ประโยชน์ขององค์ประกอบที่มีความเสถียรขึ้นอยู่กับตาข่าย

หลังจากทำคณิตศาสตร์บางอย่างเกี่ยวกับความมั่นคงขององค์ประกอบในปัญหา 3D Stokes ฉันก็ตกใจเล็กน้อยที่รู้ว่า $P_2-P_1$ ไม่เสถียรสำหรับตาข่าย tetrahedral โดยพลการ แม่นยำยิ่งขึ้นในกรณีที่คุณมีองค์ประกอบที่โหนดทั้งหมดและสามในสี่ด้านอยู่ในขอบเขตของโดเมนที่มีเงื่อนไข Dirichlet คุณจะได้เมทริกซ์เอกพจน์ ในความเป็นจริงแล้วเป็นเรื่องเล็กน้อยที่จะสรุปจากรูปแบบที่อ่อนแอของระบบสโตกส์

ฉันทดสอบรหัส Stokes เชิงพาณิชย์เพียงตัวเดียวที่ฉันสามารถเข้าถึง (COMSOL) และอนุญาตให้ฉันสร้างตาข่ายดังกล่าว เมื่อคลิกแก้ฉันได้รับ 'ข้อผิดพลาด: เมทริกซ์เอกฐาน' ตามที่คาดไว้ (ฉันอยู่ภายใต้การแสดงผลที่ COMSOL ใช้สำหรับโมดูลการไหลแบบคืบคลาน) $P_2-P_1$

เพื่อทดสอบเพิ่มเติมว่าปัญหาไม่เกี่ยวข้องกับการกำหนดค่าอื่นฉันลองใช้ตาข่ายต่อไปนี้และทุกอย่างทำงานตามที่คาดไว้

คำถาม:ข้อ จำกัด ประเภทนี้ถูกนำมาพิจารณาในเครื่องกำเนิดตาข่าย (แบบปรับตัวหรือไม่ปรับตัว) หรือไม่? ฉันเห็นจากรายงานการวิจัยต่าง ๆ ว่าองค์ประกอบนี้ดูเหมือนจะเป็นที่นิยมมาก ความไม่แน่นอนของขอบเขตแบบนี้โดยทั่วไปไม่สนใจว่าไม่มีนัยสำคัญเมื่อเลือกวิธีการใช้หรือไม่? ที่สำคัญกว่านั้นจริง ๆ แล้วมันหมายความว่าอย่างไรที่จะมีองค์ประกอบ จำกัด แน่นอนเช่นชนิดของความไม่แน่นอนขึ้นอยู่กับตาข่ายมีมากเกินไปเพื่อให้เราสรุปได้ว่าวิธีการที่ไม่ดี?

stability navier-stokes unstructured-mesh

— KNL
แหล่งที่มา

คำถามที่น่าสนใจ! เท่าที่ฉันเห็นองค์ประกอบเหล่านี้มักจะเป็นผลมาจากการสร้างตาข่าย tetrahedral บนลูกบาศก์และมีบทบาทเพียงเล็กน้อยในแอปพลิเคชั่นจริงที่คุณมีอัลกอริธึมที่ไม่มีโครงสร้าง ฉันได้ลองไปซักพักแล้วและไม่สามารถผลิตตาข่ายดังกล่าวที่มีตัวกำเนิดตาข่ายผลิตตาข่ายที่ไม่มีโครงสร้างอย่างสมบูรณ์ ฉันสงสัยว่าพวกเขาใช้กลไกเพื่อหลีกเลี่ยงองค์ประกอบที่ จำกัด เช่นนั้น ฉันไม่สามารถเข้าใช้ COMSOL ได้ แต่ฉันคิดว่าสำหรับนักแก้ปัญหาส่วนใหญ่องค์ประกอบเหล่านี้จะไม่เป็นปัญหาสำคัญ

— Christian Waluga

ฉันสงสัยว่านี่เป็นปัญหาขององค์ประกอบ MINI หรือไม่

— Daniel Shapero

(\nabla \cdot v, p) = 0 \forall v \in V_{h} \Rightarrow p = global const.

$(\nabla\cdot v, p)=0~\forall v \in V_h \Rightarrow p =\text{global const.}$

p (x, y) = a + b x + c y

$p(x,y)=a+bx+cy$

v = (b ϕ, c ϕ)

$v=(b\phi,c\phi)$

ϕ

$\phi$

p

$p$

$p$ $p$

เครื่องกำเนิดตาข่ายมักจะมีตัวเลือกในการจัดการสิ่งนี้เช่นเครื่องกำเนิดตาข่าย 2 มิติbamgของfreefem++มี-splitpbedgeตัวเลือกที่เพิ่มโหนดที่อยู่ตรงกลางของขอบใด ๆ ที่มีปลายทั้งสองด้านอยู่บนขอบเขต การbamgสร้างตาข่ายแบบไม่มีโครงสร้างสามารถคืนสามเหลี่ยมดังกล่าวได้

— Joce
แหล่งที่มา

คุณแน่ใจหรือไม่ว่าเป็นเช่นนี้กับ Taylor-Hood ใน 2D Stokes? สัญชาตญาณของฉันบอกฉันว่าอานนท์ที่เกี่ยวข้องกับขอบช่วยประหยัดสถานการณ์ที่นั่น ใน 3D Taylor-Hood นั้นไม่มี DOF ที่เกี่ยวข้องกับด้านและทำให้เกิดความไม่แน่นอน

— knl

คุณพูดถูกอาจเป็นได้ ฉันคิดว่าหลักฐาน Verfuhrt ของเงื่อนไข inf-sup สำหรับ Taylor-Hood นั้นสร้างสรรค์เพียงพอที่จะตรวจสอบสิ่งนี้ แต่ตอนนี้ไม่มีเวลา

— Joce