แบบแผนความแตกต่างแน่นอน จำกัด สำหรับสมการการพาความร้อน

มีรูปแบบ FD มากมายสำหรับสมการการพาความร้อนอภิปรายในเว็บ ตัวอย่างเช่นที่นี่: http://farside.ph.utexas.edu/teaching/329/lectures/node89.html$\frac{\partial T}{\partial t}+u\frac{\partial T}{\partial x}=0$

แต่ฉันไม่เคยเห็นใครเสนอรูปแบบลม "โดยนัย" เช่นนี้: 0$\frac{T^{n+1}_i-T^{n}_i}{\tau}+u\frac{T^{n+1}_i-T^{n+1}_{i-1}}{h_x}=0$

แผนการล่องทั้งหมดที่ฉันเคยเห็นมีการจัดการกับข้อมูลในขั้นตอนเวลาก่อนหน้าในอนุพันธ์อวกาศ อะไรคือเหตุผลสำหรับสิ่งนั้น? รูปแบบ upwind แบบคลาสสิคมีวิธีเปรียบเทียบกับแบบที่ฉันเขียนด้านบนอย่างไร

เป็นเรื่องธรรมดามากในการคำนวณพลศาสตร์ของไหลเพื่อใช้รูปแบบโดยนัยคล้ายกับสิ่งที่คุณเสนอ สิ่งที่ฉันรู้จะขึ้นอยู่กับสูตรผลต่างอัน จำกัด ขนาดกะทัดรัด (ไม่ใช่เพียงการแทนที่ด้วยn + 1ในรูปแบบที่มีอยู่) ตัวอย่างเช่นหนึ่งในรูปแบบที่ใช้กันอย่างแพร่หลายที่สุดได้รับการพัฒนาโดยLele ในปี 1992 ในบทความนี้ด้วยการอ้างอิงมากกว่า 2,500 รายการ รูปแบบดังกล่าวสามารถทำให้มีคุณสมบัติการกระจายที่ดีกว่าแบบแผนที่ชัดเจนโดยทั่วไป$n$$n+1$

การส่งสัญญาณกลับมักมีความสำคัญน้อยกว่าเมื่อใช้วิธีการโดยนัยและขนาดขั้นตอนที่มีขนาดใหญ่เนื่องจากการแพร่กระจายจำนวนมาก (กล่าวถึงโดยเจเรมี) หมายความว่าคุณไม่สามารถแก้ไขการกระแทกได้

เกี่ยวกับรูปแบบเฉพาะที่คุณเสนอ:

• มันสามารถหาได้จากวิธีการลดทอนเส้นโดยใช้ความแตกต่างย้อนหลังในพื้นที่และวิธีการออยเลอร์ย้อนกลับ (โดยปริยาย) ในเวลา
• มันมีความเสถียรแบบไม่มีเงื่อนไขตราบใดที่ (น่าสนใจมันก็ยังเสถียรสำหรับu < 0ถ้าขั้นตอนเวลาไม่เล็กเกินไป!) $u\ge0$$u<0$
• มันลดลงมากกว่าแผนทวนลมแบบดั้งเดิมที่ชัดเจน
• ซึ่งแตกต่างจากรูปแบบ upwind ที่ชัดเจนมันไม่เป็นไปตามเงื่อนไข CFL ของหน่วย (กล่าวคือไม่แน่นอนในกรณีที่ ) แต่มันตอบสนองสภาพ CFL ป้องกันหน่วย (มันเป็นที่แน่นอนถ้าτ ยู/ชั่วโมง= - 1 )$\tau u/h = 1$$\tau u/h = -1$

ไม่มีเหตุผลที่คุณไม่สามารถทำสิ่งที่คุณเขียน หนึ่งในเหตุผลที่ว่านี่เป็นเรื่องแปลกก็คือว่ามีปัญหาการพิมพ์ซึ่งเกินความจริง (advection) โดเมนของการพึ่งพาอาศัยนั้นมี จำกัด ดังนั้นวิธีการที่ชัดเจนทำให้รู้สึกจากมุมมองประสิทธิภาพการคำนวณ

รูปแบบโดยนัยที่คุณเขียนจะต้องมีการแก้ไขระบบเชิงเส้นแม้ว่าในกรณีที่คุณเขียนเป็นรูปสามเหลี่ยมและทำให้ค่อนข้างง่ายในการแก้ไข แน่นอนว่าเมื่อคุณไปที่ระบบและหลายมิติระบบจะไม่เป็นรูปสามเหลี่ยมแม้ว่าบางครั้งสิ่งนี้อาจส่งผลให้มีการจัดลำดับที่คุณไม่ทราบ (ดูตัวอย่างKwok และ Tchelepi, JCP 2007และ Gustafsson และ Khalighi, JSC, 2006 )

บางครั้งด้วยความหวังว่าจะทำตามขั้นตอนเวลามากผู้คนจะใช้เวลาโดยปริยายตามที่คุณเขียน แต่คุณต้องระวังที่นี่ เมื่อใช้วิธีการทางอ้อมคุณจะแนะนำการกระจายจำนวนมากดังนั้นคุณจะละเลงวิธีการแก้ปัญหาของคุณอย่างมีนัยสำคัญ