คุณจะปรับปรุงความแม่นยำของวิธีผลต่างอันตะ จำกัด สำหรับการค้นหาระบบอีเจนเนติกของ ODE เชิงเส้นเอกพจน์

ฉันพยายามที่จะแก้สมการของประเภท:

$\left( -\tfrac{\partial^2}{\partial x^2} - f\left(x\right) \right) \psi(x) = \lambda \psi(x)$

ที่ไหนมีเสาง่ายที่0สำหรับที่เล็กที่สุดNเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ เงื่อนไขขอบเขตคือ: ψ ( 0 ) = 0และψ ( R ) = 0และฉันก็แค่มองไปที่ฟังก์ชั่นในช่วง( 0 , R ]$f(x)$$0$$N$$\psi(0) = 0$$\psi(R)=0$$(0,R]$

อย่างไรก็ตามถ้าฉันทำวิธีที่แตกต่างกันอย่างง่าย ๆ , เว้นระยะเท่ากัน, ค่าลักษณะเฉพาะที่เล็กที่สุดนั้นไม่ถูกต้องมาก, (บางครั้งมีค่าลักษณะเฉพาะ "เท็จ" ที่มีคำสั่งหลายขนาดลบมากกว่าที่ฉันรู้ว่าควรมีจริง) "ค่าลักษณะเฉพาะแรก" กลายเป็นค่าที่สอง แต่ก็ยังไม่ดี)

ส่งผลกระทบต่อความแม่นยำของรูปแบบที่แตกต่างกันอย่าง จำกัด คืออะไร? ฉันคิดว่าภาวะเอกฐานคือสิ่งที่ทำให้เกิดปัญหาและกริดที่เว้นระยะไม่สม่ำเสมอจะปรับปรุงสิ่งต่าง ๆ อย่างมีนัยสำคัญมีเอกสารใดบ้างที่สามารถชี้ให้ฉันเห็นวิธีการผลต่างอัน จำกัด แบบไม่สม่ำเสมอที่ดี? แต่รูปแบบความแตกต่างของคำสั่งซื้อที่สูงขึ้นอาจปรับปรุงให้ดีขึ้นอีกหรือ คุณตัดสินใจอย่างไร (หรือเป็นเพียง "ลองทั้งคู่และดู")

หมายเหตุ: รูปแบบความแตกต่างอัน จำกัด ของฉันคือ tridiagonal สมมาตรโดยที่ 3 เส้นทแยงมุมคือ:

$\left( -\frac{1}{2 \Delta^2}, \; \frac{1}{\Delta^2} - f(x), \; -\frac{1}{2 \Delta^2} \right)$

$\Delta$

หากคุณต้องการเพิ่มความแม่นยำของรูปแบบ จำกัด ผลต่างคุณสามารถลองเพิ่มระดับของลายฉลุของคุณ ในจุดที่เท่ากัน แต่สิ่งนี้สามารถนำไปสู่ความไม่แน่นอนเชิงตัวเลข เพื่อหลีกเลี่ยงปัญหาเหล่านี้และยังคงได้รับความแม่นยำสูงที่ผมจะแนะนำให้ใช้วิธีผี

หากปัญหาของคุณมีเสาคงที่คุณสามารถลองแก้ปัญหาด้วยการแยกโดเมนของคุณและแก้ไขปัญหาที่เกิดขึ้นสองคู่

chebgui$f(x)$

chebgui$-u''(x) - u(x)x = \lambda u$$[-1,1]$

ปรับปรุง

หากคุณต้องการที่จะแก้ปัญหานี้โดยไม่ต้องเข้าไปใน Chebfun มากเกินไปรายละเอียดทั้งหมดควรอยู่ในบทที่ 9 ของหนังสือของ Nick Trefethen " วิธีการทางสเปกตรัมใน Matlab "

$\Delta x$$f(x)\psi(x)$$f(x)$$f(x_i)$$\int_{x_{i-1}}^{x_{i+1}} f(x) \varphi_i(x)$$\varphi_i(x)$$x_i$$f(x)$

แน่นอนว่าถ้าคุณมีองค์ประกอบที่แน่นอนอยู่แล้วคุณอาจลงทุนในการใช้องค์ประกอบคำสั่งซื้อที่สูงขึ้นซึ่งไม่ได้ยากขนาดนั้นใน 1d เช่นกัน