย่างไร ฉันมีเพื่อนร่วมงานที่เคยเล่นกับสิ่งเหล่านี้สำหรับปัญหาเกี่ยวกับวงรีและดูเหมือนจะบ่งบอกว่ามันไม่สำคัญว่าคุณจะทำอะไร

— Jeremy Kozdon
แหล่งที่มา

มีลายฉลุอื่น ๆ ที่คุณสามารถใช้เพื่อให้ได้ความแม่นยำสูงตามลำดับใกล้กับจุดขอบเขต ลายฉลุปัจจุบันของคุณเป็นของแบบฟอร์ม:

$Au_{i+2,j} + Bu_{i+1,j} + Cu_{i,j}+Du_{i-1,j}+Eu_{i-2,j}$

แต่คุณสามารถใช้ลายฉลุที่แตกต่างกันใกล้กับขอบเขตเช่นนี้:

$Au_{i+3,j} + Bu_{i+2,j}+Cu_{i+1,j}+Du_{i,j} +Eu_{i-1,j}$

$u_{1,1}$

ในทำนองเดียวกันคุณสามารถประมาณค่าที่ขอบเขตตรงกันข้ามโดยสูตรที่คล้ายกัน

— พอล
แหล่งที่มา

u_{1, 1}

$u_{1,1}$

ฉันจะรับสัมประสิทธิ์ได้อย่างไร

— liona

เพื่อให้เข้าใจถึงวิธีการที่จะได้รับสูตรต่างอันตะอ้างอิงที่ดีคือบทที่ 1 ของหนังสือ Leveque ของ: faculty.washington.edu/rjl/fdmbook มันมีจำนวนซีรี่ส์เทย์เลอร์และพีชคณิตเล็กน้อย

— David Ketcheson

O (h^{2})

$O(h^2)$

O (h^{2})

$O(h^2)$

A U (x + h)

$AU(x+h)$

B U (x)

$BU(x)$

C U (x - h)

$CU(x-h)$

D U (x - 2 h)

$DU(x-2h)$

E U (x - 3 h)

$EU(x-3h)$

U_{x x}

$U_{xx}$

-4

โปรดดูเอกสาร fdm ของฉันซึ่งคุณสามารถหาได้ใน researchgate ภายใต้ชื่อของฉัน David Edwards jr หากคุณมีคำถามฉันยินดีที่จะช่วย

david

— david
แหล่งที่มา

เพียงแค่ให้คำแนะนำให้ผู้คนค้นหาที่อื่นไม่ใช่คำตอบที่มีประโยชน์ อย่างน้อยที่สุดคุณควรให้ข้อมูลสรุปของคำตอบที่นี่และให้ลิงก์ไปยังรายละเอียดเพิ่มเติม นอกจากนี้พวกเราหลายคนไม่เห็นด้วยกับวิธีการที่เรียกใช้ ResearchGate และหลีกเลี่ยงการโต้ตอบกับเว็บไซต์นั้นทำให้ไม่สามารถดูรายงานของคุณด้วยวิธีการที่แนะนำ

— Doug Lipinski

โปรดแก้ไขคำตอบของคุณเพื่อรวมบทสรุปของพื้นหลังที่คุณคิดว่าจำเป็นต่อการตอบคำถาม คำตอบนั้นค่อนข้างจะมีอยู่ในตัวเอง การอ้างอิงผู้อ่านเพื่อค้นหาบทความนั้นไม่ได้มีอยู่ในตัวเองและมีประโยชน์น้อยกว่าการสรุปเนื้อหา

— Geoff Oxberry