เร็วและเสถียร (ซ้าย)

ฉันต้องคำนวณจำนวนมาก $3\times3$ เมทริกซ์ผกผัน (สำหรับการสลายตัวแบบวนซ้ำของนิวตันโดยมีจำนวนผู้ป่วยที่เสื่อมสภาพน้อยมาก ( $<0.1\%$ )

การผกผันอย่างชัดเจน (ผ่านผู้เยาว์เมทริกซ์หารด้วยดีเทอร์แนนต์) ดูเหมือนว่าจะทำงานได้และประมาณ ~ 32 ~ 40 หลอมรวม flops (ขึ้นอยู่กับว่าฉันคำนวณคำนวณส่วนกลับกันอย่างไร) การไม่คำนึงถึงปัจจัยระดับสเกลเป็นเพียง 18 ฟิวชั่นฟิกซ์ (แต่ละองค์ประกอบ 9 รายการมีรูปแบบ ab-cd, 2 หลอมรวมฟลอป)

คำถาม:

มีวิธีคำนวณค่าผกผันของ $3\times 3$ ใช้น้อยกว่า 18 (กับขนาดโดยพลการ) หรือ 32 (ด้วยขนาดที่เหมาะสมพิจารณา 1 ซึ่งกันและกัน) flops ผสม?
มีวิธีการประหยัดหรือไม่ (ใช้ ~ 50 f-flops) เพื่อคำนวณค่าอินเวอร์สซ้ายหลังที่เสถียรของ a $3\times 3$ เมทริกซ์?

ฉันกำลังใช้โฟลทแม่นยำ (เกม iOS) เสถียรภาพด้านหลังเป็นแนวคิดใหม่ที่น่าสนใจสำหรับฉันและฉันต้องการทดสอบ นี่คือบทความที่กระตุ้นความคิด

— Sergiy Migdalskiy
แหล่งที่มา

สิ่งที่เกี่ยวกับการใช้ทฤษฎีบท Cayley-Hamilton สำหรับผกผัน?

— nicoguaro

หากนี่เป็นปัญหาคอขวดสำหรับคุณอัลกอริธึมอื่นสำหรับการสลายตัวของขั้วอาจจะเร็วกว่าในกรณีนี้หรือไม่? ผ่าน SVD เช่น หรือเร่งวิธีของนิวตันเช่นเดียวกับใน 3.3 ของeprints.ma.man.ac.uk/694/01/covered/MIMS_ep2007_9.pdf ?

— คิริลล์

ฉันจะพยายามคิดคำถามแรกเกี่ยวกับการอดอาหาร $3\times 3$ ผกผัน พิจารณา

A = [\begin{array}{ccc} a & d & g \\ b & e & h \\ c & f & i \end{array}]

$A=\left[ \begin{array}{ccc} a & d & g\\ b & e & h\\ c & f & i \end{array}\right]$

เนื่องจากเมทริกซ์มีขนาดเล็กและทั่วไปมาก (ไม่ต้องมีโครงสร้างใด ๆ ที่รู้จักกันเป็นเลขศูนย์, สเกลสัมพัทธ์ขององค์ประกอบ) ฉันคิดว่ามันคงเป็นไปไม่ได้ที่จะให้อัลกอริธึมสำหรับสเกลตามอำเภอใจ (โดยไม่มี $1/\det(A)$ ) ผกผันที่เร็วกว่า 18 flops หลอมรวมเป็น 9 จากองค์ประกอบแต่ละต้อง 2 หลอมรวมรองเท้าและผลิตภัณฑ์ทั้งหมดจะไม่ซ้ำกันไม่ให้ข้อมูลก่อนในรายการ 'sฉัน นี่หมายถึง adjugate (เปลี่ยนจาก cofactors) ซึ่งเป็นหลัก ผกผันกับ "ขนาดโดยพลการ" (หากมีอยู่ตรงกันข้าม) $A$ $a,\ldots,i$

A^{- 1} det (A) = adj (A) = [\begin{array}{ccc} e i - f h & d i - f g & g e - d h \\ b i - c h & a i - c g & a h - b g \\ c e - b f & a f - c d & a e - b d \end{array}]

$A^{-1}\det(A)=\text{adj}(A)= \left[\begin{array}{ccc} ei-fh & di-fg & ge-dh\\ bi-ch & ai-cg & ah-bg\\ ce-bf & af-cd & ae-bd \end{array}\right]$

adj (A)

$\text{adj}(A)$

อย่างไรก็ตามการคำนวณบางชนิดที่สามารถนำกลับมาใช้ในการคำนวณของ(A) ถ้าฉันขยายมันในคอลัมน์แรก (มีอีก 5 ตัวเลือก): ประกาศว่า (* ) ได้รับการคำนวณแล้วในระหว่างการประเมินผลของ(A) ดังนั้นส่วนกลับของดีเทอร์มิแนนต์สามารถคำนวณได้ใน 4 ฟล็อตฟิวชั่นเพิ่มเติม (ถ้าซึ่งกันและกันถือเป็น 1 ฟลอพ) $\det(A)$

\begin{aligned} det (A) & = a (e i - f h) + b (f g - d i) + c (d h - g e) \\ = a \underset{*}{\underset{⏟}{(e i - f h)}} - b \underset{*}{\underset{⏟}{(d i - f g)}} - c \underset{*}{\underset{⏟}{(g e - d h)}} \end{aligned}

$\begin{aligned} \det(A)&=a(ei-fh)+b(fg-di)+c(dh-ge)\\ &=a\underbrace{(ei-fh)}_*-b\underbrace{(di-fg)}_*-c\underbrace{(ge-dh)}_* \end{aligned}$

adj (A)

$\text{adj}(A)$

1 / det (A)

$1/\det(A)$

ตอนนี้องค์ประกอบ 9 อย่างของควรถูกปรับสัดส่วนโดยการได้รับส่วนกลับของดีเทอร์มิแนนต์เพิ่มอีก 9 flops ที่หลอมรวมแล้ว $\text{adj}(A)$

ดังนั้น,

คำนวณในช่องว่างหลอมรวม 18 ชิ้น $\text{adj}(A)$
คำนวณใน 3 หลอมรวม flops โดยใช้รายการที่คำนวณแล้ว $\det(A)$ $\text{adj}(A)$
ค้นหา (สมมติว่า 1 flop) $\frac{1}{\det(A)}$
ปรับขนาดแต่ละ elelemt ของที่คำนวณแล้วโดยในอีก 9 flops ผสม $\text{adj}(A)$ $\frac{1}{\det(A)}$

ส่งผลให้ใน + 3 18 + 1 + 9 = 31 flops คุณไม่ได้อธิบายวิธีการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของคุณ แต่ฉันเดาว่าสามารถบันทึกฟลอพเพิ่มเติมได้อีก 1 อัน หรือสามารถใช้ในการตรวจสอบในขั้นตอนที่ 3 โดยที่คือความอดทนสำหรับกรณีเลว (ไม่กลับด้าน) ทำให้เกิดflops 32 อัน (สมมติว่าเป็น 1 flop) $|\det(A)|>\epsilon$ $\epsilon$ if

ฉันไม่คิดว่าจะมีวิธีที่เร็วกว่าในการคำนวณค่าผกผันของเมทริกซ์ทั่วไปเนื่องจากการคำนวณที่เหลือทั้งหมดไม่ซ้ำกัน การใช้ Cayley-Hamilton ไม่ควรช่วยจากมุมมองความเร็วเช่นโดยทั่วไปจะต้องคำนวณสำหรับเมทริกซ์นอกเหนือจากการดำเนินการอื่น ๆ $3\times 3$ $A^2$ $3\times 3$

หมายเหตุ:

คำตอบนี้ไม่ได้จัดการกับความมั่นคงเชิงตัวเลข
ศักยภาพที่เป็นไปได้สำหรับ vectorization และรูปแบบการเข้าถึงหน่วยความจำที่เหมาะสมยังไม่ได้กล่าวถึง

— Anton Menshov
แหล่งที่มา