การค้นหาจุดสามเหลี่ยมที่อยู่ใน

สมมติว่าผมมี 2D ตาข่ายประกอบด้วยสามเหลี่ยม nonoverlapping $\{T_k\}_{k=1}^N$และชุดของจุด$\{p_i\}_{i=1}^M \subset \cup_{k=1}^N T_K$ K วิธีที่ดีที่สุดในการกำหนดสามเหลี่ยมแต่ละจุดนั้นคืออะไร

ตัวอย่างเช่นในภาพต่อไปนี้เรามี , ,ดังนั้นฉันต้องการฟังก์ชันที่ส่งคืนรายการ .$p_1 \in T_2$$p_2 \in T_4$$p_3 \in T_2$$f$$f(p_1,p_2,p_3)=[2,4,2]$

Matlab มีฟังก์ชั่นชี้ตำแหน่งซึ่งทำสิ่งที่ฉันต้องการสำหรับ Delaunay meshes แต่มันล้มเหลวสำหรับ mesh ทั่วไป

ความคิดแรก (โง่) ของฉันคือสำหรับโหนดวนรอบสามเหลี่ยมทั้งหมดเพื่อหาสามเหลี่ยมp i ที่อยู่ในอย่างไรก็ตามนี่ไม่มีประสิทธิภาพมาก - คุณอาจต้องวนซ้ำทุกสามเหลี่ยมทุกจุดดังนั้นจึง สามารถทำงานO ( N ⋅ M )ได้$p_i$$p_i$$O(N \cdot M)$

ความคิดต่อไปของฉันคือสำหรับทุกจุดค้นหาโหนดโหนดที่ใกล้ที่สุดผ่านการค้นหาเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุดจากนั้นมองผ่านรูปสามเหลี่ยมที่แนบกับโหนดที่ใกล้ที่สุด ในกรณีนี้งานจะเป็นO ( a ⋅ M ⋅ l o g ( $p_i$โดยที่ aคือจำนวนสามเหลี่ยมสูงสุดที่ยึดติดกับโหนดใด ๆ ในตาข่าย มีสองประเด็นที่แก้ไขได้ แต่น่ารำคาญด้วยวิธีนี้$O(a\cdot M\cdot log(N))$$a$

• มันต้องใช้การค้นหาเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุดที่มีประสิทธิภาพ (หรือการค้นหาห้องสมุดที่มี) ซึ่งอาจเป็นงานที่ไม่สำคัญ
• มันต้องการการจัดเก็บรายการที่ติดสามเหลี่ยมไว้กับแต่ละโหนดซึ่งขณะนี้โค้ดของฉันยังไม่ได้ตั้งค่า - ตอนนี้มีเพียงรายการของพิกัดโหนดและรายการองค์ประกอบ

ดูเหมือนว่าไม่เหมาะสมทั้งหมดและฉันคิดว่าควรจะมีวิธีที่ดีกว่า นี่เป็นปัญหาที่เกิดขึ้นมากมายดังนั้นฉันจึงสงสัยว่าใครจะแนะนำวิธีที่ดีที่สุดในการค้นหาว่าโหนดใดมีสามเหลี่ยมอยู่ในนั้นไม่ว่าในทางทฤษฎีหรือในแง่ของห้องสมุดที่มีอยู่

ขอบคุณ!

วิธีการข้ามขอบแบบสุ่มปกติควรใช้งานได้ โดยทั่วไปเริ่มต้นด้วยสามเหลี่ยมใด ๆ ของตาข่ายจากนั้นกำหนดว่าจุดใดที่ขอบเป้าหมายอยู่ที่ด้านตรงข้ามของ กล่าวคือกำหนดว่าขอบใดเมื่อขยายออกเป็นเส้นให้แยกจุดออกจากด้านในของรูปสามเหลี่ยม เมื่อมีความเป็นไปได้สองแบบให้เลือกหนึ่งโดยการสุ่มและพิจารณาสามเหลี่ยมที่อยู่ติดกับขอบที่แบ่งปันนั้นและทำซ้ำ การสุ่มควรทำให้วิธีนี้มาบรรจบกันกับความน่าจะเป็นที่ 1 สำหรับการหาสามเหลี่ยมของ Delaunay และฉันไม่สามารถคิดได้ด้วยเหตุผลว่าทำไมมันจึงไม่เหมาะสำหรับการหาค่าแบบสามเหลี่ยมโดยพลการ

$O(\log N)$$O(M \log N)$$M$

แก้ไข 2 : พบPDF นี้ที่อธิบายรูปแบบ "การเดิน" ที่รับประกันว่าจะยุติและทบทวนวิธีการที่ไร้เดียงสามากขึ้น

อีกทางเลือกหนึ่งในการใช้ควอดทรีคือการใช้ลำดับชั้นของสมการ ดู Olivier Devillers ปรับปรุง Delaunay triangulation ที่สุ่มเพิ่มขึ้น ในพรอ. 14 Annu ACM Sympos คอมพิวเต Geom., หน้า 106-115, 1998 มันทำงานได้ดีที่สุดสำหรับการหาสามเหลี่ยม Delaunay แต่ยังสามารถใช้ได้กับ Delaunay ที่ไม่ใช่

โดยทั่วไปสิ่งที่คุณทำเพื่อเพิ่มความเร็วในตำแหน่งจุดจะต้องมีการสร้างโครงสร้างข้อมูลเสริม ในกรณีของควอดทรีหรือการแบ่งเชิงพื้นที่อื่นคุณจำเป็นต้องสร้างทรีบิวชัน ในกรณีของการกระโดดขอบคุณจำเป็นต้องสร้างโครงสร้างทอพอโลยีสามเหลี่ยมที่อยู่ติดกัน ลำดับชั้นของการกำหนดสามเหลี่ยมยังต้องสร้างต้นไม้ที่มีรูปสามเหลี่ยมที่หยาบกว่าด้วย

ฉันไม่มั่นใจว่าทางออกของคุณถูกต้องจริง พิจารณาสถานการณ์ที่คุณมีโหนดเหล่านี้:

• A: (-3, 1)
• B: (0, 2)
• C: (3, 1)
• D: (0, -5)

มีรูปสามเหลี่ยม ABC และ ACD ตอนนี้ B คือจุดที่ใกล้จุดกำเนิดมากที่สุด แต่ต้นกำเนิดอยู่ในรูปสามเหลี่ยม ACD ซึ่งไม่มี B

$O(N \cdot M)$แต่โดยทั่วไปจะเร็วกว่า - โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับ Delaunay triangulations และ triangulations ใกล้เคียงกับบางแง่มุม

ฉันจะพิจารณาตัวเลือกในการสร้างควอดทรีที่มีรูปสามเหลี่ยมเอง นั่นคือคุณมีต้นควอเทนนารี่ที่เก็บไว้ในแต่ละโหนด (ซึ่งสอดคล้องกับกล่องขอบเขต):

• พิกัดที่กล่องถูกแบ่งหรืออีกทางหนึ่งคือกล่องที่มีขอบเขตของ subtrees ย่อยทั้งสี่
• ตัวชี้ไปยังทรีย่อย
• ชุดของสามเหลี่ยมที่ตกลงไปในกล่องขอบของสี่เหลี่ยมนี้อย่างสมบูรณ์ แต่ไม่ได้อยู่ในตำแหน่งย่อยทั้งสี่ กล่าวอีกนัยหนึ่งสามเหลี่ยมที่ตัดกับส่วนของเส้นแบ่งย่อยสองส่วนใด ๆ ของควอดทรี

$\sqrt{n}$$n$$\log n$$O(N\cdot M)$

CGALจัดการกับสมการและตำแหน่งของจุด (และอีกมากมาย) โดยเฉพาะอย่างยิ่งโมดูลการคำนวณสมการ 2Dสามารถทำสิ่งที่คุณต้องการ