ปัญหา SVD ถ่วงน้ำหนักหรือไม่

$A$ $B$ $x$ $y$

min \sum_{i j} (A_{i j} - x_{i} y_{j} B_{i j})^{2} .

$\min \sum_{ij} (A_{ij} - x_i y_j B_{ij})^2.$

A - diag (x) \cdot B \cdot diag (y) = A - B \circ (x y^{⊤})

$A - \mbox{diag}(x) \cdot B \cdot \mbox{diag}(y) = A - B \circ (x y^\top)$

โดยทั่วไปฉันต้องการค้นหาเวกเตอร์หลายหน่วยและในรูปแบบ โดยที่มีค่าสัมประสิทธิ์แท้จริงเป็นบวก $x$ $y$

min \sum_{i j} (A_{i j} - \sum_{k = 1}^{n} s_{i} x_{i}^{(k)} y_{j}^{(k)} B_{i j})^{2} .

$\min \sum_{ij} (A_{ij} - \sum_{k=1}^n s_i x_i^{(k)} y_j^{(k)} B_{ij})^2.$

s_{i}

$s_i$

นี้จะเทียบเท่ากับการสลายตัวมูลค่าเอกพจน์ (SVD) เมื่อ $(B)_{ij} = 1$ 1

ใครบ้างรู้ว่าปัญหานี้เรียกว่าอะไร มีอัลกอริทึมที่รู้จักกันดีเช่น SVD สำหรับการแก้ปัญหาดังกล่าวหรือไม่?

(อพยพจาก math.SE)

linear-algebra matrix reference-request

— Memming
แหล่งที่มา

ผมเชื่อว่านี่คือทั่วไป SVD รายการ Wikipedia ไม่มีรายละเอียดมากนักดังนั้นคุณควรตรวจสอบแหล่งที่มาที่เชื่อมโยง โดยเฉพาะอย่างยิ่งหน้า 466 ของลิงก์ Google หนังสือนี้อาจเป็นประโยชน์

— ely

สำหรับฉันแล้วมันไม่เหมือน SVD ทั่วไป โดยเฉพาะอย่างยิ่งเนื่องจาก B ไม่จำเป็นต้องมีเส้นทแยงมุมหรือสมมาตรดังนั้นหรือแต่ละครั้งจึงสามารถปรากฏขึ้นได้หลายครั้งในผลรวม

x

$x$

y

$y$

— Victor Liu

B ไม่จำเป็นต้องเป็นเส้นทแยงมุมหรือสมมาตรใน SVD ทั่วไป ลิงก์ทั้งสองที่ฉันระบุระบุว่า A และ B สามารถเป็นเมทริกซ์ค่าเชิงซ้อนทั่วไปของมิติ M-by-N และ P-by-N ตามลำดับ

— ely

ขอบคุณสำหรับคำแนะนำ @EMS ฉันจะขอบคุณถ้าคุณสามารถอธิบายการเชื่อมต่อ

— จดจำ

สิ่งนี้อยู่ไกลจาก SVD ทั่วไป

ถ้า B เป็นเมทริกซ์เชิงบวกคุณสามารถใช้แพ็คเกจของฉัน BIRSVD http://www.mat.univie.ac.at/~neum/software/birsvd/

กระดาษhttp://www.mat.univie.ac.at/~neum/software/birsvd/svd_incomplete_data.pdf อธิบายวิธีการที่นั่นยังให้การอ้างอิงที่คุณอาจพิจารณาทำการค้นหาวรรณกรรม

— อาร์โนลด์ Neumaier
แหล่งที่มา

อ้าปัญหาเปลี่ยนเป็นการประมาณยศต่ำถ่วงน้ำหนัก! ขอบคุณมาก!

— จดจำ

ในการเพิ่มรายละเอียดให้กับคำตอบของ @ Arnold ปัญหานี้สามารถเปลี่ยนเป็นปัญหาการประมาณอันดับต่ำที่มีน้ำหนักโดยมีวัตถุประสงค์เพื่อลดบรรทัดฐานที่มีน้ำหนักน้อยแทนที่จะเป็นบรรทัดฐาน Frobenius โดยที่และแสดงถึงผลิตภัณฑ์ Schur (aka ผลิตภัณฑ์ Hadamard)

| | C - \sum s_{i} x_{i} y_{i}^{⊤} | |_{W}^{2}

$||C - \sum s_i \mathbf{x_i} \mathbf{y_i^\top}||^2_W$

| | C | |_{W} = | | C \circ W | |_{F}

$||C||_W = ||C \circ W||_F$

\circ

$\circ$

— จดจำ

ใช่. นี่เป็นชื่อที่ดีสำหรับปัญหาของคุณ วิธีการแก้ไขเป็นเรื่องที่แตกต่าง ไม่ใช่ปัญหามาตรฐานและค่อนข้างยุ่งยากในการค้นหาอัลกอริทึมที่รวดเร็วและเชื่อถือได้

— Arnold Neumaier

@ArnoldNeumaier นี้ดีมากขอบคุณ เป็นไปได้หรือไม่ที่จะได้รับใบอนุญาตและหนังสือแจ้งลิขสิทธิ์พร้อมรหัสของคุณ? ตามที่ตอนนี้มันเป็นซอฟต์แวร์ที่เป็นกรรมสิทธิ์ ถ้าคุณปล่อยมันภายใต้ GPLv3 หรือเข้ากันได้มันอาจหาทางไปสู่แพ็คเกจพีชคณิตเชิงเส้นของ GNU Octave

— JuanPi