ความยากด้วยวิธีการทางสเปกตรัมโดยใช้ชื่อพหุนาม Chebyshev


19

ฉันมีปัญหาเล็กน้อยในการพยายามทำความเข้าใจกระดาษ กระดาษใช้วิธีการทางสเปกตรัมในการแก้หาค่าลักษณะเฉพาะที่มาจากระบบของ ODE คู่กัน ตอนนี้ฉันจะเขียนสมการเพียงอันเดียวเพราะมันเพียงพอที่จะไปยังจุดสำคัญของคำถามของฉัน

สมการคือ

V[r]=e(ν[r]+λ[r])ϵ[r]+p[r][(ϵ[r]+p[r])(eν[r]+λ[r])rW[r]]

ฉันทำอนุพันธ์และรับ

(Eq1) V=[ϵ+pϵ+p+r(ν+λ)+1]W+rW

ตอนนี้ตามกระดาษฉันควรจะสามารถขยายปริมาณสมดุล ) ของระบบในรูปแบบพหุนามแบบ Chebyshev(ϵ,p,ν,λ

B[r]=Σi=0biTi[y]12b0โดยที่เป็นพหุนาม ฉันรู้วิธีรับโดยใช้รหัสที่ฉันเขียนใน Mathematica นอกจากนี้ยังและโดเมนของคือR)b i y = 2 ( r / R ) - 1 r ( 0 , R )Ti[y]biy=2(r/R)1r(0,R)

กระดาษยังระบุว่าฟังก์ชั่น ( ) สามารถขยายเป็น และโดยทั่วไปแล้วคำเช่นสามารถแสดงเป็นF [ r ] = ( rV,WB[r]F[r]F[r]=(rR)lΣi=0fiTi[y]12f0B[r]F[r]

B[r]F[r]=12(rR)lΣi=0πiTi[y]12π0

โดยที่ และสำหรับและเท่ากับ 1สำหรับ0 Θ ( k ) = 0 k < 0πi=Σj=0[bi+j+Θ(j1)b|i1|]flΘ(k)=0k<0k0

จากทั้งหมดที่กล่าวมาสมมุติว่าฉันทำฟังก์ชันสมดุลต่อไปนี้

ϵ+pϵ+p=B1[r]และจากนั้น Eq1 จะกลายเป็นr(ν+λ)=B2[r]

(Eq2) W'((rR)lΣi=0viTi[y]12v0)=[B1[r]+B2[r]+1]((rR)lΣi=0wiTi[y]12w0)+rW

คำถามที่ 1:ฉันจะทำอย่างไรกับคำศัพท์ ? พหุนามเป็นฟังก์ชันของดังนั้นฉันจะมีการขยายเช่น X function ของ [y] ได้อย่างไร ดูเหมือนว่าฉันสามารถแบ่งพวกมันออกแต่ละข้างของสมการได้แล้วอะไรคือจุดเริ่มต้นของคำนั้น? ฉันหมายถึงตามคำนี้ควรจะกำหนดเงื่อนไขขอบเขตที่ไปที่ศูนย์ตามที่ไปที่ศูนย์[y]B[(rR)l[y]V,WB[r]=(rR)lV,Wr

* คำถามที่ 2: * ฉันควรจะจัดการกับในเทอมได้อย่างไร บทความนี้ให้รายละเอียดเกี่ยวกับวิธีจัดการกับอนุพันธ์ของตราสาร แต่สิ่งที่เกี่ยวกับนั้น ฉันควรจะรักษามันเช่นค่าสมดุลและใช้กฎสำหรับคำเช่นหรือฉันควรแสดงนี้ในแง่ของปีหรือฉันควรทำอย่างอื่นทั้งหมด?r W r B [ r ] F [ r ] r yrrWrB[r]F[r]ry


3
บางทีคุณสามารถเชื่อมโยงไปยังกระดาษที่คุณกำลังอ้างอิง?
Aron Ahmadia

สวัสดี Aron นี่คือลิงค์ arxiv.org/pdf/gr-qc/0210102.pdfสิ่งที่เป็นตัวเลขที่ฉันมีปัญหากำลังอธิบายไว้ในภาคผนวก A และสมการที่ฉันตรวจสอบข้างต้นคือสมการ (19) ขอบคุณ
tau1777

โปรดสังเกตว่าเป็นฟังก์ชัน (เส้นตรง) ของ (และด้วยเหตุนี้ของ ) Ry RrRr
Christian Clason

คำตอบ:


1

ฉันไม่แน่ใจว่าเป็นไปได้หรือไม่ที่จะตอบคำถามโดยไม่อ่านบทความอย่างละเอียด แต่ในเรื่องที่เกี่ยวกับคำถามแรกที่คุณต้อง 2 และปัจจัยนี้ไม่สามารถแบ่งออกได้เนื่องจากมันไม่ได้คูณทุกเทอมr/R=(y+1)/2

สำหรับคำถามที่ 2: เนื่องจากสมการนี้จะใช้ในการใช้เงื่อนไขขอบเขตที่ฉันคิดว่าคำที่คุณพูดถึงควรหายไปr=0

โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.