วิธีเก็บตัวอย่างคะแนนในพื้นที่ไฮเพอร์โบลิก

พื้นที่การผ่อนชำระในPoincaréครึ่งบนพื้นที่แบบดูเหมือนสามัญ$\Bbb R^n$แต่ด้วยความคิดของมุมและระยะทางบิดเบือนในทางที่ค่อนข้างง่าย ในพื้นที่ Euclidean ฉันสามารถลิ้มลองจุดสุ่มสม่ำเสมอในลูกในหลายวิธีเช่นโดยการสร้างตัวอย่าง Gaussian อิสระที่จะได้รับทิศทางและแยกลิ้มลองรัศมีประสานงานโดยสม่ำเสมอสุ่มตัวอย่างจากโดยที่คือรัศมีและการตั้งค่า$n$$r$$s$$\left[0, \frac1{n+1}R^{n+1}\right]$$R$$r = \left((n+1)s\right)^{\frac1{n+1}}$. ในระนาบครึ่งบนไฮเพอร์โบลิกทรงกลมยังคงเป็นทรงกลมมีเพียงศูนย์กลางของมันเท่านั้นที่จะไม่เป็นศูนย์กลางในตัวชี้วัดแบบยุคลิดดังนั้นเราจึงสามารถทำเช่นเดียวกัน

ถ้าเราต้องการสุ่มตัวอย่างตามการแจกแจงแบบไม่สม่ำเสมอ แต่ยังคงอยู่ในรูปแบบ isotropic เช่นการแจกแจงแบบเกาส์นี่ดูไม่ง่ายนัก ในปริภูมิแบบยุคลิดเราสามารถสร้างตัวอย่างแบบเกาส์สำหรับแต่ละพิกัด (ใช้ได้กับการแจกแบบเกาส์เซียนเท่านั้น) หรือสร้างตัวอย่างแบบเกาส์หลายมิติเท่ากัน มีวิธีโดยตรงในการแปลงตัวอย่างนี้เป็นตัวอย่างในพื้นที่ซึ่งเกินความจริงหรือไม่?

ทางเลือกอื่นอาจจะสร้างทิศทางที่กระจายอย่างสม่ำเสมอในทิศทางแรก (เช่นจากตัวอย่าง Gaussian) จากนั้นเป็นตัวอย่างแบบเกาส์สำหรับองค์ประกอบรัศมีและในที่สุดก็สร้างภาพภายใต้แผนที่เอ็กซ์โปเนนเชียลในทิศทางที่กำหนดสำหรับความยาวที่ระบุ การเปลี่ยนแปลงจะใช้ตัวอย่าง Euclidean Gaussian และแผนที่ภายใต้แผนที่เอ็กซ์โปเนนเชียล$n$

คำถามของฉัน:

• สิ่งที่จะเป็นวิธีที่ดีและมีประสิทธิภาพในการได้รับตัวอย่างเสียนด้วยค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานในพื้นที่ซึ่งเกินความจริง?
• วิธีที่ฉันอธิบายข้างต้นมีการสุ่มตัวอย่างที่ต้องการหรือไม่
• ไม่มีใครทำงานสูตรแล้ว
• วิธีนี้ทำให้การเปรียบเทียบกับตัวชี้วัดอื่น ๆ และการแจกแจงความน่าจะเป็นอื่น ๆ เป็นอย่างไร

ขอบคุณล่วงหน้า.

แก้ไข

ฉันเพิ่งรู้ว่าแม้ในกรณีของการสุ่มตัวอย่างคำถามเหล่านี้ยังคงอยู่; แม้ว่าทรงกลมจะเป็นทรงกลมการแจกแจงแบบสม่ำเสมอจะไม่สามารถอธิบายได้ด้วยฟังก์ชันคงที่บนลูกบอล

ฉันกำลังทำสิ่งนี้เพื่อตัวเอง ฉันคิดว่าอะนาล็อกที่เหมาะสมที่สุดสำหรับเกาส์เซียนจะเป็นเคอร์เนลความร้อนในพื้นที่ซึ่งเกินความจริง โชคดีที่สิ่งนี้ได้ถูกค้นพบก่อนหน้านี้: https://www.math.uni-bielefeld.de/~grigor/nog.pdf (มีให้บริการในกระดานข่าวของสมาคมคณิตศาสตร์แห่งลอนดอน )

ถ้าคุณใช้การสลายตัวของมาตรฐาน ( $e^{-dist^2/constant}$ ) ผมคาดหวังว่ามวลรวมจะมีขนาดใหญ่กว่า 1, เนื่องจากการเพิ่มขึ้นชี้แจงในปริมาณที่มีรัศมีพื้นที่การผ่อนชำระ

ในการสุ่มตัวอย่างอย่างสม่ำเสมอบนลูกบอลที่กำหนด (หรือชุดกะทัดรัดอื่น ๆ ) หนึ่งสามารถทำการปฏิเสธการสุ่มตัวอย่างด้วยแบบฟอร์มปริมาณ:

นี่คือตัวอย่างที่สม่ำเสมอสำหรับลูกบอลรัศมี 3 ซึ่งมีศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด:

หากต้องการฉันยินดีที่จะพูดมากขึ้น ฉันแค่คิดว่าฉันจะทำให้เรื่องนี้เพราะมีความสนใจในเรื่องนี้อย่างน้อยที่สุดก็ในอดีต

ค่าคงที่ pi เป็นค่าคงที่ในปริภูมิแบบยุคลิดเท่านั้น ค่าของ pi นั้นแตกต่างกันในรูปทรงเรขาคณิตอื่น ๆ พารามิเตอร์ pi เปลี่ยนมวลความน่าจะเป็นภายใต้เกาส์เซียน พารามิเตอร์ pi ใช้เพื่อทำให้ความน่าจะเป็นเป็นมาตรฐาน ฉันเพิ่งเริ่มศึกษาสิ่งนี้

ฉันได้ข้อสรุปเมื่อไม่นานมานี้ว่าพื้นที่เปลี่ยนจากไฮเพอร์โบลิกเป็น Euclidean เป็นทรงกลมเนื่องจากจำนวน sigmas เพิ่มขึ้น ฉันมีความสุขที่ได้พบกับการอภิปรายของวงกลมในแต่ละช่องว่างและ pi เป็นฟังก์ชั่นของช่องว่าง Lp ผ่านพารามิเตอร์ p

$n$