การวิเคราะห์ความมั่นคงของ Von Neumann บอกอะไรเราเกี่ยวกับสมการผลต่าง จำกัด เชิงเส้น

9

ฉันกำลังอ่านกระดาษ[1]ซึ่งพวกเขาแก้สมการไม่เชิงเส้นต่อไปนี้ โดยใช้วิธีผลต่างอันตะ พวกเขายังวิเคราะห์เสถียรภาพของโครงร่างโดยใช้การวิเคราะห์เสถียรภาพของ Von Neumann อย่างไรก็ตามตามที่ผู้เขียนตระหนักถึงสิ่งนี้สามารถใช้ได้กับ PDE เชิงเส้นเท่านั้น ดังนั้นผู้เขียนทำงานรอบนี้ด้วย "แช่แข็ง" ระยะที่ไม่ใช่เชิงเส้นคือพวกเขาแทนที่ระยะยาวกับที่คือ "ถือว่าเป็นตัวแทนของค่าคงที่ในประเทศของ ."

u_{t} + u_{x} + u u_{x} - u_{x x t} = 0

$\begin{equation} u_t + u_x + uu_x - u_{xxt} = 0 \end{equation}$

u u_{x}

$uu_x$

U u_{x}

$Uu_x$

U

$U$

u

$u$

ดังนั้นคำถามของฉันคือสองเท่า:

1: วิธีการตีความวิธีนี้และทำไมมัน (ไม่) ทำงานอย่างไร

2: เราสามารถแทนที่คำว่าด้วยคำว่าโดยที่ถูก "พิจารณาว่าเป็นตัวแทนค่าคงที่ในท้องถิ่นของ " $uu_x$ $uU_x$ $U_x$ $u_x$

อ้างอิง

Eilbeck, JC และ GR McGuire "การศึกษาเชิงตัวเลขของสมการคลื่นยาวแบบปกติ I: วิธีเชิงตัวเลข" วารสารฟิสิกส์เชิงคำนวณ 19.1 (1975): 43-57

— ผู้ล่า
แหล่งที่มา

1

คุณพิมพ์ผิดสมการ สมการในกระดาษคือสมการ RLW

— Ömer

3

คำถามที่เกี่ยวข้องโดยไม่มีคำตอบที่สมบูรณ์: scicomp.stackexchange.com/q/8717/713 , mathoverflow.net/q/186760 , scicomp.stackexchange.com/q/16142 , scicomp.stackexchange.com/q/6863 ฉันคิดว่าการพูดแบบ heuristically ควรใช้เพราะคุณสนใจในความเสถียรของโหมดความถี่สูงมาก (ซึ่งเกิดข้อผิดพลาด, ความยาวคลื่นตามลำดับของระยะห่างของตาข่าย) ในขณะที่วิธีแก้ปัญหานั้นจะแตกต่างกันด้วยความถี่ที่ต่ำกว่ามาก ดังนั้นจึงเป็นการดีที่จะตรึงค่าสัมประสิทธิ์และศึกษาความเสถียรของค่าสัมประสิทธิ์การแช่แข็ง PDE

— คิริลล์

2

ฉันตอบคำถามบางข้อที่คิริลล์เชื่อมโยง น่าเสียดายที่ฉันไม่ทราบผลลัพธ์ใด ๆ สำหรับสมการ RLW แต่อาจมีเสถียรภาพสามารถพิสูจน์ได้ตราบใดที่วิธีการแก้ปัญหานั้นราบรื่นพอ

— David Ketcheson

1

สิ่งที่คุณกำลังพูดเรียกว่าเป็นเส้นตรง มันเป็นเทคนิคทั่วไปที่ใช้ในการวิเคราะห์ของ PDE ที่ไม่ใช่เชิงเส้น สิ่งที่ทำคือการโยนสมการในรูปแบบ

$u_t+Au=0$

นี่คือเมทริกซ์ที่เกิดจากการทำให้เป็นเส้นตรงของสมการ

ตอนนี้คำถามของคุณ

ในขณะที่คุณกำลังคิดมันทำงานได้ในระดับหนึ่ง แต่ไม่ถึงระดับอื่น ยูทิลิตีนี้คือความเสถียรสามารถพิสูจน์ได้สำหรับระบบเชิงเส้น แต่ไม่พร้อมสำหรับระบบที่ไม่ใช่เชิงเส้น ดังนั้นผลลัพธ์เชิงเส้นจะขยายไปยังระบบที่ไม่ใช่เชิงเส้น บ่อยครั้งที่วิธีการที่แตกต่างกันถูกนำมาใช้สำหรับกรณีเฉพาะ ตัวอย่างเช่น,

$uu_x = \frac{1}{2}(u^2)_x$

ซึ่งเป็นรูปแบบการอนุรักษ์ ดังนั้น,

$u_t+\frac{1}{2}(u^2)_x = 0$

เมื่อแสดงในปริมาณ จำกัด ให้ความรู้สึกเกี่ยวกับวิวัฒนาการของมึง

ยูทิลิตี้ในการทำทดแทนคืออะไร คุณจะลบสมการออกจากแบบฟอร์มสมการคลื่น ซึ่งจะหมายความว่าการแก้ปัญหาจะไม่ทำงานเป็นสมการคลื่น ดังนั้นในการวิเคราะห์เสถียรภาพการแก้ปัญหาการทดสอบจะต้องแตกต่างกันอย่างสิ้นเชิงและไม่ร่างกายเช่นกัน

— วิกรม
แหล่งที่มา

2

ในการอธิบายอย่างละเอียดเกี่ยวกับอาร์กิวเมนต์ linearization ใน uu_x คุณต้องการถือว่า u เป็นค่าคงที่แบบโลคัลไม่ใช่ u_x ด้วยเหตุผลสองประการ: ก) u แตกต่างช้ากว่าอนุพันธ์ของมันและ b) ในกรณีนี้โดยเฉพาะถ้าคุณถือว่า u_x เป็นค่าคงที่แบบโลคัล ตามคำนิยามคุณยังถือว่า u เป็นเส้นตรงในพื้นที่ซึ่งหมายถึงอนุพันธ์อวกาศที่สูงกว่าเป็นศูนย์และสิ่งนี้ไม่เพียง แต่แนะนำข้อผิดพลาดโดยประมาณเพิ่มเติมเท่านั้น แต่อาจหมายความว่าคุณอาจจะโยนลูกอาบน้ำด้วยการอาบน้ำขึ้นอยู่กับสมการของคุณ

— Domingo Tavella
แหล่งที่มา