การเลือกจุดที่กระจัดกระจายส่วนใหญ่จากชุดของคะแนน

มีอัลกอริทึมใด ๆ (ที่มีประสิทธิภาพ) ในการเลือกเซตย่อยของ points จากชุดของ points ( ) ที่พวกเขา "ครอบคลุม" พื้นที่ส่วนใหญ่ (เหนือทุกเซตย่อยของขนาด ) หรือไม่?$M$$N$$M < N$$M$

ฉันถือว่าคะแนนอยู่ในระนาบ 2D

อัลกอริธึมไร้เดียงสานั้นง่าย แต่มีข้อห้ามในแง่ของความซับซ้อนของเวลา:

for each subset of N points
    sum distance between each pair of points in the subset
    remember subset with the maximum sum

ฉันกำลังมองหาวิธีที่มีประสิทธิภาพมากขึ้นหรือแม้แต่ประมาณ

ตัวอย่างนี่คือเครื่องบินที่มีจุดสุ่มอยู่ในนั้น:

สำหรับฉันคาดหวังว่าจะได้รับคะแนนจากการเลือกดังนี้:$M=5$

หมายเหตุจุดที่เลือก (สีแดง) จะกระจายอยู่ทั่วระนาบ

ฉันพบบทความ "การเลือกอย่างมีประสิทธิภาพการกระจาย SPATIALLY KEYPOINTS KEYENCE สำหรับการติดตามด้วยสายตา " ซึ่งเกี่ยวข้องกับปัญหานี้ อย่างไรก็ตามสิ่งนี้ถือว่าเป็นคะแนนที่มีน้ำหนัก

นี่คือวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณ เนื่องจากNมีขนาดใหญ่มากและMมีขนาดเล็กดังนั้นวิธีการต่อไปนี้:

1. คำนวณฮัลล์นูนของN
2. เลือกสูงสุดMจุดจากตัวถังที่ตรงกับเกณฑ์ระยะทางสูงสุดของคุณ
3. หากขั้นตอนที่ 2 ทำให้คุณมีคะแนนน้อยกว่าMให้เลือก 1 จุดจากด้านในเพื่อเพิ่มระยะห่างจากจุดที่เลือกไว้ก่อนหน้านี้
4. ทำซ้ำขั้นตอนที่ 3 จนกระทั่งจำนวนคะแนนที่เลือกคือM

สัญชาตญาณด้านหลังก็คือตั้งแต่N >> Mและคุณต้องการให้คะแนนอยู่ห่างจากกันมากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้พวกมันจะอยู่ใกล้กับขอบของข้อมูลดังนั้นคุณอาจเริ่มด้วยตัวเรือแล้วเริ่มซ้ำ ทำงานในแบบของคุณจากที่นั่น

นอกจากนี้โดยเริ่มต้นด้วยเรือที่คุณลดค้นหาเริ่มต้นของคุณจาก N เพื่อ N 1/2

UPDATE

หากขั้นตอนที่ 3 และ 4 ข้างต้นใช้เวลานานเกินไป (เนื่องจากคุณกำลังทดสอบชุดข้อมูลภายในของคุณซ้ำ ๆ ) มีแนวคิดอีกสองข้อที่เกิดขึ้นกับฉันเพื่อให้ปัญหาของคุณเร็วขึ้น

1. ค้นหาแบบสุ่ม : สมมติว่าคุณพบคะแนนPบนตัวถังในขั้นตอนที่ 2 จากนั้นให้สุ่มเลือกจุดM - Pจากภายใน เลือกชุดที่ดีที่สุดหลังจากการทดลอง X
2. การจำลองการหลอม : คำนวณกล่องขอบที่เล็กที่สุดที่ครอบคลุมชุดข้อมูลของคุณ (ไม่จำเป็นต้องจัดแนวกับแกนสามารถเอียงได้) จากนั้นกำหนดชุดของจุดกริดM แบบกระจายอย่างสม่ำเสมอบนกล่องขอบ หมายเหตุจุดเหล่านี้ไม่จำเป็นต้องตรงกับจุดชุดข้อมูลใด ๆ ของคุณ จากนั้นจุดตารางแต่ละพบว่าkเพื่อนบ้าน -nearest ในชุดข้อมูลของคุณ วิ่งผ่านชุดค่าผสมM x k ทุกชุดและเลือกชุดที่สอดคล้องกับเกณฑ์ระยะทางสูงสุดของคุณ คุณกำลังใช้กริดเริ่มต้นเป็นบูตสแตรปเพื่อค้นหาโซลูชันเริ่มต้นที่ดี

$N$$M$

$M$$M$

$M$$1$$M=3,4,5$

$M=3$$1$$M=4$$M=5$$1$

หากเราต้องการหลีกเลี่ยงการเลือกจุดที่บริเวณรอบนอกวัตถุประสงค์ที่แตกต่างกันคือมีแนวโน้มที่จะพิสูจน์ว่ามีประโยชน์ การเพิ่มระยะห่างต่ำสุดระหว่างจุดสูงสุดเป็นเกณฑ์ ปัญหาที่เกี่ยวข้องได้รับการทาบทามที่StackOverflowที่วิทยาการคอมพิวเตอร์ SEที่Math.SEและMathOverflow

$M$$D$$M$$D$

ตกลงดังนั้นคุณต้องการเลือกจุด M จากชุดของจุด N ที่กำหนดในระนาบแบบยุคลิดดังนั้นผลรวมของระยะทางคู่ของจุดที่เลือกนั้นถูกต้องสูงสุดหรือไม่?

อัลกอริทึมการค้นหาในท้องถิ่นมาตรฐานนั้นค่อนข้างรวดเร็วและให้การประมาณที่ดีพอสมควร รันไทม์เป็นแบบเชิงเส้นใน N และกำลังสองใน M อัตราการประมาณคือ 1 - 4 / M ซึ่งหมายความว่าอัตราส่วนจะดีขึ้นเมื่อ M เพิ่มขึ้น ตัวอย่างเช่นสำหรับ M = 10 จะได้รับค่าที่ดีที่สุด 60% และสำหรับ M = 50 จะได้รับค่าที่ดีที่สุด 92%

อัลกอริธึมใช้ได้กับปริภูมิแบบยุคลิดของมิติทั่วไปด้วย ในกรณีนี้ปัญหาคือ NP-hard แต่บนเครื่องบินไม่มีใครรู้ว่ามันเป็น NP-hard

แหล่งที่มาเป็นกระดาษนี้ หวังว่านี่จะช่วยได้! สุดยอดอัลฟองโซ

ทางออกหนึ่งคือ:

• $O(n)$

• ทำให้Mประดิษฐ์แม้กระทั่งจุดกระจายภายในสี่เหลี่ยมที่ล้อมรอบนี้บางMนั้นยากกว่าจุดอื่น ในกรณีของคุณสี่ในมุมของสี่เหลี่ยมและหนึ่งในศูนย์

• $O(n(log(n)))$

• $O(m(log(n)))$

$O(n(log(n)))$$\sqrt{M} \in \mathbb{N}$