เงื่อนไขขอบเขตสำหรับสมการการพาความร้อนแยกด้วยวิธีผลต่างอันตะ

ฉันพยายามค้นหาแหล่งข้อมูลเพื่อช่วยอธิบายวิธีการเลือกเงื่อนไขขอบเขตเมื่อใช้วิธีการผลต่าง จำกัด เพื่อแก้ PDE

หนังสือและบันทึกที่ฉันมีอยู่ในปัจจุบันสามารถเข้าถึงทุกคนพูดในสิ่งที่คล้ายกัน:

กฎทั่วไปที่ควบคุมเสถียรภาพในการปรากฏตัวของเขตแดนนั้นซับซ้อนเกินไปสำหรับข้อความเกริ่นนำ; พวกเขาต้องการเครื่องจักรทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อน

(A. Iserles เป็นสนามแรกในการวิเคราะห์เชิงตัวเลขของสมการเชิงอนุพันธ์)

ตัวอย่างเช่นเมื่อพยายามใช้วิธี leapfrog 2 ขั้นตอนสำหรับสมการการพา:

$u_i^{n+1} = u_i^{n-1} + \mu (u_{i+1}^n - u_{i-1}^n)$

ใช้ MATLAB

M = 100; N = 100;

mu = 0.5;

c = [mu 0 -mu];
f = @(x)(exp(-100*(x-0.5).^2));

u  = zeros (M, N);
x = 1/(M+1) * (1:M);

u(:,1) = f(x);
u(:,2) = f(x + mu/(M+1));

for i = 3:N
    hold off;
    u(:,i) = conv(u(:,i-1),c,'same') + u(:,i-2);
    plot(x, u(:,i));
    axis( [ 0 1 0 2] )
    drawnow;
end

วิธีการแก้ปัญหาทำงานได้ดีจนกระทั่งถึงขอบเขตเมื่อจู่ ๆ ก็เริ่มประพฤติไม่ดี

ฉันจะเรียนรู้วิธีจัดการกับเงื่อนไขขอบเขตเช่นนี้ได้ที่ไหน

การตอบสนองของ Sloede นั้นละเอียดและถูกต้องมาก ฉันแค่ต้องการเพิ่มบางจุดเพื่อให้ง่ายต่อการเข้าใจ

โดยทั่วไปสมการคลื่นใด ๆ จะมีความเร็วและทิศทางคลื่นโดยธรรมชาติ สำหรับสมการคลื่นหนึ่งมิติ: ความเร็วคลื่นคงซึ่งกำหนดไม่เพียง แต่ความเร็วที่ข้อมูลจะถูกแพร่กระจายในโดเมน แต่ยังทิศทางของ หาก> 0ข้อมูลที่เกิดจากซ้ายไปขวาและถ้า< 0มันเป็นรอบวิธีอื่น ๆ

$$u_t + a u_x = 0$$ $a$$a>0$$a<0$

สำหรับวิธีการกระโดดกบเมื่อคุณแยกสมการที่คุณได้รับ: หรือ: U nฉัน =U n - 2ฉัน +μ(U n - 1 ฉัน+ 1 -ยู n - 1 ฉัน- 1 )ที่μ=-ΔT/Δx ในกรณีของคุณμ>

$$\frac{u_i^{n} - u_i^{n-2}}{2 \Delta t} + a \frac{u_{i+1}^{n-1} - u_{i-1}^{n-1}}{2 \Delta x} = 0$$ $$u_i^{n} = u_i^{n-2} + \mu (u_{i+1}^{n-1} - u_{i-1}^{n-1})$$ $\mu = -a \Delta t/\Delta x$$\mu > 0$ซึ่งแปลเป็นคลื่นที่ไปทางซ้าย ทีนี้ถ้าคุณคิดเกี่ยวกับมันคลื่นที่เคลื่อนที่ไปทางซ้ายจะต้องมีเงื่อนไขขอบเขตที่ขอบเขตด้านขวาเท่านั้นเนื่องจากค่าทั้งหมดทางด้านซ้ายกำลังได้รับการอัปเดตผ่านเพื่อนบ้านที่ถูกต้อง ในความเป็นจริงการระบุค่าใด ๆ ที่ขอบเขตซ้ายนั้นไม่สอดคล้องกับลักษณะของปัญหา ในวิธีการบางอย่างเช่นง่าย ๆ อยู่เหนือลมสิ่งนี้ได้รับการดูแลโดยอัตโนมัติเนื่องจากโครงร่างนี้เกี่ยวข้องกับเพื่อนบ้านที่ถูกต้องในลายฉลุ ในวิธีอื่นเช่นกบกระโดดคุณต้องระบุค่า "ถูกต้อง" บางอย่าง

ซึ่งมักจะทำผ่านการคาดการณ์จากโดเมนภายในเพื่อค้นหาค่าที่หายไป สำหรับปัญหาที่มีหลายมิติและไม่ใช่ที่ยอมรับซึ่งเกี่ยวข้องกับการหาเวกเตอร์ eigen ทั้งหมดของฟลักซ์จาโคเบียนเพื่อกำหนดว่าส่วนใดของขอบเขตที่ต้องการเงื่อนไขขอบเขตจริงและส่วนใดต้องการการอนุมาน

คำตอบทั่วไป
ปัญหาของคุณคือคุณไม่ได้ตั้งค่า (หรือระบุ) เงื่อนไขขอบเขตเลย - ปัญหาเชิงตัวเลขของคุณไม่ชัดเจน

โดยทั่วไปมีสองวิธีที่เป็นไปได้ในการระบุเงื่อนไขขอบเขต:

1. $u_{0}$$u_{101}$
2. เปลี่ยนลายฉลุตัวเลขเพื่อที่จะใช้เฉพาะข้อมูลการตกแต่งภายในที่ขอบเขต

วิธีการที่คุณไปหนักขึ้นอยู่กับฟิสิกส์ของปัญหาของคุณ สำหรับปัญหาประเภทคลื่น - สมการหนึ่งมักจะกำหนดค่าลักษณะเฉพาะของฟลักซ์จาโคเบียนเพื่อตัดสินว่าเงื่อนไขขอบเขตภายนอกนั้นจำเป็นหรือไม่หรือต้องใช้วิธีแก้ปัญหาภายใน (วิธีนี้เรียกกันโดยทั่วไปว่า

---

$u_{i-1}^n$$u_{i+1}^n$$i$$n+1$$i = 1$$u_{0}^n$$u_{100}^{n+1}$$u_{101}^n$

$u_{1}^n$$u_{100}^n$

คุณสามารถค้นหาซอร์สโค้ดของคุณที่แก้ไขด้านล่าง:

M = 100; N = 100;

mu = 0.5;

c = [mu 0 -mu];
f = @(x)(exp(-100*(x-0.5).^2));

u  = zeros (M, N);
x = 1/(M+1) * (1:M);

u(:,1) = f(x);
u(:,2) = f(x + mu/(M+1));

for i = 3:N
    hold off;
    %u(:,i) = conv(u(:,i-1),c,'same') + u(:,i-2);

    % Apply the numerical stencil to all interior points
    for j = 2:M-1
        u(j,i) = u(j,i-2) + mu*(u(j+1,i-1) - u(j-1,i-1));
    end

    % Set the boundary values by interpolating linearly from the interior
    u(1,i) = 2*u(2,i) - u(3,i);
    u(M,i) = 2*u(M-1,i) - u(M-2,i);

    plot(x, u(:,i));
    axis( [ 0 1 0 2] )
    drawnow;
end

ดังนั้นฉันจึงดูที่รายละเอียดเพิ่มเติมและดูเหมือนว่า (อย่างน้อยในกรณีพื้นฐานที่ฉันจัดการ) ขึ้นอยู่กับความเร็วกลุ่มของวิธีการ

วิธีการเล่นต้องเต (ตัวอย่าง) คือ:

$u_{i}^{n+1} = u_{i}^{n-1} + \mu (u_{i+1}^n - u_{i-1}^n)$

ลองวิธีแก้ปัญหาของแบบฟอร์ม $u_k^n = e^{i( \zeta k \Delta x + \omega(\zeta) n \Delta t)}$ เราพบ:

$e^{2 i \omega \Delta t} = 1 + \mu e^{i\omega \Delta t} ( e^{i \zeta \Delta x} - e^{-i \zeta \Delta x} )$

$\sin(\omega \Delta t) = \mu \sin (\zeta \Delta x)$

$\frac{d\omega}{d\zeta} = \frac{\cos (\zeta \Delta x)}{\sqrt{1-\mu^2 sin^2(\zeta \Delta x)}} \in [-1,1]$

ตอนนี้เราต้องค้นหาความเร็วกลุ่มของเงื่อนไขขอบเขต:

วิธีการของฉัน :$u_1^{n+2} = u_1^n + \mu u_2^{n+1}$

เราสามารถคำนวณความเร็วของกลุ่มขอบเขตดังต่อไปนี้:

$2 i \sin(\omega \Delta t) = \mu e^{i \zeta \Delta x}$

ดังนั้นเพื่อค้นหาความเร็วของกลุ่มที่ขอบเขตอนุญาตให้เราต้องค้นหา:

$\omega = c \zeta$

$\cos(\zeta \Delta x) = 0, \mu \sin(\zeta \Delta x) = 2 \sin (\zeta c \Delta t)$

$\zeta = \frac{\pi}{2 \Delta x}$ would give $\mu = 2 \sin (\frac{c \mu \pi}{2})$ for which a solution for $c \in [-1,1]$ will exist. (For most choices of $\mu$ at least)

---

The solution which I've found in the literature is to take $u_0^{n+1} = u_1^{n}$ since this has a boundary wave number which lies outside $[-1,1]$.

I've still quite quite a bit more to read up about this before I understand it completely. I think the key words I'm looking for are GKS theory.

Source for all this A Iserles Part III notes

---

A clearer calculation of what I've done can be found here: http://people.maths.ox.ac.uk/trefethen/publication/PDF/1983_7.pdf

Guys I am very new to this site. Maybe this isn't the place to ask, but please forgive me as I am very new here :) I am having an extremely similar problem, the only difference being the starting function which, in my case, is a cosine wave. My code is this: clear all; clc; close all;

M = 1000; N = 2100;

mu = 0.5;

c = [mu 0 -mu]; f = @(x)1- cos(20*pi*x-0.025).^2; u = zeros (M, N); x=0:(1/M):0.05; u(1:length(x),1) = f(x); u(1:length(x),2) = f(x - mu/(M)); x=linspace(0,1,M);

for i = 3:N hold off;

% Apply the numerical stencil to all interior points
for j = 2:M-1
    u(j,i) = u(j,i-2) - mu*(u(j+1,i-1) - u(j-1,i-1));
end

% Set the boundary values by interpolating linearly from the interior
u(M,i) =  2*u(M-1,i-1) - u(M-2,i-1);

plot(x, u(:,i)); axis( [ 0 1.5 -0.5 2] ) drawnow; %pause end

มีรหัสนี้อยู่แล้วที่นี่ แต่ด้วยเหตุผลบางอย่างอาจเกี่ยวข้องกับคลื่นโคไซน์รหัสของฉันล้มเหลว: / ความช่วยเหลือใด ๆ ที่จะได้รับการชื่นชม :) ขอบคุณ!