ผลต่างที่แน่นอนที่ดีสำหรับสมการความต่อเนื่อง

สิ่งที่จะเป็น discretization แตกต่างแน่นอน จำกัด สำหรับสมการต่อไปนี้:

?$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \left(\rho u\right)=0$

เราสามารถใช้กรณี 1D:

$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{d}{dx}\left(\rho u\right)=0$

ด้วยเหตุผลบางอย่างแผนการทั้งหมดที่ฉันสามารถหาได้คือการกำหนดในพิกัดลากรองจ์ ฉันมากับรูปแบบนี้ในขณะนี้ (ไม่สนใจดัชนีj ):

$\frac{\rho^{n+1}_{i,j}-\rho^{n}_{i,j}}{\tau} + \frac{1}{h_x}\left(\frac{\rho^{n+1}_{i+1,j}+\rho^{n+1}_{i,j}}{2}u^{n}_{_xi+1/2,j}- \frac{\rho^{n+1}_{i,j}+\rho^{n+1}_{i-1,j}}{2}u^{n}_{_xi-1/2}\right)=0$

แต่ดูเหมือนว่าจะไม่มั่นคงจริงๆหรือมีสภาพความมั่นคงที่น่ากลัว เป็นอย่างนั้นเหรอ?

ความเร็วจะถูกคำนวณตามกฎดาร์ซีพี นอกจากนี้เรามีสมการสถานะ ทั้งระบบประกอบด้วยสมการพลังงานและสมการสถานะสำหรับแก๊สอุดมคติ ความเร็วสามารถเปลี่ยนเป็นลบได้$u=-\frac{k}{\mu}\nabla p$

คุณกำลังดูสมการการอนุรักษ์โดยรวม:

$\dfrac{dm}{dt}=0$

เมื่อพิจารณาถึงวิวัฒนาการมวลต่อปริมาตรหน่วยนี่จะทำให้สมการการพาความหนาแน่นหนาแน่นในรูปฟลักซ์:

$\dfrac{\partial \rho}{\partial t} = -\nabla \cdot (\rho u)$

สิ่งที่ดีเกี่ยวกับเรื่องนี้ก็คือมันเป็นเพียงสมการของสนามสเกลาร์ตามอำเภอใจ (ในกรณีของเรานี่คือความหนาแน่น ) และมันเป็น (ค่อนข้าง) ง่ายต่อการแก้ปัญหาให้เวลาและพื้นที่ที่แตกต่างกันอย่างเพียงพอ เงื่อนไขขอบเขต.$\rho$

เมื่อออกแบบชุดรูปแบบที่แตกต่างกัน จำกัด เรากังวลเกี่ยวกับการลู่เข้าเสถียรภาพและความแม่นยำ แบบแผนกำลังบรรจบกันหากเมื่อΔเสื้อ→0 ความมั่นคงของแผนการเพื่อให้แน่ใจว่าปริมาณยังคง จำกัด เมื่อเสื้อ→การ∞ ความแม่นยำที่เป็นทางการของโครงการบอกว่าข้อผิดพลาดการตัดในชุดการขยายเทย์เลอร์ของอนุพันธ์บางส่วนอยู่ที่ใด ดูใน CFD ตำราเรียนสำหรับรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับคุณสมบัติพื้นฐานเหล่านี้ของโครงการที่แตกต่างกัน$\dfrac{\Delta A}{\Delta t} \rightarrow \dfrac{\partial A}{\partial t}$$\Delta t \rightarrow 0$$A$$t \rightarrow \infty$

ตอนนี้วิธีที่ง่ายที่สุดคือตรงไปที่ความแตกต่างต้นน้ำลำดับที่ 1 โครงการนี้มีความชัดเจนแน่นอนอนุรักษ์นิยมและมีประสิทธิภาพในการคำนวณ คุณสมบัติสองประการแรกมีความสำคัญอย่างยิ่งเมื่อเราสร้างแบบจำลองวิวัฒนาการของปริมาณซึ่งเป็นค่าบวกเสมอ (เช่นมวลหรือความหนาแน่น)

เพื่อความง่ายเรามาดูกรณี 1-D:

$\dfrac{\partial \rho}{\partial t} = -\dfrac{\partial(\rho u)}{\partial x}$

ตอนนี้สะดวกที่จะกำหนดฟลักซ์ดังนั้น:$\Phi = \rho u$

$\dfrac{\partial(\rho u)}{\partial x} = \dfrac{\partial \Phi}{\partial x} \approx \dfrac{\Delta \Phi}{\Delta x} \approx \dfrac{\Phi_{i+1/2}-\Phi_{i-1/2}}{\Delta x}$

นี่คือแผนผังของสิ่งที่เรากำลังจำลอง:

            u           u
|          -->         -->          |
|    rho    |    rho    |    rho    |
x-----o-----x-----o-----x-----o-----x
     i-1  i-1/2   i   i+1/2  i+1

$\rho$$i$$\Phi_{i-1/2}$$\Phi_{i+1/2}$. นี่คือที่เราเริ่มแยกออกจากคำตอบของ Paul ในความแตกต่างของการอนุรักษ์ต้นน้ำที่แท้จริงปริมาณที่ศูนย์เซลล์จะถูกดำเนินการโดยความเร็วที่ขอบเซลล์ของมันในทิศทางของการเคลื่อนที่ กล่าวอีกนัยหนึ่งถ้าคุณคิดว่าคุณเป็นปริมาณที่โฆษณาและคุณนั่งอยู่ที่ศูนย์เซลล์คุณจะถูกพาเข้าไปในเซลล์ข้างหน้าคุณด้วยความเร็วที่ขอบเซลล์ การประเมินฟลักซ์ที่ขอบเซลล์ในฐานะผลิตภัณฑ์ที่มีความหนาแน่นและความเร็วทั้งที่ขอบเซลล์ไม่ถูกต้องและไม่ประหยัดปริมาณที่โฆษณา

ฟลักซ์ที่เข้ามาและขาออกถูกประเมินเป็น:

$\Phi_{i+1/2} = \dfrac{u_{i+1/2}+|u_{i+1/2}|}{2}\rho_{i} + \dfrac{u_{i+1/2}-|u_{i+1/2}|}{2}\rho_{i+1}$

$\Phi_{i-1/2} = \dfrac{u_{i-1/2}+|u_{i-1/2}|}{2}\rho_{i-1} + \dfrac{u_{i-1/2}-|u_{i-1/2}|}{2}\rho_{i}$

การรักษาความแตกต่างของฟลักซ์ข้างต้นช่วยให้แน่ใจได้ถึงความชัดเจน กล่าวอีกนัยหนึ่งมันปรับทิศทางต่างกันตามสัญลักษณ์ของความเร็ว

เกณฑ์ความมั่นคง Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) เมื่อทำเวลาแตกต่างกับคำสั่งแรกง่าย ๆ ไปข้างหน้าความแตกต่างออยเลอร์ได้รับ:

$\mu = \dfrac{u\Delta t}{\Delta x} \leq 1$

โปรดทราบว่าใน 2 มิติเกณฑ์ความมั่นคง CFL เข้มงวดมากขึ้น:

$\mu = \dfrac{c\Delta t}{\Delta x} \leq \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

$c$$\sqrt{u^{2}+v^{2}}$

$\mu = 1$

หากระบบทางกายภาพของคุณพิจารณาคลื่นกระแทกหรือการไล่ระดับสีในระดับสูงคุณควรพิจารณาความแตกต่างของ upstream ของลำดับที่สูงกว่า (เช่นลำดับที่ 3 หรือลำดับที่ 5) นอกจากนี้อาจเป็นการดีที่จะมองไปที่ตระกูลแผนการขนส่ง Flux Corrected Transport (Zalesak, 1979, JCP) การแก้ไขการต่อต้านการแพร่กระจายสำหรับโครงการข้างต้นโดย Smolarkiewicz (1984, JCP); ชุดแผนการ MPDATA โดย Smolarkiewicz (1998, JCP)

สำหรับความแตกต่างของเวลาลำดับที่ 1 การส่งต่อความแตกต่างของออยเลอร์อาจเป็นที่น่าพอใจสำหรับความต้องการของคุณ มิฉะนั้นดูวิธีการเรียงลำดับที่สูงขึ้นเช่น Runge-Kutta (ซ้ำ) หรือ Adams-Bashforth และ Adams-Moulton (หลายระดับ)

มันจะเป็นการดีหากมองหาตำราระดับบัณฑิตศึกษาของ CFD สำหรับการสรุปแผนการเรียนรู้ที่กล่าวถึงข้างต้นและอื่น ๆ อีกมากมาย

$(\frac{d}{dx})$

$\frac{\rho_i^{k+1}-\rho_i^k}{\Delta t} + \frac{\rho_i^k U_i^k-\rho_{i-1}^k U_{i-1}^k}{\Delta x} = 0$

$\Delta x$$\Delta t$