มาตรฐานสำหรับฐานGröbnerและโซลูชันระบบพหุนาม

ในคำถามล่าสุดของระบบการแก้สมการพีชคณิตเชิงเส้น 7 สัญลักษณ์สัญลักษณ์ Brian Borchers ได้ทำการทดลองยืนยันว่า Maple สามารถแก้ปัญหาระบบพหุนามที่ Matlab / Mupad ไม่สามารถจัดการได้ ฉันเคยได้ยินในอดีตจากคนที่ทำงานในสาขาที่ Maple มีการใช้งานฐานGröbnerและอัลกอริธึมที่มีคุณภาพสูง

ดังนั้นฉันถูกล่อลวงให้แนะนำ "Matlab ช้าในปัญหาประเภทนี้เปลี่ยนเป็น Maple" แต่ฉันต้องการให้มีข้อมูลสำรองคำสั่งนี้

มีชุดของผลการเปรียบเทียบเปรียบเทียบความเร็วและประสิทธิผลของการใช้งานพื้นฐานของGröbnerและโซลูชั่นระบบพหุนามในระบบพีชคณิตคอมพิวเตอร์ต่าง ๆ หรือไม่? (Maple, Mathematica, กล่องเครื่องมือสัญลักษณ์ของ Matlab และอื่น ๆ )

ฉันโพสต์การวัดประสิทธิภาพที่นี่: http://www.cecm.sfu.ca/~rpearcea/mgb.html

เหล่านี้มีไว้สำหรับคำสั่งการศึกษาระดับปริญญาทั้งหมด ในการแก้ปัญหาระบบคุณต้องทำงานให้มากขึ้น กำหนดเวลาสำหรับเดสก์ท็อประดับกลางทั่วไปในปี 2558 (Haswell Core i5 quad core)

ระบบที่เร็วที่สุดในหนึ่งคอร์คือ Magma ซึ่งใช้เลขทศนิยมและ SSE / AVX Magma เป็นระบบที่แข็งแกร่งที่สุดเนื่องจากมีการใช้งานที่ดีของ FGLM และการเดิน Groebner (ไม่ผ่านการทดสอบ) อัลกอริธึมเหล่านี้ถูกใช้เพื่อแปลงพื้นฐานระดับทั้งหมดเป็นพื้นฐานการทำพจนานุกรมซึ่งมีรูปแบบสามเหลี่ยม จากนั้นคุณจะคำนึงถึงชื่อพหุนามในตัวแปรที่ต่ำที่สุด

mgb เป็นไลบรารี C ใน Maple 2016 ซึ่งใช้อัลกอริธึม F4 สำหรับคำสั่งการศึกษาระดับปริญญาและการกำจัด ประสิทธิภาพของมันเทียบเท่ากับ Magma เมื่อใช้หลายแกน

FGb คือการนำ F4 ของ Faugere ไปใช้ เวอร์ชันที่ทดสอบที่นี่มาจากเว็บไซต์ของเขาและเร็วกว่ารุ่นใน Maple

Giac เป็นระบบโอเพ่นซอร์สที่มีการใช้ F4 มีกระดาษอธิบายว่าhttp://arxiv.org/abs/1309.4044

เอกพจน์เป็นระบบโอเพ่นซอร์สสำหรับการคำนวณจำนวนมากในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต การวัดประสิทธิภาพที่นี่ใช้ "modStd" ซึ่งเป็นอัลกอริทึมของ Buchberger รุ่นแยกส่วน คุณสามารถเห็นอัลกอริทึม Buchberger ไม่สามารถแข่งขันกับ F4 เหตุผลพื้นฐานคือ F4 ตัดจำหน่ายต้นทุนของการดำเนินการ monomial ทั้งหมด นอกจากนั้น Singular ยังมีการใช้งาน FGLM และ Groebner Walk ที่เหมาะสมพอ ๆ กับอัลกอริธึมอื่น ๆ ที่มีประโยชน์สำหรับการแก้ปัญหา

Googling benchmark polynomial systemsนำไปสู่การไม่กี่เพลงฮิตรวมทั้งมหาวิทยาลัย Mannheim ของคอมพิวเตอร์พีชคณิตเกณฑ์มาตรฐานความคิดริเริ่ม น่าเศร้าที่สิ่งเหล่านี้ส่วนใหญ่ล้าสมัยหรือหมดอายุ ใช้งานมากที่สุดน่าจะเป็นSymbolicData วิกิพีเดียแต่เท่าที่ผมสามารถบอกได้ว่ามันจะรวบรวมเฉพาะมาตรฐานปัญหาไม่ได้มาตรฐานผลการ

การเปรียบเทียบบางอย่าง (ย้อนหลังไปถึงปี 1996) ของ Axiom, Macsyma, Maple, Mathematica, MuPAD และระบบการแก้ปัญหาเชิงพหุนามสามารถพบได้ในHans-Gert Gräbe เกี่ยวกับระบบ Polynomial แก้ปัญหาของ Axiom, Macsyma, Maple, Mathematica, MuPAD และลด , Preprint 11/96 des Instituts für Informatik, Universitätไลพ์ซิก, เยอรมนี, ธันวาคม 1996 ข้อสรุปคือ Axiom, Maple และลดการชนะเนื่องจากการใช้ฐานGröbnerของพวกเขา (คนอื่นไม่ได้อยู่ที่จุดนี้ในเวลา) กับ Maple ออกมาเล็กน้อยก่อนคนอื่น ๆ

นอกจากนี้ยังมีการเปรียบเทียบเก่า ๆ บนเว็บไซต์ SINGULAR ที่แสดง SINGULAR 2.0 (ปัจจุบัน ณ เดือนธันวาคม 2558 คือ 4.0.2) การเต้นเมเปิ้ลและอื่น ๆ

ในอีกด้านหนึ่งสิ่งพิมพ์ล่าสุด ( Yao Sun, Dongdai Lin และ Dingkang Wang. 2015. ในการใช้อัลกอริทึมGröbnerพื้นฐานที่ใช้ลายเซ็นโดยใช้รูทีนพีชคณิตเชิงเส้นจาก M4RI. ACM คอมมิวเตชั่นพีชคณิต 49, 2 (สิงหาคม 2015) , 63-64เปรียบเทียบการใช้งานของอัลกอริทึมพื้นฐานของGröbnerกับของ Maple, Singular และ Magma โดยที่ Magma นั้นเร็วกว่าอีกสองแพ็คเกจตามลำดับความสำคัญ (และคาดกับการใช้งานของผู้เขียน)

ดังนั้นมันจึงขึ้นอยู่กับปัญหา (ขนาดและโครงสร้าง) เป็นอย่างมากและเวอร์ชั่นของซอฟต์แวร์ที่เร็วที่สุด อย่างไรก็ตามคำแนะนำในการใช้ระบบพีชคณิตคอมพิวเตอร์ที่พัฒนาขึ้นมาอย่างแข็งขันเช่น Singular, Magma หรือ Maple แทนที่จะเป็นซอฟต์แวร์การคำนวณเชิงสัญลักษณ์ทั่วไปนั้นเป็นสิ่งที่ดี สิ่งนี้จะเพิ่มเป็นสองเท่าสำหรับกล่องเครื่องมือในซอฟต์แวร์ตัวเลขซึ่งเพิ่มระดับค่าใช้จ่ายในอีกระดับหนึ่งและมักจะเป็นรุ่นที่อยู่เบื้องหลังซอฟต์แวร์แบบสแตนด์อโลนหลายรุ่นโดยใช้ (MuPAD ซึ่งเป็น Maple ก่อนหน้านี้ในกรณีของกล่องเครื่องมือของ Matlab)

โปรดจำไว้เสมอว่าผลลัพธ์ของการวัดประสิทธิภาพใด ๆ จะขึ้นอยู่กับขนาดของปัญหาที่เกิดขึ้นบนฟิลด์ฐานซึ่งแหวนพหุนามถูกกำหนด (จำนวนตรรกยะหรือจำนวนเต็มโมดูโลกำลังของจำนวนเฉพาะ)

ห้องสมุด FGBคือการดำเนินการพัฒนาอย่างแข็งขันและมีประสิทธิภาพสูงของอัลกอริทึม F5 มาตรฐานเปรียบเทียบ FGb กับ Magma สามารถพบได้ใน:

Faugère, J.-C (2010) FGb: ห้องสมุดสำหรับการคำนวณฐานGröbner (หน้า 84–87) ดอย: 10.1007 / 978-3-642-15582-6_17