การใช้งานที่ดีที่สุดของการแยก Strang (สำหรับสมการการกระจายปฏิกิริยา)

ฉันสังเกตอย่างประหลาดขณะคำนวณวิธีแก้ปัญหาไปยังสมการการแพร่กระจายปฏิกิริยา 1D แบบง่าย:

$\frac{\partial}{\partial t}a=\frac{\partial^2}{\partial x^2}a-ab$

$\frac{\partial}{\partial t}b=-ab$

$\frac{\partial}{\partial t}c = a$

ค่าเริ่มต้นของคือค่าคงที่ ( ) และฉันสนใจอินทิกรัลมากกว่าตั้งแต่ถึง ( ) วัตถุประสงค์ของและสมการเป็นเพียงการประเมินอินทิกรัลนี้ $b$ $b(0,x)=b_0$ $a$ $0$ $1$ $\int_0^1a(t,x)dt$ $c$ $\frac{\partial}{\partial t}c = a$

ฉันใช้รูปแบบการแยก Strang สำหรับการมีเพศสัมพันธ์ระหว่างการแพร่และปฏิกิริยา (ปฏิกิริยาครึ่งขั้นตอนจากนั้นเป็นการแพร่กระจายแบบเต็มขั้นตอนและจากนั้นอีกครึ่งปฏิกิริยาแบบขั้นตอน) แผน Crank Nicholson สำหรับการแพร่และโซลูชันการวิเคราะห์สำหรับปฏิกิริยา ( รวมถึงสมการ ) $\frac{\partial}{\partial t}c = a$

เนื่องจากหนึ่งขั้นตอนของโซลูชันการวิเคราะห์เป็นมากกว่า 3 ปัจจัยที่ช้ากว่าหนึ่งขั้นตอนของแผนการ Crank Nicholson ฉันจึงพยายามทำมากกว่าหนึ่งขั้นตอนของ Crank Nicholson สำหรับแต่ละขั้นตอนของปฏิกิริยา ฉันหวังว่าจะได้ผ่านขั้นตอนที่น้อยลงของแผนการแบ่ง Strang เพื่อที่ฉันจะได้เร็วขึ้นโดยรวม

อย่างไรก็ตามผลตรงกันข้ามสามารถสังเกตได้คือจำเป็นต้องใช้ขั้นตอนมากขึ้นสำหรับการแบ่ง Strang หากใช้ขั้นตอน Crank Nicholson มากกว่าหนึ่งขั้น (ฉันเกี่ยวข้องเฉพาะกับความถูกต้องของหนึ่งในช่วงซึ่งดูเหมือนว่าจะมาบรรจบกันได้เร็วกว่าตัวเอง.) หลังจากที่สงสัยว่าบางครั้งผมสังเกตเห็นว่าผลเช่นเดียวกันยังเกิดขึ้นสำหรับและฉันก็เข้าใจว่าทำไมในกรณีนี้ ประเด็นก็คือว่าถ้าฉันทำหนึ่งขั้นตอน Crank Nicholson แล้วรูปแบบโดยรวมจะเปลี่ยนเป็นกฎสี่เหลี่ยมคางหมู (ถ้า ) $a$ $a$ $b(t,x)=b_0=0$ $b(t)=0$

ดังนั้นถ้าฉันจะปฏิบัติต่อเป็นส่วนหนึ่งของขั้นตอนการแพร่การเพิ่มจำนวนของขั้นตอน Crank Nicholson (อาจ) จะไม่ทำให้ความแม่นยำโดยรวมลดลง (เท่าที่สังเกต) แต่ดูเหมือนว่าจะเอาชนะวัตถุประสงค์ของการใช้โซลูชันการวิเคราะห์สำหรับส่วนปฏิกิริยา (ไม่เชิงเส้นและแข็งมาก) ของระบบ $\frac{\partial}{\partial t}c = a$

ดังนั้นนี่คือคำถามของฉัน: มีวิธีที่ดีกว่าในการรักษาในบริบทของการแยก Strang มากกว่าที่จะถือว่าเป็นส่วนหนึ่งของขั้นตอนการเกิดปฏิกิริยาหรือ มันเป็นส่วนหนึ่งของขั้นตอนการแพร่กระจาย ฉันต้องการหลีกเลี่ยงการถูก "บังคับ" ให้ใช้ขั้นตอน Crank Nicholson เพียงจุดเดียวสำหรับการแพร่กระจาย (ตัวอย่างเช่นใน 3D ฉันต้องการแก้ไขการแพร่กระจายโดย FFT แทนที่จะใช้ Crank Nicholson แน่นอนว่าฉันสามารถรวม FFT กับ Crank Nicholson ได้ด้วยดังนั้นจึงไม่ใช่เรื่องใหญ่อะไร) $\frac{\partial}{\partial t}c = a$

parabolic-pde operator-splitting

— โทมัสคลิมเพล
แหล่งที่มา

ในpeople.maths.ox.ac.uk/dellar/OperatorLB.htmlดูเหมือนว่าจะอธิบายถึงลักษณะพิเศษที่คล้ายกัน บทสรุปคือมันสำคัญมากที่จะต้องใช้ Crank Nicholson แทนที่จะใช้วิธีแก้ปัญหาที่แน่นอน ดังนั้นบางทีคำตอบสำหรับคำถามของฉันอาจไม่ง่าย

— โทมัสคลิมเพล

มีบางอย่างผิดปกติกับสมการของคุณ ไม่ปรากฏในสองคนแรกที่ทำให้การคัปปลิ้งทางเดียวและความหมายที่คุณสามารถคำนวณที่ใด ๆเป็นขั้นตอนหลังการประมวลผล

c

$c$

c

$c$

t

$t$

— Bill Barth

@BillBarth ผมเปลี่ยนคำถามเพื่อชี้แจงบทบาทของคดังนั้นเป็นเพียงวิธีการคำนวณ\โปรดแจ้งให้เราทราบหากคุณมีข้อเสนอแนะใด ๆ ในการคำนวณอินทิกรัลนี้แม่นยำมากขึ้น (มากกว่าที่ฉันได้รับจากการรวมกันของ Strang splitting และ Crank Nicholson ตามที่อธิบายไว้ข้างต้น) อาจใช้ขั้นตอนหลังการประมวลผล

c

$c$

c

$c$

\int_{0}^{1} a (t, x) d t

$\int_0^1a(t,x)dt$

— Thomas Klimpel

นี่เป็นเวลานานแล้ว แต่คุณรู้หรือไม่ว่าระบบสมการนี้สามารถเขียนเป็นพาราโบลา PDE ในโดยมีเทอมปฏิกิริยาชี้แจง ฉันเดาว่าถ้าคุณต้องการแก้ปัญหาระบบ 3 ตัวแปรนี้แทนระบบที่ง่ายกว่านี้

c

$c$

— Bill Barth

@BillBarth ฉันสนใจที่จะเรียนรู้ว่าระบบนี้สามารถเขียนเป็น PDE แบบพาราโบลาพร้อมกับคำตอบแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลได้อย่างไร ความเร็วของการแก้ปัญหาของรุ่นนี้เป็นปัจจัย จำกัด ในระหว่างการสอบเทียบโมเดล (ซึ่งอาจใช้เวลาหลายชั่วโมง) ดังนั้นความแม่นยำที่ใช้กับการรวมเวลานั้นค่อนข้างไกลจากการบรรจบกันอย่างสมบูรณ์

— โทมัสคลิมเพล

ฉันจะเขียนคำตอบนี้เป็นคำตอบแม้ว่าจะไม่ได้ตอบคำถามโดยตรง

เสียบสมการที่สองและสมการที่สามเข้ากับที่หนึ่งและเสียบที่สามเข้ากับที่สองพร้อมกันให้: จัดเรียงใหม่ทั้งสองให้: ตอนนี้เราสามารถรวมทั้งสองสิ่งนี้เข้าด้วยกันในทิ้งไว้ สมการแรก:

\begin{aligned} \frac{\partial^{2} c}{\partial t^{2}} & = \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \frac{\partial c}{\partial t} + \frac{\partial b}{\partial t} \\ \frac{\partial b}{\partial t} & = - (\frac{\partial c}{\partial t}) b \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial^2 c}{\partial t^2} &= \frac{\partial^2}{\partial x^2}\frac{\partial c}{\partial t} + \frac{\partial b}{\partial t} \\ \frac{\partial b}{\partial t} &= - \left(\frac{\partial c}{\partial t}\right) b \end{align}$

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial t} (\frac{\partial c}{\partial t} - \frac{\partial^{2} c}{\partial x^{2}} - b) & = 0 \\ \frac{1}{b} (\frac{\partial b}{\partial t}) & = - \frac{\partial c}{\partial t} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial c}{\partial t} - \frac{\partial^2 c}{\partial x^2} - b \right) &= 0 \\ \frac{1}{b}\left(\frac{\partial b}{\partial t}\right) &= -\frac{\partial c}{\partial t} \end{align}$

t

$t$

\frac{\partial c}{\partial t} - \frac{\partial^{2} c}{\partial x^{2}} = b + A (x)

$\frac{\partial c}{\partial t} - \frac{\partial^2 c}{\partial x^2} = b + A(x)$ การใช้สมการที่สามเราสามารถแสดง "คงที่" ของการรวม เป็นx สมการที่สองค่อนข้างยุ่งยากกว่าเล็กน้อย เขียนใหม่เรามี: สิ่งนี้นำไปสู่การแก้ปัญหา หรือ Exponentiating ให้: และในที่สุดก็เสียบนี่เข้าไปใน PDE สำหรับจะช่วยให้

A (x) = a_{0} - \frac{\partial^{2} c_{0}}{\partial x^{2}} - b_{0}

$A(x)=a_0-\frac{\partial^2 c_0}{\partial x^2}-b_0$

\int_{0}^{t} \frac{1}{b (x, t^{'})} (\frac{\partial b (x, t^{'})}{\partial t^{'}}) d t^{'} = - \int_{0}^{t} \frac{\partial c (x, t^{'})}{\partial t^{'}} d t^{'}

$\int_0^t \frac{1}{b(x,t')}\left(\frac{\partial b(x,t')}{\partial t'}\right) dt' = -\int_0^t \frac{\partial c(x,t')}{\partial t'} dt'$

\ln b (x, t) - \ln b_{0} (x) = - c (x) + c_{0} (x)

$\ln b(x,t) - \ln b_0(x) = - c(x) + c_0(x)$

\ln \frac{b}{b_{0}} = - c + c_{0}

$\ln \frac{b}{b_0} = -c + c_0$

b = b_{0} e^{c_{0} - c}

$b = b_0 e^{c_0-c}$

c

$c$

\frac{\partial c}{\partial t} - \frac{\partial^{2} c}{\partial x^{2}} = b_{0} e^{c_{0} - c} + A (x)

$\frac{\partial c}{\partial t} - \frac{\partial^2 c}{\partial x^2} = b_0 e^{c_0-c}+A(x)$

การแทนที่โดยหรือเทียบเท่าโดยใช้เงื่อนไขเริ่มต้นสมการนี้จะลดความซับซ้อนของ ทีนี้คุณควรจะสามารถค้นหาวรรณกรรมจำนวนมากเกี่ยวกับวิธีที่ดีที่สุดในการแก้สมการนี้ ฉันไม่รู้ว่า Crank-Nicholson เป็นตัวเลือกที่ดีสำหรับคำที่อธิบายหรือไม่ แต่มันก็น่าเชื่อถือ ควรใช้ความระมัดระวังเพื่อรับประกันว่าทุกหนทุกแห่งหรือทางออกอาจระเบิดอย่างรวดเร็ว $c$ $c-c_0$ $c_0(x)=0$

\frac{\partial c}{\partial t} = \frac{\partial^{2} c}{\partial x^{2}} + a_{0} - (1 - e^{- c}) b_{0}

$\frac{\partial c}{\partial t} = \frac{\partial^2 c}{\partial x^2} + a_0 - (1-e^{-c}) b_0$

c > c_{0}

$c > c_0$

ฉันแค่เดินผ่านจุดกำเนิดนี้สองครั้งดังนั้นอาจมีข้อผิดพลาดหรือสองครั้งในนั้น แต่มันมีความรู้สึกที่ถูกต้องสำหรับฉัน ถ้าทุกหนทุกแห่งนี่เป็นคำตอบที่ถูกต้องชัดเจนและมันมีความน่าเชื่อถือเป็นอย่างอื่น $b_0 = 0$

การแก้ปัญหานี้จนกระทั่งและการประเมินควรให้คำตอบที่คุณต้องการ $t=1$ $c(x,1)$

— บิลบาร์ ธ
แหล่งที่มา

ขอบคุณมากสำหรับคำตอบนี้ ฉันพบว่ามันค่อนข้างสว่างอย่างน้อยก็ทำให้ฉันเข้าใจ / คาดการณ์พฤติกรรมของโซลูชันได้ง่ายขึ้น ข้อดีอีกอย่างคือวิวัฒนาการเวลาของช้ากว่าวิวัฒนาการเวลาของดังนั้นฉันค่อนข้างมองในแง่ดีว่าการลู่เข้าจะดีกว่าเมื่อก่อน

c

$c$

a

$a$

— Thomas Klimpel

ไม่มีปัญหา. ฉันจู้จี้กับฉันหลังจากการแลกเปลี่ยนความคิดเห็นครั้งแรกของเรา ฉันหวังว่ามันจะเป็นประโยชน์

— Bill Barth