ฉันจะได้รับขอบเขตของการแกว่งไปมาในการแก้ปัญหาเชิงตัวเลขของสมการ advection 1D ได้อย่างไร

สมมติว่าฉันมีปัญหาการพา 1D ต่อไปนี้เป็นระยะ:

$\frac{\partial u}{\partial t} + c\frac{\partial u}{\partial x} = 0$ ใน $\Omega=[0,1]$
$u(0,t)=u(1,t)$
$u(x,0)=g(x)$
ที่ไหน $g(x)$ มีความไม่ต่อเนื่องกระโดดที่ $x^*\in (0,1)$.

มันเป็นความเข้าใจของฉันว่าสำหรับความแตกต่าง จำกัด เชิงเส้นของลำดับสูงกว่าลำดับแรกการแกว่งลวงตาเกิดขึ้นใกล้กับความไม่ต่อเนื่องเนื่องจากมีการประกาศเมื่อเวลาผ่านไปทำให้เกิดการบิดเบือนของสารละลายจากรูปร่างคลื่นที่คาดหวัง ตามคำอธิบายของวิกิพีเดียดูเหมือนว่าการแกว่งเหล่านี้มักเกิดขึ้นเมื่อฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่องถูกประมาณด้วยอนุกรมฟูเรียร์ที่แน่นอน

ด้วยเหตุผลบางอย่างฉันไม่สามารถเข้าใจได้ว่าอนุกรมฟูริเยร์ที่ จำกัด สามารถสังเกตได้ในการแก้ปัญหาของ PDE นี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งฉันจะประมาณขอบเขตของ "over-shot" analytically ได้อย่างไร

คำสั่ง upwind วิธีแรกคือเสียงเดียว มันไม่แนะนำการแกว่ง แต่มันเป็นเพียงคำสั่งแรกที่ถูกต้องส่งผลให้เกิดการแพร่กระจายของตัวเลขมากจนไม่สามารถใช้งานได้สำหรับหลาย ๆ วัตถุประสงค์ ทฤษฎีบทของ Godunovระบุว่า discretizations เชิงเส้นเชิงพื้นที่สูงกว่าลำดับแรกไม่สามารถเป็นโมโนโทน ในการควบคุมการแกว่งอย่างจริงจังเราใช้แผนการรวมการแปรปรวน Diminishing (TVD) โดยทั่วไปวิธีการ TVD ถูก จำกัด ให้มีความถูกต้องตามลำดับที่สอง สำหรับคำสั่งซื้อที่สูงขึ้นเราจะต้องผ่อนคลายคำขอของเราซึ่งนำไปสู่วิธีการแปรผันโดยรวม (TVB) เช่น (ถ่วงน้ำหนัก) Essential Non-Oscillatory ((W) ENO) หรือเราต้องผ่อนคลายนิยามของ TVD เป็น "การรักษาหลักการสูงสุด" หรือคล้ายกันที่ extrema เริ่มต้นอยู่ในแง่ของการแก้ปัญหาสร้างขึ้นใหม่เริ่มต้นส่งผลให้รูปแบบการ จำกัด การพิเศษ

การแยกความแตกต่าง จำกัด เชิงเส้นของปัญหา 1D ที่มีขอบเขตเป็นระยะจะนำไปสู่การแยกแยะรูปแบบ

$$U^{n+1} = LU^n$$

ที่ไหน $L$เป็นเมทริกซ์ circulant eigenvectors ของเมทริกซ์ circulant ใด ๆ เป็นโหมดฟูริเยร์แบบแยก

$$v_j = \exp(ijh\xi)$$ (ที่นี่ $h$ เป็นระยะห่างกริดและ $\xi$คือ wavenumber ซึ่งมีค่าตั้งแต่ศูนย์จนถึงสูงสุด wavenumber ที่สามารถแทนได้ในตาราง) eigenvectors เหล่านี้เป็นพื้นฐานสำหรับฟังก์ชั่นทั้งหมดที่สามารถแสดงในตาราง หากคุณแสดงวิธีการแก้ปัญหาในแง่ของโหมดฟูริเยร์ต่อเนื่องดังนั้นวิธีการเชิงตัวเลขจะถูกเส้นทแยงมุมนั่นคือแต่ละองค์ประกอบของฟูริเยร์จะถูกคูณด้วยปัจจัยสเกลาร์ (ซับซ้อนโดยทั่วไป) ในแต่ละขั้นตอน ปัจจัยที่เกลามักจะเรียกว่าเป็นปัจจัยการขยายและสิ่งที่ผมได้อธิบายเพียงเป็นที่รู้จักกันวิเคราะห์ von Neumann มันคล้ายกับการวิเคราะห์ฟูริเยร์ของ PDE เชิงเส้นซึ่งใช้พื้นฐานของฟูริเยร์เพื่อ "diagonalize" ผู้ประกอบการเชิงเส้นเชิงเส้น

คุณสามารถหาคำอธิบายที่ดีตัวอย่างเช่นในข้อความของStrikwerdaหรือLeVeque

ความผันผวนที่ไม่จริงทั้งหมดนั้นเป็นปรากฏการณ์ของกิ๊บส์ พวกมันดูคล้ายกัน แต่มีความผันผวนของกิ๊บส์สำหรับการประมาณค่าฟูริเยร์ทุกฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่อง (พวกมันจะเล็กลงเมื่อคุณเพิ่มคำเพิ่มเติม) ในขณะที่มีฟังก์ชั่นไม่ต่อเนื่องของฟังก์ชันไม่ต่อเนื่องที่เป็นผลมาจากการแก้ปัญหาของการประมาณความแตกต่างแน่นอนกับ PDEs ที่ไม่จำเป็นต้องมีซีรีย์ไม่สิ้นสุด

Bathe ( การทดสอบ Inf - sup ของวิธี upwind , PDF) มีเอกสารสำหรับวิธีไฟไนต์อิลิเมนต์ (การพาความร้อน, การกระจาย IIRC) ใน 1-D ที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณค่าคงที่สำหรับ$\inf$-เงื่อนไขและเกี่ยวข้องกับการแกว่ง คุณอาจได้รับข้อมูลเชิงลึกจากสิ่งนั้น$\sup$

สำหรับคำถามสุดท้ายของคุณเกี่ยวกับการเชื่อมต่อระหว่างอนุกรมฟูริเยร์อนุกรมและการประมาณองค์ประกอบ จำกัด : โดยทั่วไปถ้าคุณพยายามฉายภาพฟังก์ชั่นด้วยการกระโดดขึ้นไปบนพื้นที่มิติ จำกัด ซึ่งฟังก์ชันพื้นฐานต่อเนื่องคุณจะได้รับปรากฏการณ์กิ๊บส์ นี่คือความจริงถ้าพื้นฐานเป็นอนุกรมฟูริเยร์ จำกัด (ที่ฟังก์ชันพื้นฐานคือไซน์และโคไซน์) หรือถ้าพื้นฐานเป็นฟังก์ชันหมวกองค์ประกอบ จำกัด ปกติ - เป็นคุณสมบัติของการฉายบวกกับความไม่เหมาะสมของฟังก์ชันพื้นฐาน

วิธีหนึ่งคือผ่านสมการที่เทียบเท่านั่นคือสมการเชิงอนุพันธ์ที่วิธีการแยกของคุณให้การประมาณที่ใกล้เคียงที่สุด นี่ไม่ใช่สมการเชิงอนุพันธ์ที่คุณตั้งใจจะแก้ จากนั้นคุณดูที่วิธีแก้ปัญหาเชิงเส้นกำกับของสมการเทียบเท่าสำหรับฟังก์ชันขั้นตอนเป็นข้อมูลเริ่มต้น ดูที่ Bouche, D. , Bonnaud, G. และ Ramos, D. , 2003 การเปรียบเทียบโครงร่างตัวเลขสำหรับการแก้สมการการพาความร้อน ตัวอักษรคณิตศาสตร์ประยุกต์ 16 (2), pp.147-154