การใช้ความแม่นยำสองเท่าอย่างรวดเร็วและแม่นยำของฟังก์ชันแกมมาที่ไม่สมบูรณ์

10

อะไรคือวิธีที่ทันสมัยในการใช้งานฟังก์ชั่นพิเศษที่มีความแม่นยำสองเท่า ฉันต้องการอินทิกรัลต่อไปนี้: สำหรับและซึ่งสามารถเขียนได้ในรูปของฟังก์ชันแกมม่าที่ไม่สมบูรณ์ต่ำกว่า นี่คือการใช้ Fortran และ C ของฉัน:

F_{m} (t) = \int_{0}^{1} u^{2 m} e^{- t u^{2}} d u = \frac{γ (m + \frac{1}{2}, t)}{2 t^{m + \frac{1}{2}}}

$F_m(t) = \int_0^1 u^{2m} e^{-tu^2} d u = {\gamma(m+{1\over 2}, t)\over 2 t^{m+{1\over 2}}}$

m = 0, 1, 2, . . .

$m=0, 1, 2, ...$

t > 0

$t>0$

https://gist.github.com/3764427

ซึ่งใช้การขยายตัวชุดแง่บวกขึ้นจนความถูกต้องให้แล้วใช้ความสัมพันธ์ที่เรียกซ้ำได้อย่างมีประสิทธิภาพได้รับค่าที่ต่ำกว่าม.ฉันทดสอบได้ดีและได้รับความแม่นยำ 1e-15 สำหรับค่าพารามิเตอร์ทั้งหมดที่ฉันต้องการดูความคิดเห็นของรุ่น Fortran สำหรับรายละเอียด $m$

มีวิธีที่ดีกว่าในการใช้หรือไม่ นี่คือการใช้ฟังก์ชั่นแกมม่าใน gfortran:

https://github.com/mirrors/gcc/blob/master/libgfortran/intrinsics/c99_functions.c#L1781

มันใช้การประมาณฟังก์ชั่นเหตุผลแทนการสรุปซีรีย์อนันต์ที่ฉันกำลังทำอยู่ ฉันคิดว่านั่นเป็นวิธีที่ดีกว่าเพราะเราควรได้ความแม่นยำที่สม่ำเสมอ มีวิธีบัญญัติวิธีบางประการหรือไม่หรือต้องคิดอัลกอริธึมพิเศษสำหรับแต่ละฟังก์ชั่นพิเศษหรือไม่?

อัปเดต 1 :

ตามความคิดเห็นนี่คือการใช้ SLATEC:

https://gist.github.com/3767621

มันจำลองค่าจากฟังก์ชั่นของฉันเองโดยประมาณในระดับความแม่นยำ 1e-15 อย่างไรก็ตามฉันสังเกตเห็นปัญหาว่าสำหรับ t = 1e-6 และ m = 50 คำว่าได้รับเท่ากับ 1e-303 และสำหรับ "m" ที่สูงขึ้นมันก็เริ่มให้คำตอบที่ไม่ถูกต้อง ฟังก์ชั่นของฉันไม่ได้มีปัญหานี้เพราะผมใช้การขยายตัวชุด / การกำเริบความสัมพันธ์โดยตรงF_mนี่คือตัวอย่างของค่าที่ถูกต้อง: $t^{m+{1\over2}}$ $F_m$

$F_{100}$ (1e-6)=4.97511945200351715E-003 ,

แต่ฉันไม่สามารถรับสิ่งนี้โดยใช้ SLATEC เพราะตัวส่วนระเบิด อย่างที่คุณเห็นค่าจริงของนั้นดีและเล็ก $F_m$

อัปเดต 2 :

เพื่อหลีกเลี่ยงปัญหาดังกล่าวข้างต้นหนึ่งสามารถใช้ฟังก์ชั่นdgamit(ไม่สมบูรณ์ฟังก์ชันแกมมา Tricomi ของ) จากนั้นF(m, t) = dgamit(m+0.5_dp, t) * gamma(m+0.5_dp) / 2จึงมีปัญหาเกี่ยวกับการไม่มีอีกต่อไป แต่โชคร้ายพัดขึ้นสำหรับ172 อย่างไรก็ตามเรื่องนี้อาจจะสูงพอเพื่อฉัน $t$ gamma(m+0.5_dp) $m\approx 172$ $m$

efficiency accuracy special-functions

— OndřejČertík
แหล่งที่มา

2

ทำไมรหัสฟังก์ชั่นของคุณเอง? GSL, cephes และ SLATEC นำไปใช้ทั้งหมด

— Geoff Oxberry

ฉันได้อัปเดตคำถามที่ว่าทำไมฉันไม่ใช้ SLATEC

— OndČejČertík

@ OndřejČertíkคุณค้นพบข้อผิดพลาดอย่างเห็นได้ชัด! ลงทะเบียนคำถามของคุณ!

— Ali

Ali --- ไม่ใช่ข้อผิดพลาดใน SLATEC แต่ที่จริงแล้วฉันต้องแบ่งด้วยเพื่อรับค่าt) ดังนั้นวิธีการที่เป็นตัวเลขที่ผลงานอาจจะไม่ทำงานให้ดีสำหรับ(t)

γ (z, x)

$\gamma(z, x)$

t^{m + \frac{1}{2}}

$t^{m+{1\over2}}$

F_{m} (t)

$F_m(t)$

γ (z, x)

$\gamma(z, x)$

F_{m} (t)

$F_m(t)$

— OndřejČertík

@ OndřejČertíkตกลงขอโทษฉันเข้าใจผิดฉันไม่ได้ตรวจสอบรหัสของคุณก่อนที่จะแสดงความคิดเห็น

— Ali

9

อินทิกรัลที่เป็นที่รู้จักนั้นรู้จักกันในชื่อฟังก์ชั่น Boys หลังจากนักเคมีชาวอังกฤษซามูเอลฟรานซิสบอยซึ่งแนะนำการใช้งานในต้นปี 1950 ไม่กี่ปีที่ผ่านมาฉันต้องคำนวณฟังก์ชั่นนี้ด้วยความแม่นยำสองเท่าเร็วที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ แต่แม่นยำ ฉันจัดการเพื่อให้เกิดข้อผิดพลาดแบบสัมพัทธ์ในลำดับในโดเมนอินพุตทั้งหมด $10^{-15}$

มันเป็นเรื่องปกติที่จะใช้ข้อได้เปรียบประการแตกต่างกันสำหรับการขัดแย้งเล็กและขนาดใหญ่ที่ดีที่สุดสวิทช์ในช่วงระหว่าง "ใหญ่" และ "เล็ก" ที่ดีที่สุดคือการพิจารณาการทดลองและอยู่ในฟังก์ชั่นทั่วไปของม.สำหรับรหัสของฉันฉันกำหนด "เล็ก" มีปากเสียงกับผู้ที่สภาพความพึงพอใจ2} $m$ $a \le m + 1{1\over 2}$

สำหรับข้อโต้แย้งที่มีขนาดใหญ่ฉันคำนวณ

F_{m} (a) = \frac{1}{2} γ (m + \frac{1}{2}, a) \times p \times p, p = a^{- \frac{1}{2} (m + \frac{1}{2})}

$\mathrm{F}_m(a) = {1\over 2}\gamma\left(m + {1\over 2}, a\right) \times p \times p, \space \space p = a^{-{1\over 2}\left(m+ {1\over 2}\right)}$

คำสั่งของการดำเนินการนี้หลีกเลี่ยงอันเดอร์โฟล์ก่อนกำหนด เนื่องจากเราต้องการเพียงฟังก์ชันแกมมาที่ไม่สมบูรณ์ต่ำกว่าของคำสั่งครึ่งจำนวนเต็มที่นี่แทนที่จะเป็นฟังก์ชันแกมมาที่ไม่สมบูรณ์ที่ต่ำกว่าทั่วไปอย่างเต็มที่จึงได้รับประโยชน์จากมุมมองประสิทธิภาพในการคำนวณ

γ (m + \frac{1}{2}, a) = Γ (m + \frac{1}{2}) - Γ (m + \frac{1}{2}, a)

$\gamma \left(m + {1\over 2}, a\right) = \Gamma \left(m + {1\over 2}\right) - \Gamma\left(m + {1\over 2}, a\right)$

ใช้ค่าแบบตารางของและการคำนวณตาม คำตอบนี้ในขณะที่หลีกเลี่ยงปัญหาอย่างระมัดระวัง ของการยกเลิกการลบด้วยการใช้การดำเนินการเพิ่มทวีคูณผสม เพิ่มประสิทธิภาพต่อไปที่อาจเกิดขึ้นคือการสังเกตว่าสำหรับขนาดใหญ่พอ,ภายใน ความแม่นยำจุดลอยตัวที่กำหนด $\Gamma \left(m + {1\over 2}\right)$ $\Gamma\left(m + {1\over 2}, a\right)$ $a$ $\gamma \left(m + {1\over 2}, a\right) = \Gamma \left(m + {1\over 2}\right)$

สำหรับข้อโต้แย้งเล็ก ๆ ฉันเริ่มต้นด้วยการขยายอนุกรมสำหรับฟังก์ชันแกมม่าที่ไม่สมบูรณ์ต่ำกว่า

A. Erdelyi, W. Magnus, F. Oberhettinger และ FG Tricomi, "ฟังก์ชั่นยอดเยี่ยมระดับสูง, เล่ม 2" นิวยอร์ก, นิวยอร์ก: McGraw-Hill 2496

และแก้ไขเพื่อคำนวณฟังก์ชัน Boysดังต่อไปนี้ (ตัดชุดเมื่อคำมีขนาดเล็กพอสำหรับความแม่นยำที่กำหนด): $\mathrm{F}_{m}(a)$

F_{m} (a) = \frac{1}{2} \frac{1}{m + \frac{1}{2}} \exp (- a) (1 + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{a^{n}}{(1 + m + \frac{1}{2}) \times . . . \times (n + m + \frac{1}{2})})

$\mathrm{F}_{m}(a) = {1\over 2}\frac{1}{m + {1\over 2}}\exp(-a)\left(1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^{n}}{(1 + m + {1\over 2}) \times\space ...\space \times (n + m + {1\over 2})}\right)$

นอกจากนี้ยังมีที่น่าสนใจและมีความสำคัญที่อาจเป็นกรณีพิเศษสำหรับการสั่งซื้อต่ำของฟังก์ชั่นบอยโดยเฉพาะอย่างยิ่ง3 อันดับแรกเรามีโดยที่เป็นฟังก์ชั่นข้อผิดพลาดที่ให้ไว้ใน Fortran ปี 2008 เป็นฟังก์ชั่นธาตุและ C / C ++ เป็นฟังก์ชั่นมาตรฐานห้องสมุดและ $m = 0, 1, 2, 3$ $\mathrm{F}_{0}(a) = \sqrt{\frac{\pi}{4a}}\mathrm{erf}\left(\sqrt{a}\right)$ $\mathrm{erf}$ ERFerferff

สำหรับการคำนวณอย่างรวดเร็วเมื่อฉันใช้การประมาณค่าพหุนามกำหนดเองสำหรับอาร์กิวเมนต์ขนาดเล็กพูดและเรียกซ้ำสำหรับคนที่มีขนาดใหญ่ ซึ่งปัญหาเกี่ยวกับการยกเลิกการลบออกในภายหลังจะลดลงโดยการใช้การดำเนินการเพิ่มทวีคูณ $m = 1, 2, 3$ $a \lt {2{1\over 2}}$ $\mathrm{F}_{m}(a) = \frac{1}{2a}\left(\left(2m-1\right)\mathrm{F}_{m-1}(a) - \exp(-a)\right)$

ไหนค่าฟังก์ชั่นจะต้องมีการคำนวณที่กำหนดข้ามคำสั่งซื้อหลายหนึ่งต้องการที่จะคำนวณค่าฟังก์ชั่นสำหรับค่าสูงสุดของโดยตรงคือตามที่กล่าวไว้ข้างต้นแล้วใช้มีเสถียรภาพตัวเลขย้อนหลัง recursionเพื่อคำนวณ ค่าฟังก์ชั่นอื่น ๆ ทั้งหมด $a$ $m$ $m$ $\mathrm{F}_{m-1} = \frac{1}{2m-1} \left(2a \space \mathrm{F}_{m}(a) + \exp\left(-a\right)\right)$

— njuffa
แหล่งที่มา

ขอบคุณ @njuffa สำหรับคำตอบที่ยอดเยี่ยม หากคุณสร้างรหัสของคุณสำหรับโอเพ่นซอร์สนี้ฉันคิดว่ามันจะมีประโยชน์มากสำหรับผู้คนจำนวนมาก

— OndřejČertík

1

ปัจจุบันการใช้งานอัลกอริธึมของ CUDA ที่อธิบายไว้นั้นสามารถดาวน์โหลดได้ฟรีจากเว็บไซต์นักพัฒนาของ NVIDIA (ต้องลงทะเบียนฟรีในฐานะนักพัฒนา CUDA โดยปกติจะอนุมัติภายในหนึ่งวันทำการ) รหัสอยู่ภายใต้ใบอนุญาต BSD ซึ่งควรเข้ากันได้กับโครงการประเภทใดก็ได้

— njuffa

5

คุณอาจดูวิธีเชิงตัวเลขสำหรับฟังก์ชั่นพิเศษโดย Amparo Gil, Javier Segura และ Nico M. Temme

— John D. Cook
แหล่งที่มา

นี่เป็นหนังสือที่ยอดเยี่ยมขอบคุณสำหรับเคล็ดลับ!

— OndřejČertík

4

ฉันจะดูที่หนังสือของ Abramowicz & Stegun หรือการปรับปรุงใหม่ที่ NIST ได้ตีพิมพ์เมื่อสองสามปีที่ผ่านมาและฉันก็เชื่อว่ามีออนไลน์ พวกเขายังหารือถึงวิธีการนำสิ่งต่าง ๆ ไปใช้อย่างมั่นคง

— Wolfgang Bangerth
แหล่งที่มา

ฉันใช้สิ่งนี้: dlmf.nist.gov/8เมื่อใช้งาน แต่นั่นอาจเป็นแหล่งข้อมูลอื่น บทที่ 5 ในสูตรตัวเลขยังมีข้อมูลที่น่าสนใจ แต่สามารถใช้ได้กับฟังก์ชั่นของตัวแปรเดียวเท่านั้น

— OndřejČertík

ฉันไม่คิดว่าคุณจะพบอะไรที่เร็วกว่าการอ้างอิงปี 2001 SLATEC จะเก่ากว่านั้น

— Geoff Oxberry

1

ดูเหมือนจะไม่ทันสมัยแต่SLATECที่ Netlib นำเสนอ "ขั้นตอนการคำนวณทางคณิตศาสตร์และสถิติทั่วไป 1,400 จุด" ไม่สมบูรณ์แกมมาอยู่ภายใต้ฟังก์ชั่นพิเศษที่นี่

การใช้ฟังก์ชั่นดังกล่าวใช้เวลานานและมีข้อผิดพลาดเกิดขึ้นดังนั้นฉันจะไม่ทำเองเว้นแต่จะจำเป็นจริงๆ SLATEC มีมาพักหนึ่งแล้วและมีการใช้กันอย่างแพร่หลายอย่างน้อยก็ขึ้นอยู่กับจำนวนการดาวน์โหลดดังนั้นฉันจึงคาดว่าการติดตั้งจะเสร็จสมบูรณ์

— อาลี
แหล่งที่มา