สำหรับข้อมูลที่มีเสียงดังหรือมีโครงสร้างที่ดีจะมีกำลังสองดีกว่ากฎจุดกึ่งกลางหรือไม่

คำถามสองข้อแรกเท่านั้นที่มีความสำคัญ อื่น ๆ เป็นเพียงภาพประกอบ

พื้นหลัง

สี่เหลี่ยมจัตุรัสขั้นสูงเช่นคอมโพสิตระดับสูงกว่านิวตัน –Cotes, Gauß – Legendre และ Romberg ส่วนใหญ่จะมีไว้สำหรับกรณีที่หนึ่งสามารถตัวอย่างฟังก์ชั่นอย่างละเอียด แต่ไม่รวมการวิเคราะห์ อย่างไรก็ตามสำหรับฟังก์ชั่นที่มีโครงสร้างที่ดีกว่าช่วงเวลาการสุ่มตัวอย่าง (ดูภาคผนวก A สำหรับตัวอย่าง) หรือเสียงการวัดพวกเขาไม่สามารถแข่งขันด้วยวิธีง่าย ๆ เช่นกฎกึ่งกลางหรือกฎสี่เหลี่ยมคางหมู (ดูภาคผนวก B สำหรับการสาธิต)

สิ่งนี้ค่อนข้างใช้งานง่ายเช่นกฎคอมโพสิตของซิมป์สันนั้น“ ทิ้ง” หนึ่งในสี่ของข้อมูลโดยการกำหนดน้ำหนักให้ต่ำลง เหตุผลเดียวที่ทำให้รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสดังกล่าวดีกว่าสำหรับฟังก์ชั่นที่น่าเบื่ออย่างเพียงพอนั่นคือการจัดการผลกระทบของเส้นขอบอย่างเหมาะสมนั้นมีมากกว่าผลกระทบของข้อมูลที่ถูกทิ้ง จากมุมมองอื่นมันชัดเจนสำหรับฉันว่าสำหรับฟังก์ชั่นที่มีโครงสร้างหรือเสียงที่ดีตัวอย่างที่อยู่ห่างจากชายแดนของโดเมนการรวมจะต้องมีระยะเวลาเท่ากันและมีน้ำหนักเกือบเท่ากัน (สำหรับตัวอย่างจำนวนมาก ) ในทางกลับกันการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสของฟังก์ชั่นดังกล่าวอาจได้รับประโยชน์จากการจัดการผลกระทบชายแดนที่ดีกว่า

คำถาม

สมมติว่าฉันต้องการรวมข้อมูลที่มีโครงสร้างแบบมิติเดียวที่มีเสียงดังหรือแบบละเอียด

จำนวนของจุดสุ่มตัวอย่างได้รับการแก้ไข (เนื่องจากการประเมินฟังก์ชั่นมีราคาแพง) แต่ฉันสามารถวางมันได้อย่างอิสระ อย่างไรก็ตามฉัน (หรือวิธีการ) ไม่สามารถวางจุดสุ่มตัวอย่างแบบโต้ตอบเช่นขึ้นอยู่กับผลลัพธ์จากจุดสุ่มตัวอย่างอื่น ๆ ฉันยังไม่ทราบภูมิภาคที่มีปัญหาที่อาจเกิดขึ้นก่อน ดังนั้นบางอย่างเช่นGauß – Legendre (จุดสุ่มตัวอย่างที่ไม่เท่ากัน) ก็โอเค การสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสปรับตัวไม่ได้เนื่องจากต้องการจุดสุ่มตัวอย่างแบบโต้ตอบ

• มีวิธีการใดที่นอกเหนือไปจากวิธีการจุดกึ่งกลางที่เสนอสำหรับกรณีเช่นนี้หรือไม่?

• หรือ: มีข้อพิสูจน์ว่าวิธีการจุดกึ่งกลางดีที่สุดภายใต้เงื่อนไขดังกล่าวหรือไม่?

• โดยทั่วไป: มีงานใดที่มีปัญหานี้หรือไม่

ภาคผนวก A: ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจงของฟังก์ชั่นปรับโครงสร้าง

ฉันต้องการประมาณ for: กับและ[1,1000] ฟังก์ชั่นทั่วไปมีลักษณะเช่นนี้:$\int_0^1f(t)\, \mathrm{d}t$

$$f(t) = \sum_{i=1}^{k} \frac{\sin(ω_i t-φ_i)}{ω_i},$$ $φ_i∈ [0,2π]$$\log{ω_i} ∈ [1,1000]$

ฉันเลือกฟังก์ชั่นนี้สำหรับคุณสมบัติต่อไปนี้:

• สามารถบูรณาการเชิงวิเคราะห์เพื่อให้ได้ผลลัพธ์การควบคุม
• มันมีโครงสร้างที่ดีในระดับที่ทำให้ไม่สามารถจับภาพทั้งหมดด้วยจำนวนตัวอย่างที่ฉันใช้ ( )$<10^2$
• มันไม่ได้ถูกครอบงำด้วยโครงสร้างที่ดี

ภาคผนวก B: เกณฑ์มาตรฐาน

เพื่อความสมบูรณ์นี่คือมาตรฐานใน Python:

import numpy as np
from numpy.random import uniform
from scipy.integrate import simps, trapz, romb, fixed_quad

begin = 0
end   = 1

def generate_f(k,low_freq,high_freq):
    ω = 2**uniform(np.log2(low_freq),np.log2(high_freq),k)
    φ = uniform(0,2*np.pi,k)
    g = lambda t,ω,φ: np.sin(ω*t-φ)/ω
    G = lambda t,ω,φ: np.cos(ω*t-φ)/ω**2
    f = lambda t: sum( g(t,ω[i],φ[i]) for i in range(k) )
    control = sum( G(begin,ω[i],φ[i])-G(end,ω[i],φ[i]) for i in range(k) )
    return control,f

def midpoint(f,n):
    midpoints = np.linspace(begin,end,2*n+1)[1::2]
    assert len(midpoints)==n
    return np.mean(f(midpoints))*(n-1)

def evaluate(n,control,f):
    """
    returns the relative errors when integrating f with n evaluations
    for several numerical integration methods.
    """
    times = np.linspace(begin,end,n)
    values = f(times)
    results = [
            midpoint(f,n),
            trapz(values),
            simps(values),
            romb (values),
            fixed_quad(f,begin,end,n=n)[0]*(n-1),
        ]

    return [
            abs((result/(n-1)-control)/control)
            for result in results
        ]

method_names = ["midpoint","trapezoid","Simpson","Romberg","Gauß–Legendre"]

def med(data):
    medians = np.median(np.vstack(data),axis=0)
    for median,name in zip(medians,method_names):
        print(f"{median:.3e}   {name}")

print("superimposed sines")
med(evaluate(33,*generate_f(10,1,1000)) for _ in range(100000))

print("superimposed low-frequency sines (control)")
med(evaluate(33,*generate_f(10,0.5,1.5)) for _ in range(100000))

(ฉันที่นี่ใช้ค่ามัธยฐานเพื่อลดอิทธิพลของค่าผิดปกติเนื่องจากฟังก์ชั่นที่มีเนื้อหาความถี่สูงเท่านั้นสำหรับค่าเฉลี่ยผลลัพธ์จะคล้ายกัน)

ค่ามัธยฐานของข้อผิดพลาดการรวมสัมพัทธ์คือ:

superimposed sines
6.301e-04   midpoint
8.984e-04   trapezoid
1.158e-03   Simpson
1.537e-03   Romberg
1.862e-03   Gauß–Legendre

superimposed low-frequency sines (control)
2.790e-05   midpoint
5.933e-05   trapezoid
5.107e-09   Simpson
3.573e-16   Romberg
3.659e-16   Gauß–Legendre

หมายเหตุ: หลังจากสองเดือนและอีกหนึ่งรางวัลโดยไม่ต้องส่งผลให้ผมโพสต์เกี่ยวกับเรื่องนี้ MathOverflow

ก่อนอื่นฉันคิดว่าคุณเข้าใจผิดเกี่ยวกับแนวคิดของการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส การสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสไม่ได้แปลว่า "การวางจุดตัวอย่างแบบโต้ตอบ" แนวคิดทั้งหมดที่อยู่เบื้องหลังการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสปรับตัวคือการคิดโครงร่างที่จะรวมฟังก์ชั่นบางอย่างเข้ากับข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ (โดยประมาณ) แน่นอนหรือข้อผิดพลาดสัมพัทธ์กับการประเมินฟังก์ชั่นน้อยที่สุดเท่าที่จะทำได้

ข้อสังเกตที่สอง: คุณเขียน "จำนวนจุดสุ่มตัวอย่างได้รับการแก้ไข (เนื่องจากการประเมินผลการทำงานมีราคาแพง) แต่ฉันสามารถวางมันได้อย่างอิสระ" ฉันคิดว่าความคิดควรเป็นว่าจำนวนคะแนนการสุ่มตัวอย่าง (หรือการประเมินผลการทำงานในคำศัพท์การสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส) ควรมีขนาดเล็กที่สุดเท่าที่จะทำได้ (เช่นไม่คงที่)

ดังนั้นความคิดที่อยู่เบื้องหลังการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสปรับตัวที่นำมาใช้ในQUADPACKเป็นอย่างไร

1. ส่วนผสมพื้นฐานคือกฎการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส "ซ้อนกัน": นี่เป็นการรวมกันของกฎการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมสองอันที่หนึ่งมีลำดับที่สูงกว่า (หรือความแม่นยำ) เป็นอื่น ๆ ทำไม? ขึ้นอยู่กับความแตกต่างระหว่างกฎเหล่านี้อัลกอริทึมสามารถประเมินข้อผิดพลาดของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส (แน่นอนว่าอัลกอริทึมจะใช้หนึ่งที่ถูกต้องที่สุดเป็นผลการอ้างอิง) ตัวอย่างอาจเป็นกฎรูปสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีโหนดและโหนด ในกรณีของ QUADPACK กฎคือกฎ Gauss-Kronrod เหล่านี้เป็นกฎการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส interpolatory ที่ใช้กฎการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส Gauss-Legendre ของการสั่งซื้อที่แน่นอน$2^{n}$$2^{n+1}$$N$และส่วนขยายที่เหมาะสมที่สุดของกฎนี้ ซึ่งหมายความว่าสามารถรับลำดับการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สูงขึ้นได้โดยการใช้โหนด Gauss-Legendre อีกครั้ง (เช่นการประเมินฟังก์ชั่นค่าใช้จ่ายสูง) ที่มีน้ำหนักต่างกันและเพิ่มจำนวนโหนดเพิ่มเติม กล่าวอีกนัยหนึ่งกฎของเกาส์ - เลอช็องดร์ดั้งเดิมของคำสั่งจะรวมพหุนามทั้งหมดของระดับกันในขณะที่กฎเกาส์ - โครรอดที่ขยายออกไปจะรวมพหุนามลำดับสูง ๆ กฎคลาสสิคคือ G7K15 (ลำดับที่ 7 Gauss-Legendre ที่มีลำดับที่ 15 Gauss-Kronrod) ความมหัศจรรย์คือ 7 โหนดของ Gauss-Legendre เป็นเซตย่อยของ 15 โหนดของ Gauss-Kronrod ดังนั้นด้วยการประเมินฟังก์ชั่น 15 ครั้งฉันมีการประเมินพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสพร้อมกับการประเมินข้อผิดพลาด!$N$$2N-1$

2. ส่วนผสมถัดไปคือกลยุทธ์ "หารและพิชิต" สมมติว่าคุณปล่อย G7K15 นี้ในปริพันธ์ของคุณและคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดของการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสตามรสนิยมของคุณใหญ่เกินไป QUADPACK จะแบ่งช่วงเวลาเดิมออกเป็นสองช่วงย่อยเท่า ๆ กัน จากนั้นจะทำการประเมินย่อยทั้งสองอีกครั้งโดยใช้กฎพื้นฐาน G7K15 ตอนนี้อัลกอริทึมมีการประเมินข้อผิดพลาดทั่วโลก (ซึ่งควรจะต่ำกว่าครั้งแรก) แต่ยังมีการประมาณข้อผิดพลาดสองครั้ง มันเลือกช่วงเวลาที่มีข้อผิดพลาดที่ใหญ่ที่สุดและหารหนึ่งในสองนี้ อินทิเกรตใหม่สองตัวได้รับการประเมินและข้อผิดพลาดทั่วโลกได้รับการอัปเดต และต่อไปจนกว่าข้อผิดพลาดระดับโลกจะต่ำกว่าเป้าหมายที่คุณร้องขอหรือมีการแบ่งเขตการปกครองสูงสุด

ดังนั้นฉันขอท้าให้คุณอัปเดตรหัสของคุณด้านบนโดยใช้scipy.quadวิธีการ บางทีในกรณีที่มีการรวมกันและมี "โครงสร้างที่ดี" จำนวนมากคุณอาจต้องเพิ่มจำนวนการแบ่งย่อยสูงสุด ( limitตัวเลือก) คุณสามารถเล่นกับพารามิเตอร์epsabsและ / หรือepsrel

อย่างไรก็ตามหากคุณมีข้อมูลการทดลองเท่านั้นฉันเห็นความเป็นไปได้สองอย่าง

1. หากคุณมีโอกาสเลือกจุดการวัดเช่นค่าของฉันจะเลือกให้เท่า ๆ กันและควรเป็นกำลังเพื่อให้คุณสามารถใช้กฎสี่เหลี่ยมคางหมูแบบซ้อน (และกำไรจากการคาดการณ์ Romberg)$t$$2$
2. หากคุณไม่มีวิธีในการเลือกโหนดนั่นคือการวัดมาในเวลาสุ่มตัวเลือกที่ดีที่สุดในความคิดของฉันก็คือกฎสี่เหลี่ยมคางหมู

ฉันไม่เชื่อว่ารหัสของคุณแสดงให้เห็นถึงสิ่งที่เป็นพื้นฐานเกี่ยวกับกฎการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสและวิธีที่พวกเขาทำกับเสียงรบกวนและโครงสร้างที่ดีและเชื่อว่าเป็นไปได้ว่าถ้าคุณเลือกโครงสร้างค่าปรับที่แตกต่างกันคุณจะพบสิ่งที่แตกต่างกัน นี่คือทฤษฎีบท:

ไม่มีวิธีการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสสามารถให้ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์หรือสัมพัทธ์ต่ำกับฟังก์ชันที่มีการแปรผันทั้งหมด ในระบบจุดลอยที่มีหน่วย roundoffเรามีการประมาณ$\mu$ ที่คือการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสรวมทำหน้าที่เกี่ยวกับการดำเนินการเชิงตัวเลขของฉ

$$\left| \int_{a}^{b} f \, \mathrm{d}x - \hat{Q}[\hat{f}] \right| \le \left| \int_{a}^{b} f \, \mathrm{d}x - Q[f] \right| + \mu\left[ 4\int_{a}^{b} |f| \, \mathrm{d}x + \int_{a}^{b} |xf'| \, \mathrm{d}x \right]$$ $\hat{Q}$$\hat{f}$$f$

การพิสูจน์: ให้โหนดของการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นและน้ำหนักการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส (ไม่เป็นลบ) เป็นและแสดงว่าใกล้เคียงจุดลอยของพวกเขาโดยและ\ สมมติว่าสอดคล้องกับโดยที่โดยที่เป็นหน่วย roundoff แล้วก็ $\{x_i\}_{i=0}^{n-1}$$\{w_i\}_{i=0}^{n-1}$$\hat{w}_{i}$$\hat{x}_i$$\hat{f}$$\hat{f}(x) = f(x)(1+2\delta)$$|\delta| \le \mu$$\mu$

$$\begin{align*} \hat{Q}[\hat{f}] &= \sum_{i=0}^{n-1} \hat{w}_i \otimes \hat{f}(\hat{x}_i) \\ &= \sum_{i=0}^{n-1} w_i (1+\delta^w_i)f(x_i + \delta_i^x x_i)(1+2\delta_i^{f})(1+\delta_i^{*}) \\ &\approx \sum_{i=0}^{n-1} w_i \left[f(x_i)+ \delta_i^x x_i f'(x_i) \right] (1+\delta^w_i + 2\delta_i^{f} + \delta_i^*) \\ &\approx \sum_{i=0}^{n-1} w_i f(x_i) + \sum_{i=0}^{n-1}\delta_i^x w_i x_i f'(x_i) + w_i f(x_i) (\delta^w_i + 2\delta_i^{f} + \delta_i^*) \\ \end{align*}$$ เพื่อให้ สิ่งนี้ถือว่าการคำนวณผลรวมนั้นไม่มีข้อผิดพลาด คูณด้วยเพื่อวางสมมุติฐานนั้น $$\begin{align*} |\hat{Q}[\hat{f}] - Q[f]| &\le \mu \sum_{i=0}^{n-1}w_i(|x_i f'(x_i)| + 4|f(x_i)|) \\ &\approx 4\mu \int |f| \, \mathrm{d}x + \mu \int |xf'| \, \mathrm{d}x \end{align*}$$ $n$

โดยอนุโลมนอกจากนี้คุณยังสามารถแสดงให้เห็นว่าผลลัพธ์ที่เก็บไว้ในเลขคณิตจุดคงที่