ความยากด้วยวิธีการทางสเปกตรัมโดยใช้ชื่อพหุนาม Chebyshev

ฉันมีปัญหาเล็กน้อยในการพยายามทำความเข้าใจกระดาษ กระดาษใช้วิธีการทางสเปกตรัมในการแก้หาค่าลักษณะเฉพาะที่มาจากระบบของ ODE คู่กัน ตอนนี้ฉันจะเขียนสมการเพียงอันเดียวเพราะมันเพียงพอที่จะไปยังจุดสำคัญของคำถามของฉัน

สมการคือ

$V[r] = \frac{e^{-(\nu[r] +\lambda[r])}}{\epsilon[r] + p[r]} *\biggr[ (\epsilon[r] + p[r])( e^{\nu[r] +\lambda[r]})r W[r] \biggr]'$

ฉันทำอนุพันธ์และรับ

(Eq1) $V = \biggr[ \frac{\epsilon' +p'}{\epsilon + p} + r(\nu'+\lambda') +1 \biggr] W + r W'$

ตอนนี้ตามกระดาษฉันควรจะสามารถขยายปริมาณสมดุล ) ของระบบในรูปแบบพหุนามแบบ Chebyshev$(\epsilon ,p ,\nu ,\lambda$

$B[r] = \Sigma_{i=0}^{\infty}b_i T_i[y] - \frac{1}{2} b_0$โดยที่เป็นพหุนาม ฉันรู้วิธีรับโดยใช้รหัสที่ฉันเขียนใน Mathematica นอกจากนี้ยังและโดเมนของคือR)b i y = 2 ( r / R ) - 1 r ( 0 , R $T_i[y]$$b_i$$y = 2(r/R) -1$$r$$(0,R)$

กระดาษยังระบุว่าฟังก์ชั่น ( ) สามารถขยายเป็น และโดยทั่วไปแล้วคำเช่นสามารถแสดงเป็นF [ r ] = ( $V,W$B[r]F[r$F[r] = (\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty}f_i T_i[y] - \frac{1}{2} f_0$$B[r]F[r]$

$B[r]F[r] = \frac{1}{2} (\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty} \pi_i T_i[y] - \frac{1}{2} \pi _0$

โดยที่ และสำหรับและเท่ากับ 1สำหรับ0 Θ ( k ) = 0 k < $\pi_i = \Sigma_{j=0}^{\infty}[b_{i+j} + \Theta(j-1)b_{|i-1|} ] f_l$$\Theta(k) = 0$$k<0$$k\geq 0$

จากทั้งหมดที่กล่าวมาสมมุติว่าฉันทำฟังก์ชันสมดุลต่อไปนี้

$\frac{\epsilon' +p'}{\epsilon + p} = B_1[r]$และจากนั้น Eq1 จะกลายเป็น$r(\nu'+\lambda') = B_2[r]$

(Eq2) W'$\bigg((\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty}v_i T_i[y] - \frac{1}{2} v_0 \bigg) = \biggr[ B_1[r] + B_2[r] +1 \biggr] \biggr( (\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty}w_i T_i[y] - \frac{1}{2} w_0 \biggr) + r W'$

คำถามที่ 1:ฉันจะทำอย่างไรกับคำศัพท์ ? พหุนามเป็นฟังก์ชันของดังนั้นฉันจะมีการขยายเช่น X function ของ [y] ได้อย่างไร ดูเหมือนว่าฉันสามารถแบ่งพวกมันออกแต่ละข้างของสมการได้แล้วอะไรคือจุดเริ่มต้นของคำนั้น? ฉันหมายถึงตามคำนี้ควรจะกำหนดเงื่อนไขขอบเขตที่ไปที่ศูนย์ตามที่ไปที่ศูนย์[y]B$(\frac{r}{R})^l$$[y]$V,$B[r]= (\frac{r}{R})^l$$V,W$$r$

* คำถามที่ 2: * ฉันควรจะจัดการกับในเทอมได้อย่างไร บทความนี้ให้รายละเอียดเกี่ยวกับวิธีจัดการกับอนุพันธ์ของตราสาร แต่สิ่งที่เกี่ยวกับนั้น ฉันควรจะรักษามันเช่นค่าสมดุลและใช้กฎสำหรับคำเช่นหรือฉันควรแสดงนี้ในแง่ของปีหรือฉันควรทำอย่างอื่นทั้งหมด?r ∗ W ′ r B [ r ] F [ r ] r $r$$r*W'$$r$$B[r]F[r]$$r$$y$

ฉันไม่แน่ใจว่าเป็นไปได้หรือไม่ที่จะตอบคำถามโดยไม่อ่านบทความอย่างละเอียด แต่ในเรื่องที่เกี่ยวกับคำถามแรกที่คุณต้อง 2 และปัจจัยนี้ไม่สามารถแบ่งออกได้เนื่องจากมันไม่ได้คูณทุกเทอม$r/R = (y+1)/2$

สำหรับคำถามที่ 2: เนื่องจากสมการนี้จะใช้ในการใช้เงื่อนไขขอบเขตที่ฉันคิดว่าคำที่คุณพูดถึงควรหายไป$r=0$