ทางเลือกในการวิเคราะห์เสถียรภาพของ von neumann สำหรับวิธีผลต่างอันตะ จำกัด

13

ผมทำงานเกี่ยวกับการแก้คู่หนึ่งมิติporoelasticityสมการ (โมเดลของ Biot) ให้เป็น:

- (λ + 2 μ) \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial p}{\partial x} = 0

$-(\lambda+ 2\mu) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial p}{\partial x} = 0$

\frac{\partial}{\partial t} [γ p + \frac{\partial u}{\partial x}] - \frac{κ}{η} [\frac{\partial^{2} p}{\partial x^{2}}] = q (x, t)

$\frac{\partial}{\partial t} \left[ \gamma p + \frac{\partial u}{\partial x}\right] -\frac{\kappa}{\eta}\left[\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}\right] =q(x,t)$ บนโดเมนและด้วยเงื่อนไขขอบเขต:

Ω = (0, 1)

$\Omega=(0,1)$

$p=0, (\lambda + 2\mu)\frac{\partial u}{\partial x}=-u_0$ ที่และที่ 1 $x=0$ $u=0, \frac{\partial p}{\partial x} = 0$ $x=1$

ฉัน discretized สมการเหล่านี้โดยใช้รูปแบบ จำกัด ผลต่าง จำกัด :

(λ + 2 μ) \frac{u_{i + 1}^{t + 1} - 2 u_{i}^{t + 1} + u_{i - 1}^{t + 1}}{Δ x^{2}} + \frac{p_{i + 1}^{t + 1} - p_{i - 1}^{t + 1}}{2 Δ x} = 0

$(\lambda + 2\mu)\frac{u^{t+1}_{i+1}-2u^{t+1}_i+u^{t+1}_{i-1}}{\Delta x^2} + \frac{p^{t+1}_{i+1}-p^{t+1}_{i-1}}{2\Delta x} = 0$

γ \frac{p_{i}^{t + 1} - p_{i}^{t}}{Δ t} + \frac{u_{i + 1}^{t + 1} - u_{i - 1}^{t + 1}}{2 Δ x Δ t} - [\frac{u_{i + 1}^{t} - u_{i - 1}^{t}}{2 Δ x Δ t}] - \frac{κ}{η} [\frac{p_{i + 1}^{t + 1} - 2 p_{i}^{t + 1} + p_{i - 1}^{t + 1}}{Δ x^{2}}] = q_{i}^{t + 1}

$\gamma \frac{p^{t+1}_i-p^t_i}{\Delta t} + \frac{u^{t+1}_{i+1}-u^{t+1}_{i-1}}{2\Delta x \Delta t} -\left[ \frac{u^t_{i+1}-u^t_{i-1}}{2\Delta x \Delta t}\right] - \frac{\kappa}{\eta}\left[ \frac{p^{t+1}_{i+1} -2p^{t+1}_i + p^{t+1}_{i-1}}{\Delta x^2}\right]=q^{t+1}_i$

ขณะนี้ฉันกำลังศึกษารายละเอียดของการลู่เข้าของโครงการโดยการวิเคราะห์ความมั่นคงและความเสถียร ส่วนความสอดคล้องดูเหมือนจะตรงไปตรงมากับฉัน แต่ฉันได้เห็นปัญหาบางอย่างกับการวิเคราะห์เสถียรภาพ ก่อนอื่นมีสองตัวแปรและสองสมการ ประการที่สองนอกจากนี้ยังมีคำอนุพันธ์ spatiotemporal ผสมในสมการที่สอง ฉันคุ้นเคยกับการวิเคราะห์เสถียรภาพของ von neumann และสามารถเห็นว่ามันยากมากที่จะสร้างความมั่นคงด้วยวิธีนี้ มีทางเลือกอื่นสำหรับการวิเคราะห์ฟอนนอยมันน์ที่ฉันสามารถใช้ได้หรือไม่?

— พอล
แหล่งที่มา

1

ถ้าคุณไม่รู้สึกสะดวกสบายทำวิเคราะห์ด้วยระบบสมการเพียงความแตกต่างสมการแรกที่เกี่ยวกับและคนที่สองด้วยความเคารพxจากนั้นความเสมอภาคการใช้อนุพันธ์ผสมที่จะกำจัดยู

t

$t$

x

$x$

u

$u$

— David Ketcheson

@DavidKetcheson: น่าสนใจ ในสาระสำคัญคุณกำลังแนะนำให้ฉันสามารถลดระบบให้เป็นตัวแปรเดียวและดำเนินการวิเคราะห์ฟอนนอยมันน์มาตรฐานบนโดยไม่สูญเสียความมีส่วนร่วมกับ ?

p

$p$

u

$u$

— พอล

มันเป็นปัญหาเดียวกันไม่ว่าคุณจะเขียนเป็นระบบหรือสเกลาร์ PDE

— David Ketcheson

7

หากคุณทดแทนอย่างน้อยสำหรับการวิเคราะห์ของคุณโดยคุณสามารถเขียนระบบของคุณเป็น โดยที่ค่าคงที่ทั้งหมดถูกตั้งค่าเป็นและตำแหน่งที่ subscriptหมายถึงการแยกพื้นที่ออกทั้งตัวแปรและตัวดำเนินการส่วนต่าง แบบแผนของคุณนั้นได้มาจากการประมาณผ่านออยเลอร์โดยปริยาย $\frac{\partial u}{\partial x}$ $u_x$

[\begin{matrix} 0 & 0 \\ I & I \end{matrix}] \frac{d}{d t} [\begin{matrix} p_{h} (t) \\ u_{x, h} (t) \end{matrix}] + [\begin{matrix} - \partial_{h} & \partial_{h} \\ - Δ_{h} & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} p_{h} (t) \\ u_{x, h} (t) \end{matrix}] = [\begin{matrix} q_{h} (t) \\ 0 \end{matrix}] (*)

$\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ I & I \end{bmatrix} \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} p_h(t) \\ u_{x,h}(t) \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -\partial_h & \partial_h \\ -\Delta_h & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} p_h(t) \\ u_{x,h}(t) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} q_h(t) \\ 0 \end{bmatrix} \quad (*)$

1

$1$

_{h}

${}_h$

\frac{d}{d t}

$\frac{d}{dt}$

ตอนนี้โครงสร้างดิฟเฟอเรนเชียล - พีชคณิต (DAE) เห็นได้ชัด สำหรับตัวแปรมีทั้งอนุพันธ์ (ตามเวลา) และสมการพีชคณิต

หากคุณสามารถแสดงให้เห็นว่า กลับด้านได้ cf บทความนี้[p. 3]และการแก้ไขด้านล่างกว่า DAE เป็นของดัชนี 1หรือปราศจากความแปลกและออยเลอร์โดยปริยายเป็นที่รู้จักกันว่ามาบรรจบกันดูทฤษฎีบท 5.12 ในหนังสือเล่มนี้ (ข้อจำกัดความรับผิดชอบ: หนังสือเล่มนี้ไม่สามารถใช้งานได้อย่างอิสระและเขียนโดยหัวหน้างานปริญญาเอกของฉัน) $\begin{bmatrix} -\partial_h & \partial_h \\ I & I \end{bmatrix}$

ด้วยวิธีนี้คุณอาจได้รับการวิเคราะห์เสถียรภาพ

สำหรับหลักฐานโดยตรงของความเสถียรฉันจะลองใช้ Equationเพื่อใช้การวิเคราะห์เสถียรภาพ von Neumann โดยใช้ eigenfunctions ของและตรวจสอบผลของบน eigenfunctions $L^2$ $(*)$ $\Delta_h$ $\partial_h$

แต่ถ้ามีความมั่นคงไม่สามารถจัดตั้งขึ้นเพื่อก็ไม่ได้หมายความว่าโครงการของคุณไม่ได้มาบรรจบกัน - เพราะของการทดแทนของu_x โดยทั่วไปการพูดใคร ๆ ก็สามารถคาดหวังความมั่นคงสำหรับแผนการประมาณตัวแปรที่แท้จริงแทนที่จะเป็นแผนการประมาณอนุพันธ์ของพวกเขา $(*)$ $u\leftarrow u_x$

ภาคผนวก: DAE ถูกกล่าวถึงว่าเป็นดัชนี 1 หากสามารถแปลงเป็น ODE ได้โดยไม่ต้องแยกสมการออกจากกัน

สมมติว่า DAE นั้นอยู่ในรูปแบบ จากนั้นการย้อนกลับของ บอกเป็นนัยว่ามีการแปลงตัวแปรที่จะแลกเปลี่ยนคอลัมน์ของสัมประสิทธิ์ในที่สุดเพื่อที่ พร้อม invertible (คุณสมบัติของ ) และกลับด้าน (Schur complement)

[\begin{matrix} E_{1} \\ 0 \end{matrix}] \dot{y} + [\begin{matrix} A_{1} \\ A_{2} \end{matrix}] y = f .

$\begin{bmatrix} E_1 \\ 0 \end{bmatrix}\dot y + \begin{bmatrix} A_1 \\ A_2 \end{bmatrix} y = f.$

[\begin{matrix} E_{1} \\ A_{2} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} E_1 \\ A_2 \end{bmatrix}$

\tilde{y} \to y

$\tilde y \to y$

[\begin{matrix} E_{1} \\ A_{2} \end{matrix}] \to [\begin{matrix} {\tilde{E}}_{11} & {\tilde{E}}_{12} \\ {\tilde{A}}_{21} & {\tilde{A}}_{22} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} E_1 \\ A_2 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} \tilde E_{11} & \tilde E_{12} \\ \tilde A_{21} & \tilde A_{22} \end{bmatrix}$

{\tilde{A}}_{22}

$\tilde A_{22}$

A_{2}

$A_2$

{\tilde{A}}_{11} - {\tilde{E}}_{12} {\tilde{A}}_{22}^{- 1} {\tilde{A}}_{21}

$\tilde A_{11} - \tilde E_{12} \tilde A_{22}^{-1} \tilde A_{21}$

สำหรับระบบที่นี้หมายถึงว่าส่วนที่เกี่ยวกับพีชคณิตกำหนดด้วยสามารถใช้ในการแก้ปัญหาสำหรับส่วนหนึ่งของH}) จากนั้นหนึ่งสามารถกำจัดจากส่วนต่าง (บรรทัดบล็อกที่สองใน ) เพื่อรับ ODE สำหรับตัวแปรที่เหลือ $(*)$ $A_2:=[-\partial_h ~ \partial_h]$ $\tilde y_2$ $(p_h,u_{x,h})$ $\frac{d}{dt}\tilde y_2$ $(*)$

— ม.ค.
แหล่งที่มา

นี่เป็นเทคนิคที่น่าสนใจมาก ฉันดูกระดาษที่คุณอ้างถึงและฉันอยากรู้ว่าคุณสรุปว่าจะต้องกลับด้านได้ . คุณใช้ทฤษฎีบทข้อใด

[\begin{array}{cc} - \partial_{h} & \partial_{h} \\ I & I \end{array}]

$\left[\begin{array}{cc}-\partial_h &\partial_h\\ I & I \end{array}\right]$

— พอล

@ Paul ฉันไม่พบทฤษฎีบทสำหรับการอ้างอิงดังนั้นฉันจะแทรกเข้าไปในข้อโต้แย้งคำตอบของฉัน ...

— ม.ค.

4

ฉันไม่คุ้นเคยกับสมการที่ให้ที่นี่ แต่ฉันจำได้ว่าเรียนรู้วิธีอื่นในการตรวจสอบความเสถียรของโครงร่างตัวเลขในหลักสูตรของฉัน มันเป็นที่รู้จักกันในชื่อการวิเคราะห์สมการดัดแปลง

นี่คือการอ้างอิงที่ดีสำหรับสิ่งนั้น

http://193.146.160.29/gtb/sod/usu/$UBUG/repositorio/10291890_Warming.pdf

ในการอ้างอิงข้างต้นการเชื่อมต่อระหว่างทฤษฎีความมั่นคงบนพื้นฐานของการวิเคราะห์สมการแก้ไขและการวิเคราะห์เสถียรภาพของฟอนนอยมันน์ถูกสร้างขึ้น

หลังจากค้นหาออนไลน์นิดหน่อยฉันเจอข้อมูลอ้างอิงต่อไปนี้

บทความนี้กล่าวถึงการสร้างแบบจำลองผลต่างอันตะของสมการ poroelastic ของ Biot ที่ความถี่คลื่นไหวสะเทือน มันมีส่วนเกี่ยวกับความมั่นคงของโครงร่างตัวเลขเช่นกัน

บทความนี้นำเสนอกลยุทธ์การแก้ปัญหาในการแยกระบบคู่และตรวจสอบความเสถียรของชุดตัวเลข

— อดฮ์
แหล่งที่มา

ฉันไม่ได้ทำการวิเคราะห์สมการที่แก้ไขบนสมการข้างต้น แต่เมื่อคำถามถามถึงทางเลือกอื่นในการวิเคราะห์ฟอนนอยมันน์ฉันเขียนคำตอบข้างต้น เป็นไปได้ค่อนข้างที่จะไม่ตอบคำถาม แต่บางคนอาจพบว่าข้อมูลอ้างอิงที่ระบุไว้มีประโยชน์ในการทำงานของเขา / เธอ

— Subodh

ขอบคุณสำหรับการอ้างอิง! ฉันเห็นได้ว่าแบบฟอร์มที่ต้องการในกระดาษการวิเคราะห์การแก้ไขสมการของคุณนั้นไม่ตรงกับสมการที่ฉันใช้ แต่มันค่อนข้างน่าสนใจที่จะเรียนรู้เทคนิคการวิเคราะห์แบบใหม่!

— พอล