- การรวมกันของวิธีไฟไนต์เอลิเมนต์เมื่อด้านขวามือเป็น (Poisson eqn)

ฉันรู้ว่าประมาณชิ้นองค์ประกอบ จำกัด เชิงเส้นของ พอใจ ให้เป็นพอราบรื่นและ(U) $u_h$

Δ u (x) = f (x) in U u (x) = 0 on \partial U

$\Delta u(x)=f(x)\quad\text{in }U\\ u(x)=0\quad\text{on }\partial U$

‖ u - u_{h} ‖_{H_{0}^{1} (U)} \leq C h ‖ f ‖_{L^{2} (U)}

$\|u-u_h\|_{H^1_0(U)}\leq Ch\|f\|_{L^2(U)}$

U

$U$

f \in L^{2} (U)

$f\in L^2(U)$

คำถาม:ถ้า $f\in H^{-1}(U)\setminus L^2(U)$ เรามีการประมาณการแบบต่อไปนี้หรือไม่ซึ่งอนุพันธ์ตัวหนึ่งถูกนำออกไปทั้งสองด้าน:

‖ u - u_{h} ‖_{L^{2} (U)} \leq C h ‖ f ‖_{H^{- 1} (U)} ?

$\|u-u_{h}\|_{L^2(U)}\leq Ch\|f\|_{H^{-1}(U)}\quad?$

คุณสามารถให้การอ้างอิง?

ความคิด:เนื่องจากเรายังคงมี $u\in H^1_0(U)$ ก็ควรจะเป็นไปได้ที่จะได้รับการบรรจบกันใน $L^2(U)$ (U) โดยสังหรณ์ใจสิ่งนี้ควรเป็นไปได้ด้วยฟังก์ชั่นค่าคงที่ทีละชิ้น

— Bananach
แหล่งที่มา

ผมคิดว่าคุณจะได้รับจากมาตรฐาน Nitsche เคล็ดลับแม้สำหรับ 1 คุณสามารถค้นหาสิ่งนี้ได้เช่นในองค์ประกอบ Braess - Finite

‖ u - u_{h} ‖_{0} \leq C h ‖ u - u_{h} ‖_{1}

$\|u-u_h\|_0 \leq C h \|u-u_h\|_1$

u \in H^{1}

$u \in H^1$

— knl

ใช่นี่เป็นกลอุบายมาตรฐานAubin-Nitsche (หรือคู่ ) ความคิดคือการใช้ความจริงที่ว่าเป็นพื้นที่คู่ของตัวเองในการเขียนปกติเป็นตัวดำเนินการ norm เราจึงต้องมีการประเมินสำหรับพล 2 ในการทำเช่นนั้นเรา "ยก"เป็นโดยพิจารณาเป็นอันดับแรกสำหรับวิธีแก้ปัญหาของปัญหาคู่ $L^2$ $L^2$

‖ u ‖_{L^{2}} = sup_{ϕ \in L^{2} ∖ {0}} \frac{(u, ϕ)}{‖ ϕ ‖_{L^{2}}} .

$\|u\|_{L^2} = \sup_{\phi\in L^2\setminus\{0\}} \frac{(u,\phi)}{\|\phi\|_{L^2}}.$

(u - u_{h}, ϕ)

$(u-u_h,\phi)$

ϕ \in L^{2}

$\phi\in L^2$

u - u_{h}

$u-u_h$

H_{0}^{1}

$H^1_0$

ϕ \in L^{2}

$\phi\in L^2$

w_{ϕ} \in H_{0}^{1}

$w_\phi\in H^1_0$

\begin{matrix} (1) & (\nabla w_{ϕ}, \nabla v) = (ϕ, v) for all v \in H_{0}^{1} . \end{matrix}

$\label{eq1}\tag{1} (\nabla w_\phi,\nabla v) =(\phi,v) \qquad\text{for all }v\in H^1_0.$ การใช้ความสม่ำเสมอมาตรฐานของสมการปัวซองเรารู้ว่า

‖ w_{ϕ} ‖_{H^{2}} \leq C ‖ ϕ ‖_{L^{2}} .

$\|w_\phi\|_{H^2}\leq C \|\phi\|_{L^2}.$

การใส่ในและใช้ Galerkin orthogonality สำหรับองค์ประกอบ จำกัด ใด ๆ (ในกรณีของคุณฟังก์ชันเชิงเส้นเป็นชิ้น)ให้ค่าประมาณ ตั้งแต่นี้ถือสำหรับทุก , ความไม่สมดุลกันยังคงเป็นจริงถ้าเราใช้เวลา infimum มากกว่าทุกค่เชิงเส้นw_hดังนั้นเราจึงได้รับ $v=u-u_h\in H^1_0$ $\eqref{eq1}$ $w_h$

\begin{aligned} (ϕ, u - u_{h}) & = (\nabla w_{ϕ}, \nabla (u - u_{h})) \\ = (\nabla w_{ϕ} - \nabla w_{h}, \nabla (u - u_{h})) \\ \leq C ‖ u - u_{h} ‖_{H^{1}} ‖ w_{ϕ} - w_{h} ‖_{H^{1}} . \end{aligned}

$\begin{aligned} (\phi,u-u_h) &= (\nabla w_\phi,\nabla (u-u_h))\\ &= (\nabla w_\phi-\nabla w_h,\nabla (u-u_h))\\ &\leq C \|u-u_h\|_{H^1}\|w_\phi-w_h\|_{H^1}. \end{aligned}$

w_{h}

$w_h$

w_{h}

$w_h$

\begin{matrix} (2) & ‖ u - u_{h} ‖_{L^{2}} = sup_{ϕ \in L^{2} ∖ {0}} \frac{(u - u_{h}, ϕ)}{‖ ϕ ‖_{L^{2}}} \leq C ‖ u - u_{h} ‖_{H^{1}} sup_{ϕ \in L^{2} ∖ {0}} \frac{inf_{w_{h}} ‖ w_{ϕ} - w_{h} ‖_{H^{1}}}{‖ ϕ ‖_{L^{2}}} . \end{matrix}

$\label{eq2}\tag{2} \|u-u_h\|_{L^2} = \sup_{\phi\in L^2\setminus\{0\}} \frac{(u-u_h,\phi)}{\|\phi\|_{L^2}} \leq C \|u-u_h\|_{H^1} \sup_{\phi\in L^2\setminus\{0\}} \frac{\inf_{w_h}\|w_\phi-w_h\|_{H^1}}{\|\phi\|_{L^2}}.$ นี่คือAubin-Nitsche-แทรก

ขั้นตอนต่อไปคือตอนนี้ใช้ประมาณการข้อผิดพลาดมาตรฐานสำหรับการประมาณองค์ประกอบ จำกัด ที่ดีที่สุดของการแก้สมการปัวซอง เนื่องจากอยู่ในเท่านั้นเราจึงไม่ได้ประมาณการที่ดีกว่า แต่โชคดีที่เราสามารถใช้ความจริงที่ว่ามีความสม่ำเสมอที่สูงขึ้นตั้งแต่ด้านขวามือแทน1} ในกรณีนี้เรามี แทรกและเข้าไป $u$ $H^1$

\begin{matrix} (3) & ‖ u - u_{h} ‖_{H^{1}} \leq inf_{v_{h}} ‖ u - v_{h} ‖_{H^{1}} \leq c ‖ u ‖_{H^{1}} \leq C ‖ f ‖_{H^{- 1}} . \end{matrix}

$\label{eq3}\tag{3} \|u-u_h\|_{H^1} \leq \inf_{v_h}\|u-v_h\|_{H^1} \leq c \|u\|_{H^1} \leq C \|f\|_{H^{-1}}.$

w_{ϕ}

$w_\phi$

ϕ \in L^{2}

$\phi\in L^2$

H^{- 1}

$H^{-1}$

\begin{matrix} (4) & inf_{w_{h}} ‖ w_{ϕ} - w_{h} ‖_{H^{1}} \leq c h ‖ w_{ϕ} ‖_{H^{2}} \leq C h ‖ ϕ ‖_{L^{2}} \end{matrix}

$\label{eq4}\tag{4} \inf_{w_h}\|w_\phi-w_h\|_{H^1} \leq c h \|w_\phi\|_{H^2} \leq C h \|\phi\|_{L^2}$

(3)

$\eqref{eq3}$

(4)

$\eqref{eq4}$

(2)

$\eqref{eq2}$ ตอนนี้ให้ผลการประมาณการที่ต้องการ

(หมายเหตุว่าประมาณการมาตรฐานที่จำเป็นต้องมีการศึกษาระดับปริญญาพหุนามของประมาณองค์ประกอบ จำกัด และตัวแทน Sobolevของการแก้ปัญหาที่แท้จริงของความพึงพอใจดังนั้นเรื่องนี้ไม่ทำงานสำหรับค่คงที่ ( ) ประมาณ นอกจากนี้เรายังใช้ว่า - นั่นคือเรามีการประมาณที่สอดคล้องกัน - ซึ่งไม่เป็นความจริงสำหรับค่าคงที่แบบชิ้นเดียว) $k$ $m$ $m<k+1$ $k=0$ $u-u_h\in H^1_0$

เนื่องจากคุณขอข้อมูลอ้างอิง: คุณสามารถค้นหาข้อความสั่ง (แม้กระทั่งช่องว่าง Sobolev เชิงลบแทนที่จะเป็น ) ในทฤษฎีบท 5.8.3 (พร้อมด้วยทฤษฎีบท 5.4.8) ใน $H^{-s}$ $L^2$

ซูซานซีเบรนเนอร์และแอลริดจ์เวสกอตต์ , MR 2373954 ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ของระเบียบวิธีไฟไนต์เอลิเมน ต์ , ตำราคณิตศาสตร์ประยุกต์ ISBN: 978-0-387-75933-3

— คริสเตียนโคลสัน
แหล่งที่มา

และฉันจะใช้ประโยชน์จากคุณลักษณะการอ้างอิงใหม่ที่เป็นประกายของเรา :)

— Christian Clason

ขอบคุณสำหรับคำตอบของคุณ แต่ฟังก์ชั่นอย่างต่อเนื่องไม่ได้ฝังลงในพวกเขา?

H_{0}^{1}

$H^1_0$

— Bananach

ใช่ขอโทษฉันลูบที่นั่น - พวกมันหนาแน่น แต่ไม่ฝัง อาร์กิวเมนต์ Duality ใช้งานได้เหมือนกัน (แค่ใช้งานกับและโดยตรง) ฉันจะแก้ไขคำตอบของฉัน

H_{0}^{1}

$H^1_0$

H^{- 1}

$H^{-1}$

— Christian Clason

ขอบคุณสำหรับการอัปเดตที่ครอบคลุม และสำหรับการค้นหาการอ้างอิงที่เป็นประกายอีกครั้ง

— Bananach

@Praveen ฉันไม่คิดว่าคุณต้องการทฤษฎีใด ๆ ที่นี่ เลือกอย่างง่ายเพื่อให้คงที่เป็นศูนย์

v_{h}

$v_h$

— Bananach