โครงสร้างของ /รองรับองค์ประกอบไฟไนต์พื้นฐานสำหรับตาข่ายสามเหลี่ยมหรือเตตราจูด

ในเอกสารลำดับชั้นสอดคล้องกับระเบียบวิธีไฟไนต์อิลิเมนต์สำหรับสมการ Biharmonic , P. Oswald อ้างว่าองค์ประกอบประเภท Clough-Tocher มีต่อเนื่องในขณะที่เป็นพหุนามลูกบาศก์ในแต่ละสามเหลี่ยม เขาไม่ได้ให้ชุดของฟังก์ชั่นพื้นฐานที่ชัดเจนเพียงแค่องศาอิสระภาพมาตรฐานในจุดพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส$C^1$

ในทำนองเดียวกันในหนังสือทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ของวิธีไฟไนต์เอลิเมนต์บทที่ 3 ผู้เขียนให้การสร้างองค์ประกอบเฮอร์ไมน์ลูกบาศก์ลูกบาศก์ของเรา แต่พวกเขาไม่ได้กล่าวถึงความต่อเนื่องขององค์ประกอบเฮอร์ไมต์ลูกบาศก์

อย่างไรก็ตามในกระดาษเชิงอนุพันธ์เชิงซ้อนและเสถียรภาพเชิงตัวเลข Doulgas Arnold เสนอว่าสำหรับ /แยกพื้นที่ว่างเราควรใช้ Hermite quintic (หรือ Argyris) องค์ประกอบ จำกัด ซึ่งมีความซับซ้อนมากในการแสดงอย่างชัดเจน$C^1$$H^2$

ดังนั้นนี่คือคำถามของฉัน:

(1) มีกระดาษใดที่มาพร้อมกับสูตรที่ชัดเจนสำหรับ /รวมองค์ประกอบไฟไนต์บนสามเหลี่ยมหรือเตตราจูดตาข่าย?$C^1$$H^2$

(2) ควรเป็นระดับพหุนามน้อยที่สุดในระดับพหุนามสำหรับต่อเนื่อง$C^1$

องค์ประกอบลูกบาศก์เฮอร์ไมท์มีอนุพันธ์แบบปกติอย่างต่อเนื่อง แต่ไม่เต็มต่อเนื่อง โดยเฉพาะตราสารอนุพันธ์ปกติอาจไม่ตรงกับขอบเขตของสององค์ประกอบอยู่ห่างจากจุดยอด ถ้าคุณต้องการความต่อเนื่องของคุณจะต้องใช้องค์ประกอบ Argyris หรือ Hsieh-Clough-Tucker หรืออะไรบางอย่าง ฉันแนะนำการอภิปรายในบทที่ 6 ขององค์ประกอบ จำกัด ของหนังสือ Ciarlet$C^1$$C^1$

ระดับของพหุนามที่ต้องใช้สำหรับความต่อเนื่องของนั้นขึ้นอยู่กับมิติเชิงพื้นที่ของคุณ แต่ใน 2D หรือ 3D ฉันไม่คิดว่าคุณจะออกไปได้ด้วยพหุนามลูกบาศก์น้อยกว่า คุณสามารถพิจารณาวิธีการที่ไม่เป็นไปตามรูปแบบบางประเภทซึ่งอาจทำให้พื้นที่องค์ประกอบ จำกัด ง่ายขึ้น$C^1$

ผมหมายถึงคุณไปยังหนังสือSplines บน triangulations ฉันไม่สามารถหาสำเนาของฉันในขณะนี้เพื่อให้คำตอบที่ดีกว่า แต่ฉันจำการอภิปราย / ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลำดับพหุนามที่จำเป็นสำหรับ$C^1$ช่องว่าง ถ้าฉันจำได้ถูกต้องลายพิสูจน์ว่าภายใต้เงื่อนไขบางประการ$p=3$ ก็โอเค แต่ $p=5$ เพียงพอเสมอ

น่าเสียดายที่ฉันยังจำได้ว่าลายไม่ได้แสดงวิธีการสร้าง $C^1$ช่องว่างเพียงพิสูจน์ว่าพวกเขามีอยู่ได้รับสมการและพื้นที่ว่าง เมื่อเขามีหลักฐานนี้เขาจะแก้ปัญหาการใช้งานของเขาด้วยสมการเชิงเส้นเพิ่มเติมเพื่อบังคับใช้$C^1$ เงื่อนไข.

คุณสามารถอ้างถึงหน้าต่อไปนี้เพื่อดูรายการฟังก์ชันพื้นฐานสำหรับ Argyris: FEMList.pdf รายการ Wikipedia (ภาษาฝรั่งเศส)

นอกจากนี้คุณสามารถใช้VT-ICAM ArgyrisPackที่เพื่อนร่วมงานและฉันพัฒนาขึ้น