ตัวอย่างที่ใช้ได้จริงว่าทำไมมันไม่ดีที่จะกลับเมทริกซ์

ฉันทราบเกี่ยวกับการแปลงเมทริกซ์เพื่อแก้ปัญหาระบบเชิงเส้นไม่ใช่ความคิดที่ดีเนื่องจากมันไม่ถูกต้องและมีประสิทธิภาพเท่ากับการแก้ไขระบบโดยตรงหรือใช้การสลาย LU, Cholesky หรือ QR

อย่างไรก็ตามฉันไม่สามารถตรวจสอบสิ่งนี้ด้วยตัวอย่างที่ใช้งานได้จริง ฉันได้ลองใช้รหัสนี้ (ใน MATLAB)

M   = 500;    
A   = rand(M,M);
A   = real(expm(1i*(A+A.')));
b   = rand(M,1);

x1  = A\b;
x2  = inv(A)*b;

disp(norm(b-A*x1))
disp(norm(b-A*x2))

และค่าคงที่จะเป็นแบบเดียวกันเสมอ (10 ^ -13)

มีคนให้ตัวอย่างที่เป็นประโยชน์ซึ่ง inv (A) * b ไม่ถูกต้องน้อยกว่า A \ b หรือไม่

------ อัปเดตคำถาม ------

ขอบคุณสำหรับคำตอบ อย่างไรก็ตามสมมติว่าเราต้องแก้$n$ระบบ$Ax = b$โดยที่$A$มักเป็นเมทริกซ์เดียวกันเสมอ พิจารณาว่า

- $A$เต็มและ$A^{-1}$ต้องการหน่วยความจำเดียวกันกับ$A$

- หมายเลขเงื่อนไขของเล็กดังนั้นA - $A$$A^{-1}$สามารถคำนวณได้อย่างแม่นยำ

ในกรณีนี้การคำนวณจะมีประสิทธิภาพมากกว่าการใช้การแยกย่อย LU หรือไม่ ตัวอย่างเช่นฉันได้ลองใช้รหัส Matlab นี้แล้ว:$A^{-1}$

%Set A and b:
M           = 1000; 
A           = rand(M,M);
A           = real(expm(1i*(A+A.')));
b           = rand(M,1);

%Times we solve the system:
n           = 3000;

%Performing LU decomposition:
disp('Performing LU decomposition')
tic
[L,U,P]     = lu(A);
toc
fprintf('\n')

%Solving the system n times with LU decomposition:
optsL.LT    = true;   %Options for linsolve
optsU.UT    = true;
disp('Solving the system n times using LU decomposition')
tic
for ii=1:n
    x1      = linsolve(U, linsolve(L,P*b,optsL) , optsU);
end
toc
fprintf('\n')

%Computing inverse of A:
disp('Computing inverse of A')
tic
Ainv        = inv(A);
toc
fprintf('\n')

%Solving the system n times with Ainv:
disp('Solving the system n times with A inv')
tic
for ii=1:n
    x2  = Ainv*b;
end
toc
fprintf('\n')

disp('Residuals')
disp(norm(b-A*x1))
disp(norm(b-A*x2))

disp('Condition number of A')
disp(cond(A))

สำหรับเมทริกซ์ที่มีหมายเลขเงื่อนไขประมาณ 450 ส่วนที่เหลือคือในทั้งสองกรณี แต่ใช้เวลา 19 วินาทีสำหรับการแก้ปัญหาระบบ n ครั้งโดยใช้การสลายตัวของ LU ในขณะที่การใช้อินเวอร์สของ A จะใช้เวลาเพียง 9 วินาที$O(10^{-11})$

โดยทั่วไปมีเหตุผลบางอย่างที่ต้องการแก้ปัญหาระบบเชิงเส้นให้ใช้อินเวอร์ส สั้น ๆ :

• ปัญหากับหมายเลขตามเงื่อนไข (ความเห็น @GoHokies)
• ปัญหาในกรณีกระจัดกระจาย (@ChrisRackauckas ตอบ)
• ประสิทธิภาพ (ความคิดเห็น @Kirill)

อย่างไรก็ตามตามที่ @ChristianClason ตั้งข้อสังเกตในความคิดเห็นอาจมีบางกรณีที่การใช้อินเวอร์สเป็นตัวเลือกที่ดี

ในบันทึกย่อ / บทความโดย Alex Druinsky, Sivan Toledo, วิธีการที่ถูกต้อง inv (A) * b มีการพิจารณาบางอย่างเกี่ยวกับปัญหานี้

ตามกระดาษเหตุผลหลักสำหรับการตั้งค่าทั่วไปที่จะใช้แก้ปัญหาระบบเชิงเส้นอยู่ภายในประมาณการทั้งสองนี้ ( เป็นทางออกที่แท้จริง): $x$

ตอนนี้การประมาณค่าสำหรับผกผันสามารถปรับปรุงได้ภายใต้เงื่อนไขบางอย่างเหนือผกผันให้ดูทฤษฎีบท 1 ในกระดาษ แต่สามารถมีความถูกต้องตามเงื่อนไขและไม่เสถียรย้อนหลัง$x_V$

กระดาษแสดงกรณีที่เกิดเหตุการณ์นี้ ( คือสิ่งที่ตรงกันข้าม)$V$

$V$

$V$$||x_V||$$||x||$

$b$$A$

ดังนั้นโอกาสที่จะใช้หรือไม่ตรงกันข้ามนั้นขึ้นอยู่กับแอพพลิเคชั่นคุณสามารถตรวจสอบบทความและดูว่าคุณมีคุณสมบัติตรงตามเงื่อนไขหรือไม่หากต้องการความเสถียรแบบย้อนกลับหรือหากคุณไม่ต้องการ

โดยทั่วไปแล้วในความคิดของฉันมีความปลอดภัยมากขึ้นในการแก้ปัญหาระบบเชิงเส้น

$\Delta u$

$A$

$A$$I-\gamma A$SpecialMatrices.jl

julia> using SpecialMatrices
julia> Strang(5)
5×5 SpecialMatrices.Strang{Float64}:
 2.0  -1.0   0.0   0.0   0.0
-1.0   2.0  -1.0   0.0   0.0
 0.0  -1.0   2.0  -1.0   0.0
 0.0   0.0  -1.0   2.0  -1.0
 0.0   0.0   0.0  -1.0   2.0

$n$$\mathcal{O}(3n)$$\mathcal{O}(1)$

อย่างไรก็ตามสมมุติว่าเราต้องการกลับเมทริกซ์

julia> inv(collect(Strang(5)))
5×5 Array{Float64,2}:
 0.833333  0.666667  0.5  0.333333  0.166667
 0.666667  1.33333   1.0  0.666667  0.333333
 0.5       1.0       1.5  1.0       0.5
 0.333333  0.666667  1.0  1.33333   0.666667
 0.166667  0.333333  0.5  0.666667  0.833333

$\mathcal{O}(n^2)$

\IterativeSolvers.jl$Ax=b$$A^{-1}$$A$

ดังที่คนอื่น ๆ ได้กล่าวถึงหมายเลขเงื่อนไขและข้อผิดพลาดเชิงตัวเลขเป็นอีกเหตุผลหนึ่ง แต่ความจริงที่ว่าค่าผกผันของเมทริกซ์เบาบางนั้นหนาแน่นจะให้ความชัดเจนมาก "นี่เป็นความคิดที่ไม่ดี"